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上海市金山区2013届高三一模数学答案


金山区 2012 学年第一学期高三期末考试试题评分标准
一、填空题 1.

x?2 (定义域不写不扣分) 2. {x|–2≤x≤0 或 1≤x≤2} 3
? 10 4 ? 8. ? ? ? 24 10 ?
13.4

3. ?

4. 2

5. –2

/>6.

1 2

7.–160

5? 9. 6
14 . 4 ? 2

10.40

x2 y2 ? ?1 11. 4 4

12.

17 18

二、选择题 15.D 三、简答题 19.解:(1) 由| x–a | < 2,得 a–2<x<a+2,所以 A={x| a–2<x<a+2}………………………3 分 由 16.C 17.A 18.C

2x ?1 x?3 <1,得 <0,即 –2<x<3,所以 B={x|–2<x<3}.…………………………6 分 x?2 x?2
?a ? 2 ? 2 ,…………………………………………………………10 分 ?a ? 2 ? 3

(2) 若 A?B,所以 ?

所以 0≤a≤1.………………………………………………………………………………12 分 20.解:(1) f (x) ? sin2x ? 3 cos2x ? m ? 2sin(2 x ?

?
3

) ? m ……………………3 分

因为 f ( x)max ? 2 ? m, 所以 m ? 1,…………………………………………………………4 分 令–

? ? ? 5? ? +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ 得到:单调增区间为 [k? ? , k? ? ] (k∈Z)………6 分 12 12 2 3 2

( 无(k∈Z)扣 1 分 ) (2) 因为 f ( B ) ? 3 ? 1 ,则 2sin(2 B ?

?
3

6 1 5? 又 3a ? b ? c ,则 3sin A ? sin B ? sin C , 3 sin A ? ? sin( ? A) 2 6 ? ? 1 化简得 sin( A ? ) ? ,所 以 A ? ,…………………………………………………12 分 3 6 2
所以 C ?

) ?1 ? 3 ?1 ,所以 B ?

?

………………8 分

?

2

,故△ABC 为直角三角形.…………………………………………………14 分

21.解:(1) 当 a ? 4 时, f ( x) ? x ? 任取 0<x1<x2≤2,则 f(x1) –f(x2)= x1 ?

4 ? 2 ,…………………………………………1 分 x

4 4 ( x ? x2 )( x1 x2 ? 4) ………………3 分 ? x2 ? ? 1 x1 x2 x1 x2

因为 0<x1<x2≤2,所以 f(x1)–f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2)………………………………………5 分

所以函数 f(x)在 (0,2] 上是减函数;………………………………………………………6 分 (2) f ( x) ? x ? 当且仅当 x ? 当0 ?

a ? 2 ? 2 a ? 2 ,……………………………………………………7 分 x

a 时等号成立,……………………………… …………………………8 分

a ? 2 ,即 0 ? a ? 4 时, f (x) 的最小值为 2 a ? 2 ,………………………10 分

当 a ? 2 ,即 a ? 4 时, f (x ) 在 (0,2] 上单调递减,…………………………………11 分 所以当 x ? 2 时, f (x ) 取得最小值为

a ,………………………………………………13 分 2
0 ? a ? 4,
………………………………………14 分

综上所述: f ( x) min

?2 a ? 2 ? ? ?a ? ?2

a ? 4.

22.解: (1)设所求椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,右焦点为 F2 (c,0) . a2 b2

因△AB1B2 是直角三角形,又|A B1|=|AB2|,故∠B1AB2=90?,得 c=2b…………1 分
2 2 2 2 在 Rt△AB1B2 中, S?AB1B2 ? b ? 4 ,从而 a ? b ? c ? 20 .………………3 分

因此所求椭圆的标准方程为:

x2 y2 ? ? 1 …………………………………………4 分 20 4

(2)由(1)知 B1 (?2,0), B(2,0) ,由题意知直线 l 的倾斜角不为 0,故可设直线 l 的方程为:

x ? my ? 2 ,代入椭圆方程得 m2 ? 5 y2 ? 4my ?16 ? 0 ,…………………………6 分
设 P(x1, y1)、Q(x2, y2),则 y1、y2 是上面方程的两根,因此 y1 ? y2 ?

?

?

y1 ? y 2 ? ?

