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理科数学高三练习:用样本估计总体【含答案】


统计、统计案例、算法初步

用样本估计总体
一选择题 1 在频率分布直方图中,各个长方形的面积表示 ( A.落在相应各组的数据的频数 B.相应各组的频率 C.该样本所分成的组数 D.该样本的样本容量 解析:在频率分布直方图中,各长方形面积表示该组频率. 答案:B 某地一种植物一年生长的高度如下表: 高度(cm) 棵数 [10,20) 20 [20,30) 30 [30,40) 80 [40,50) 40 [50,60) 30 )

则该植物一年生长在[30,40)内的频率是( ) A.0.80 B.0.65 C.0.40 D.0.25 解析:选 C.由频率含义可计算其结果.由频率的定义得 80÷(20+30+80+40+30)= 0.40. 一个样本数据按从小到大的顺序排列为 13,14,19,x,23,27,28,31,其中位数为 22,则 x 等于( ) A.21 B.22 C.23 D.24 x+23 解析:选 A.个数为偶数,因此中位数 22= , 2 ∴x=21. 某人从湖中打了一网鱼,共 m 条,做上记号,再放入湖中.数月后又打了一网鱼,共 n 条, 其中 k 条有记号,估计湖中鱼的条数是 A.
n k

( C.m·
k n

)

B.m·

n k

D.无法估计

学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况, 抽取了一个容量为 n 的样本, 其频率分布直 方图如图所示,其中支出在[50,60)元的同学有 30 人,则 n 的值为 ( )

创建时间:2013 年

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统计、统计案例、算法初步

A.100

B.1 000

C.90

D.900
30 0 .3 ? 100 .

解析:支出在[50,60)元的同学的概率为 0.03×10=0.3,因此 n ? 答案:A

河浦中学在“创先争优共建和谐”活动中,组织学生进行社会调查,并对学生的调查报告进 行了评比.如图是将某年级 60 篇学生调查报告的成绩进行整理, 分成 5 组画出的频率分布直 方图.已知从左往右 4 个小组的频率分别是 0.05、0.15、0.35、0.30,那么在这次评比中被 评为优秀调查报告的有(分数大于等于 80 分为优秀,且分数为整数) ( )

A.18 篇

B.24 篇

C.25 篇

D.27 篇

解析:频率分布直方图中最后一组的频率为 1-(0.05+0.15+0.35+0.30)=0.15, 故被评为优秀调查报告的有(0.30+0.15)×60=27(篇). 答案:D

在 2008 年第 29 届北京奥运会上, 我国代表团的金牌数雄踞榜首. 如图是位居金牌榜前 十二位的代表团获得的金牌数的茎叶图, 则这十二个代表团获得的金牌数的平均数与中位数 的差 m 的值为( ) A.3.5 B.4 C.4.5 D.5 解析:选 B.由茎叶图中的数据可求得这十二个代表团获得的金牌数的平均数为 17.5,
创建时间:2013 年 2

统计、统计案例、算法初步
中位数为 13.5,故 m=4. 如图是甲、 乙两名射击运动员各射击 10 次后所得到的成绩的茎叶图(茎表示成绩的整数 环数,叶表示小数点后的数字),由图可知( )

A.甲、乙中位数的和为 18.2,乙稳定性高 B.甲、乙中位数的和为 17.8,甲稳定性高 C.甲、乙中位数的和为 18.5,甲稳定性高 D.甲、乙中位数的和为 18.65,乙稳定性高 解析:选 A.求中位数时,必须先将这组数据从小到大或从大到小排列,数据的个数为 奇数,则中位数是最中间的一个,若数据的个数为偶数,则中位数是最中间的两个数据的平 均数,据此易知两人中位数和为 18.2,又分析茎叶图可知乙数据分布比较集中,即乙的稳 定性较高. 如图,样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为 x A 和 x B ,样本标准 差分别为 sA 和 sB,则 ( )

A. x A > x B ,sA>sB C. x A > x B ,sA<sB

B. x A < x B ,sA>sB D. x A < x B ,sA<sB

解析:由图直接观察可得 x A < x B ,sA>sB. 答案:B 在样本的频率分布直方图中,一共有 m(m≥3)个小矩形,第 3 个小矩形的面积等于其余

m-1 个小矩形面积之和的 ,且样本容量为 100,则第 3 组的频数是
A.0.2 B.25 C.20

1 4

(

)

D.以上都不正确

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1 解析:第 3 组的频率是 ,样本容量为 100, 5 1 ∴第 3 组的频数为 100× =20. 5 答案:C

