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上海市黄浦区2013届高三一模数学试题(理科)


黄浦区 2012 学年度第一学期高三年级期终考试 数学试卷(理科)(一模)
考生注意: 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料,解答必须在答题卷上进行,写在试卷 上的解答一律无效; 2.答卷前,考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚; 3.本试卷共 23 道试题,满分 150 分;考试时间 120 分钟. 一、填空题(本大题满分 56 分) 本大题共有 14 题,考生应在答题卷的相应编号的空格内直 接填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知集合 A ? {x | 0 ? x ? 3} , B ? {x | x2 ? 4} ,则 A ? B ? . 2013 年 1 月 17 日

2.若 z ? (1 ? 2i)(a ? i) ( i 为虚数单位)为纯虚数,则实数 a 的值为 . a1 ? a2 ? ? ? an 3. 若数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 1(n ? N*) ,则 lim ? n→? nan 4. 已知直线 l1 : x ? ay ? 2 ? 0 和 l2 : (a ? 2) x ? 3 y ? 6a ? 0 , l1 ∥ l2 的充要条件是 a = 则 5. ( x ? )9 的展开式中 x5 的系数是

. .

1 x

(用数字作答) .
开始 输入 p n←1,S←0 1 S←S+ n(n+1) n←n+1 是

6.盒中装有形状、大小完全相同的 7 个球,其中红色球 4 个, 黄色球 3 个.若从中随机取出 2 个球,则所取出的 2 个球 颜色不同的概率等于 .

1 ? cos 2? 1 7.已知 ? 1 , tan(? ? ? ) ? ? ,则 tan( ? ? 2? ) 的值 sin ? cos ? 3
为 . .

8.执行右边的程序框图,若 p ? 10 ,则输出的 S =

?log2 x ( x ? 0) 9.已知函数 f ( x) ? ? x ,且函数 F ( x) ? f ( x) ? x ? a ( x ? 0) ?3

n<p
否 输出 S 结束

有且仅有两个零点,则实数 a 的取值范围是 10.已知函数 y ? sin(? x ?



?
3

)(? ? 0) 的最小正周期为 ? ,若将

该函数的图像向左平移 m ( m ? 0) 个单位后,所得图像关于 原点对称,则 m 的最小值为 .

(第 8 题图)

11.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一点 M (1, m) 到其焦点 F 的距离为 5,该抛物线的顶点到 直线 MF 的距离为 d,则 d 的值为 .

12. 已知函数 f ( x) ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )满足 f (2) ? f (3) , y ? f ?1 ( x) 是 y ? f ( x) 的反函数, 若

1 . x x2 y 2 13. 已知 F 是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点, 是双曲线 C 的中心, O 直线 y ? a b
则关于 x 的不等式 f ?1 (1 ? ) ? 1 的解集是

mx 是双曲线 C 的一条渐近线.以线段 OF 为边作正三角形 MOF,若点 M 在双曲线 C
上, 则 m 的值为 .

14.已知命题“若 f ( x) ? m2 x2 , g ( x) ? mx2 ? 2m ,则集合 {x | f ( x) ? g ( x), 是假命题,则实数 m 的取值范围是 .

1 ? x ?1 } ? ? ” 2

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否 则一律得零分. ??? ???? ? ???? ???? BD 15. 在四边形 ABCD 中,AB ? DC , AC · =0, 且 则四边形 ABCD 是 ( ) A.菱形 B.矩形 C.直角梯形 D.等腰梯形 ( )

16.若 z ? cos ? ? i sin ? ( ? ? R ,i 是虚数单位) | z ? 2 ? 2i | 的最小值是 ,则 A. 2 2 B. 2 C. 2 2 ? 1

D. 2 2 ? 1

17.若 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且 f ( x) 在 [0, ??) 上单调递增,则下列结论:①y ?| f ( x) | 是 偶函数;② 对任意的 x ? R 都有 f (? x)? | f ( x) |? 0 ;③ y ? f (? x) 在 (??,0] 上单调递增; ④ y ? f ( x) f (? x) 在 (??,0] 上单调递增.其中正确结论的个数为( A.1 B.2 C.3 ) D.4

? a1 18. 若矩阵 ? ? b1

a2 b2

a3 b3

a4 ? ① ? 满足下列条件: 每行中的四个数所构成的集合均为 {1, 2,3, 4} ; b4 ?
( )

② 四列中至少有两列的上下两数是相同的. 则这样的不同矩阵的个数为 A.48 B.72 C.168 D.312

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷相应的编号 规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E , F 分别为线段 DD1 , BD 的 中点. (1)求异面直线 EF 与 BC 所成的角; (2)求三棱锥 C ? B1 D1 F 的体积.
A1 E B1 D1 C1

D F A B

C

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 在△ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,且 A, B, C 成等差数列. ( 1)若 AB ? BC ? ?3, 且 b ? 3 2 ,求 a ? c 的值; (2)若 M ?

??? ??? ? ?

2 sin C ,求 M 的取值范围. 1 sin A

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 如图所示, ABCD 是一个矩形花坛,其中 AB= 6 米,AD = 4 米.现将矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花园 AMPN ,要求:B 在 AM 上,D 在 AN 上,对角线 MN 过 C 点, 且矩形 AMPN 的面积小于 150 平方米. (1)设 AN 长为 x 米,矩形 AMPN 的面 积为 S 平方米,试用解析式将 S 表示成 x 的函 数,并写出该函数的定义域; (2)当 AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 的面积最小?并求最小面积。
N P

D

C

A

B

M

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分. 给定椭圆 C: 的 “准圆” .已知椭圆 C 的一个焦点为 F ( 2,0) ,其短轴的一个端点到点 F 的距离为 3 . (1)求椭圆 C 和其“准圆”的方程; (2)若点 A 是椭圆 C 的“准圆”与 x 轴正半轴的交点, B, D 是椭圆 C 上的两相异点, ??? ???? ? 且 BD ? x 轴,求 AB ? AD 的取值范围;

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) ,称圆心在原点 O、半径是 a2 ? b2 的圆为椭圆 C a 2 b2

(3)在椭圆 C 的“准圆”上任取一点 P ,过点 P 作直线 l1 , l2 ,使得 l1 , l2 与椭圆 C 都只 有一个交点,试判断 l1 , l2 是否垂直?并说明理由.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 8 分. 对于函数 y ? f ( x) 与常数 a , b ,若 f (2 x) ? af (x) ?b 恒成立,则称 ( a, b) 为函数 f (x) 的

2) a 一个 “P 数对” 若 f ( x ?f (x) b? 恒成立, ; 则称 ( a, b) 为函数 f (x) 的一个 “类 P 数对” 设 .
函数 f (x) 的定义域为 R ? ,且 f (1) ? 3 . (1)若 (1,1) 是 f ( x) 的一个“P 数对” ,求 f (2n )(n? N*) ; (2)若 (?2,0) 是 f ( x) 的一个“P 数对” ,且当 x ?[1,2) 时 f ( x) ? k ? 2 x ? 3 ,求 f ( x) 在 区间 [1, 2n ) (n ? N*) 上的最大值与最小值; (3)若 f ( x) 是增函数,且 (2, ?2) 是 f ( x) 的一个“类 P 数对” ,试比较下列各组中两个 式子的大小,并说明理由. ① f (2? n ) 与 2 ? n +2 (n ? N*) ;② f ( x) 与 2 x ? 2 ( x ? (0,1]) 。


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