???? ? ???? ? 16 ,又 B2 P ? ? x1 ? 2, y1 ? , B2Q ? ? x2 ? 2, y2 ? ,所以 m2 ? 5

4m , m2 ? 5

B2 P ? B2 Q ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y 2 ? ? ???? ???? ? ?

16m2 ? 64 ………………………………8 分 m2 ? 5

2 由 PB2 ? QB1 ,得 B2 P ? B2Q =0,即 16m ? 64 ? 0 ,解得 m ? ?2 ;

所以满足条件的直线有两条,其方程分别为:x+2 y+2=0 和 x–2y+2=0……………………10 分 (3) 当斜率不存在时,直线 l : x ? ?2 ,此时 | MN |? 4 , S ?

16 5 ………………11 分 5

当斜率存在时,设直线 l : y ? k ( x ? 2) ,则圆心 O 到直线的距离 d ?

| 2k | k 2 ?1



因此 t= | MN |? 2 8 ?

4k 2 1 ? 2 7 ,得 k 2 ? ………………………………………13 分 2 k ?1 3

? y ? k ( x ? 2), ? 联立方程组: ? x 2 得 (1 ? 5k 2 ) y 2 ? 4ky ? 16k 2 ? 0 ,由韦达定理知, y2 ? 1, ? ? ? 20 4
y1 ? y 2 ? 4k 16 k 2 4k 4 ? k 2 , y1 y 2 ? ? ,所以 | y1 ? y 2 |? 4 5 , 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2 (1 ? 5k 2 ) 2

因此 S ?

1 4k 4 ? k 2 . ? 4? | y1 ? y2 |? 8 5 2 (1 ? 5k 2 )2
16 5 8 8 5 1 3 25 ,所以 S ? ,所以 S ? [ 35 , ) …15 分 ?( ? )2 ? 5 3 5 u 2 4

设 u ? 1 ? 5k 2,u ?

综上所述:△B2PQ 的面积 S ? [ 35 , 23.解:(1) 令 n ? 1 ,得到 a 2 ?

16 5 ] ……………………………………………16 分 5

网]

1 1 1 ,令 n ? 2 ,得到 a3 ? ? 2 。…………2 分 7? 7? 7? 7 2 由 a 2 ? a1 ? a3 ,计算得 ? ? ? .……………………………………………………4 分 6
(2) 由题意 1 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ? ?an ?1 ? 0,可得:

1 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an?1 ? ?an ? 0(n ? 2) ,所以有 (1 ? ?)an ? ?an?1 ? 0 (n ? 2) ,又 ? ? 0, ? ? ?1 ,……………………5 分
得到: an ?1 ? 又因为 a 2 ?

1? ?

1 1 1 ? ? n?2 ,所以 n≥2 时, an ? ( ) ……………………………8 分 7? 7? ? ? 6 n ? 1, ?? 7 ? 所以数列{an}的通项 a n ? ? …………………………………10 分 ? 1 (1 ? ? ) n?2 n ? 2. ? 7? ? ?

?

an (n ? 2) ,故数列 {an } 从第二项起是等比数列。……………7 分

(3) 因为 ? ?

1 3

? 6 n ? 1, ?? 7 ? 所以 a n ? ? ……………………………………11 分 3 n?2 ? ?4 n ? 2. ?7 ?

假设数列{an}中存在三项 am、ak、ap 成等差数列, ① 不防设 m>k>p≥2,因为当 n≥2 时,数列{an}单调递增,所以 2ak=am+ap 即 :2?(

3 k–2 3 m–2 3 p–2 k-p m–p )?4 = ?4 + ?4 ,化简得:2?4 = 4 +1 7 7 7

即 22k–2p+1=22m–2p+1,若此式成立,必有:2m–2p=0 且 2k–2p+1=1, 故有:m=p=k,和题设矛盾………………………………………………………………14 分 ② 假设存在成等差数列的三项中包含 a1 时, 不妨设 m=1,k>p≥2 且 ak>ap,所以 2ap = a1+ak , 2?(

3 p–2 6 3 )?4 = – + ( )?4k–2,所以 2?4p–2= –2+4k–2,即 22p–4 = 22k–5 – 1 7 7 7

因为 k > p ≥ 2,所以当且仅当 k=3 且 p=2 时成立………………………………………16 分 因此,数列{an}中存在 a1、a2、a3 或 a3、a2、a1 成等差数列……………………………18 分


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