一组数据中的每一个数据都减去 80,得一组新数据,若求得新数据的平均数是 1.2,方 差是 4.4,则原来数据的平均数和方差分别是( ) A.81.2,4.4 B.78.8,4.4 C.81.2,84.4 D.78.8,75.6 解析:选 A.设原来的平均数为 x . 则 x -80=1.2,∴ x =81.2,方差不变. 为了解某校高三学生的视力情况, 随机地抽查了该校 100 名高三学生的视力情况, 得到 频率分布直方图如下图,由于不慎将部分数据丢失,但知道前 4 组的频数成等比数列,后 6 组的频数成等差数列,设最大频率为 a,视力在 4.6 到 5.0 之间的学生数为 b,则 a,b 的值 分别为( )

A.0.27,78 B.0.27,83 C.2.7,78 D.2.7,83 解析:选 A.组距=0.1,4.3~4.4 之间的频数为 100×0.1×0.1=1. 4.4~4.5 之间的频数为 100×0.1×0.3=3. 3 3 27 根据前 4 组频数成等比数列, 4.6~4.7 之间的频数为 1·( ) =27.∴最大频率 a= 则 1 100 =0.27. 6×5 根据后 6 组频数成等差数列,且有 100-13=87(人),设公差为 d,则 6×27+ d= 2 4×3 87,∴d=-5,所以 b=4×27+ ×(-5)=78. 2

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二填空题 已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总体的 中位数为 10.5,平均数为 10.若要使该总体的方差最小,则 a、b 的取值分别是________. a+b 解析:这 10 个数的中位数为 =10.5. 2 这 10 个数的平均数为 10. 要使总体方差最小, 2 2 即(a-10) +(b-10) 最小. 2 2 2 2 又∵(a-10) +(b-10) =(21-b-10) +(b-10) 2 2 2 =(11-b) +(b-10) =2b -42b+221, 2 2 ∴当 b=10.5 时,(a-10) +(b-10) 取得最小值. 又∵a+b=21, ∴a=10.5,b=10.5. 答案:a=10.5,b=10.5 如图所示是一个容量为 200 的样本的频率分布直方图,请根据图形中的数据填空.

(1)样本数据落在[5,9)内的频率是 (2)样本数据落在[9,13)内的频数是

; .

解析:样本数据落在[5,9)内的频率为 0.08×4=0. 32. 样本数据落在[9,13)内的频率为 0.09×4=0.36,频数为 200×0.36=72. 答案:(1)0.32(2)72

一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了 20 000 人,并根据所得数据画出样本的 频率分布直方图(如下图).

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统计、统计案例、算法初步

为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的联系,要从这 20 000 人中再用分层抽样 的方法抽出 200 人作进一步调查,则在[2 500,3 000)(元)月收入段应抽出 解析:在[2 500,3 000)(元)月收入段应抽出
0 .0 0 0 5 0 .0 0 0 1 + 0 .0 0 0 2 + 0 .0 0 0 3 + 0 .0 0 0 4 + 2 ? 0 .0 0 0 5 ? 200 ? 50.

人.

答案:50

从某小学随机抽取 100 名同学, 将他们的身高 (单位: 厘米) 数据绘制成频率分布直方图 (如 图).由图中数据可知 a= .若要从身高在[120,130),

[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动, 则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为 .

解析:因为 0.005×10+0.035×10+a×10+0.020×10+0.010×10=1,所以 a=0.030, 设身高在[120,130),[130,140),[140,150]分别有 x,y,z 人, 所以
x 100

=0.030×10,所以 x=30,同理 y=20,z=10,
10 30 ? 20 ? 10

所以在[140,150]内选取的人数为 答案:0.030 3

×18=3.

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统计、统计案例、算法初步
某地有居民 100 000 户,其中普通家庭 99 000 户,高收入家庭 1 000 户.从普通家庭中以简 单随机抽样方式抽取 990 户, 从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取 100 户进行调查, 发 现共有 120 户家庭拥有 3 套或 3 套以上住房,其中普通家庭 50 户,高收入家庭 70 户.依据 这些数据并结合所掌握的统计知识, 你认为该地拥有 3 套或 3 套以上住房的家庭所占比例的 合理估计是 .

解析:首先利用样本计算拥有 3 套或 3 套以上住房的比例,再去估计总体中的户数,计算所
50 ? 99000 ? 70 ? 1000 ? 57 1000

求比例,即 9 9 0 答案:5.7%

100 100000

=5.7%.

某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习,每人投 10 次, 投中的次数如下表:

则以上两组数据的方差中较小的一个为 s = 解析:甲:平均数:
6?7?7?8?7 5

2

.

=7,
2

方差为:

?6 ? 7?

2

? 3 ? ? 7 ? 7 ? ? ?8 ? 7 ?
2

?

2 5

.

5

乙:平均数:

6?7?6?7?9 5

=7,
2 2

方差为:

2 ? ?6 ? 7 ? ? 2 ? ?7 ? 7 ? ? ?9 ? 7 ?
2

?

6 5

.

5

所以方差较小的为 答案:
2 5

2 5

.

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统计、统计案例、算法初步
三解答题 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,在培训期间,他们参加的 5 次预赛成绩记录如下: 甲 82 82 79 95 87 乙 95 75 80 90 85 (1)用茎叶图表示这两组数据; (2)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一次成绩,求甲的成绩比乙高的概率; (3)现在从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合 适?说明理由. 解:(1)作出茎叶图如图:

(2)记甲被抽到的成绩为 x,乙被抽到的成绩为 y,用数对(x,y)表示基本事件: (82,95),(82,75),(82,80),(82,90),(82,85),(82,95),(82,75),(82,80),(82,90), (82,85),(79,95),(79,75),(79,80),(79,90),(79,85),(95,95),(95,75),(95,80), (95,90),(95,85),(87,95),(87,75),(87,80),(87,90),(87,85). 基本事件总数 n=25. 记“甲的成绩比乙高”为事件 A,事件 A 包含的基本事件: (82,75),(82,80),(82,75),(82,80),(79,75),(95,75),(95,80),(95,90),(95,85), (87,75),(87,80),(87,85). 事件 A 包含的基本事件数 m=12. 所以 P(A) ?
m n ? 12 25 ..

(3)派甲参赛比较合适.理由如下:
x甲 ? x乙 = s甲 ?
2

1 5 1 5 1

? 7 0 ? 1 + 8 0 ? 3 + 9 0 ? 1 + 9 + 2 + 2 + 7 + 5 ? ? 8 5, ? 70 ? 1+80 ? 2+90 ? 2+5+0+5+0+5 ? =85 ,
2 2 2 2 2

? ? 7 9 -8 5 ? + ? 8 2 -8 5 ? + ? 8 2 -8 5 ? + ? 8 7 -8 5 ? + ? 9 5 -8 5 ? ? ? 3 1 .6 , ? 5? 1 ? ? 7 5 -8 5 ? + ? 8 0 -8 5 ? + ? 8 5 -8 5 ? + ? 9 0 -8 5 ? + ? 9 5 -8 5 ? ? ? 5 0 . ? 5?
2 2 2 2 2

s乙 ?
2

2 2 因为 x甲 ? x乙 , s甲 ? s乙 ,

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统计、统计案例、算法初步
所以甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适. 从某中学高三级 560 名理科同学中抽取 50 名同学参加数学竞赛,成绩的分组及各组的频数 如下(单位:分): [40,50),2;[50,60),3;[60,70),10;[70,80),15;[80,90),12;[90,100),8. (1)列出样本的频率分布表; (2)画出频率分布直方图和频率分布折线图; (3)估计成绩在[60,90)分的学生比例; (4)估计成绩在 85 分以下的学生比例. 解:(1)频率分布表如下:

成绩分组 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 合计

频数 2 3 10 15 12 8 50

频率 0.04 0.06 0.2 0.3 0.24 0.16 1

频率/组距 0.004 0.006 0.02 0.03 0.024 0.016 0.1

(2)频率分布直方图和折线图为:

(3)所求的学生比例为 0.2+0.3+0.24=0.74=74%. (4)所求的学生比例为 1-(0.12+0.16)=1-0.28=0.72=72%.
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统计、统计案例、算法初步

某样本数据的频率分布直方图的部分图形如下图所示, 则数据在, 下图是按上述分组方 法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组、第七 组、第八组人数依次构成等差数列.

(1)估计这所学校高三年级全体男生身高 180 cm 以上(含 180 cm)的人数; (2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图; (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分 别为 x、y,求满足|x-y|≤5 的事件概率. 解: (1)由频率分布直方图知, 前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5 =0.82, 后三组频率为 1-0.82=0.18,人数为 0.18×50=9 人, 这所学校高三男生身高在 180 cm 以上(含 180 cm)的人数为 800×0.18=144 人. (2)由频率分布直方图得第八组频率为 0.008×5=0.04,人数为 0.04×50=2 人, 设第六组人数为 m,则第七组人数为 9-2-m=7-m, 又 m+2=2(7-m),所以 m=4, 即第六组人数为 4 人,第七组人数为 3 人,频率分别为 0.08,0.06. 频率除以组距分别等于 0.016,0.012,见图.

(3)由(2)知身高在的人数为 2 人,设为 A,B. 若 x,y∈时,有 AB 共一种情况.

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统计、统计案例、算法初步
若 x,y 分别在内时,有 aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB 共 8 种情况. 所以基本事件的总数为 6+8+1=15 种. 7 事件|x-y|≤5 所包含的基本事件个数有 6+1=7 种,故 P(|x-y|≤5)= . 15

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