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导数的乘法与除法法则


南阳市一中分校

高二数学(选修 1-1) 导学案

§4.2

导数的乘法与除法法则
编号:3-4-2-1 班级: 姓名:

设计人:王方 审核人:高二数学组 使用时间:

【学习目标】 1.熟记两个函数的积、商的求导公式; 2.会运用上述公式求含有和差积商综合运算的函数的导数; 【学习重难点】 重点:记住两个函数的积、商的求导公式,并能运用已学的公式求含四则运算的函数 的导数; 难点:求含有和、差、积、商综合运算的函数的导数。 【学法指导】 合作交流 小组讨论 【知识链接】 1. 默写课本第 67 页基本初等函数的导数公式表

2. 导数的加法与减法法则 两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差) ,即 ________________________ ________________________ 【互动探究】 1.导数的乘法、除法法则的推导: 令 y ? f ( x) ? u ( x) ? v( x) ,

?y ? u ( x ? ?x) ? v( x ? ?x) ? u ( x) ? v( x) ? u ( x ? ?x) ? v( x ? ?x) ? u ( x) ? v( x ? ?x) ? u ( x) ? v( x ? ?x) ? u ( x) ? v( x)

v( x ? ?x) ? v( x) ?y u( x ? ?x) ? u( x) ? ? v( x ? ?x) ? u( x) ? ?x ?x ?x ?y u( x ? ?x) ? u( x) v( x ? ?x) ? v( x) ∴ lim ? lim ? v( x ? ?x) ? u( x) ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x?0 ?x ?x
?
? u ?( x)v( x) ? u ( x)v ?( x) 即 y ? ? (uv )? ? u ?v ? uv ?

? 同理可得: y ? ? ? u ? ? u ?v ? uv? ? ? v2 ?v?

2 . 一般的,若两个函数 f ( x ) 和 g ( x) 的导数分别是 f ?(x) 和 g ?(x) ,则有

[ f ( x) g ( x)]? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ( x)? ? ? f ( x) ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? g ( x) ? ? g 2 ( x) ? ?

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特别地,当 g ( x ) ? k 时,有

[kf ( x)]? ? kf ?( x)
【展示交流】 例 3:求下列函数的导数: (1) y ? x 2 e x ; (2) y ?

x sin x ;

(3) y ? x ln x 。

例 4:求下列函数的导数: (1) y ?

sin x ; x

(2) y ?

x2 。 ln x

【课堂小结】

【反思】

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§4.2

导数的乘法与除法法则
姓名:

设计人:王方 审核人:高二数学组 使用时间: 编号:3-4-2-2 班级:

【学习目标】 1.熟记两个函数的积、商的求导公式; 2.会运用上述公式求含有和差积商综合运算的函数的导数; 【学习重难点】 重点:记住两个函数的积、商的求导公式,并能运用已学的公式求含四则运算的函数 的导数; 难点:求含有和、差、积、商综合运算的函数的导数。 【知识链接】 1. 导数的加法法则________________________ 2. 导数的减法法则________________________ 3. 导数的乘法法则________________________ 4. 导数的除法法则________________________ 【互动探究】 例 1.求下列函数的导数。 (1) y ? (2 x ? 1)(3x ? 2) ; (2) y ? e x ln x ;

变式练习 1 求下列函数的导数。 (1) y ? x 4 ? 3x 2 ? 5x ? 6 ; (2) y ? x ? 1 ; x ?1

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例 2 求过点 P(1,1)且与曲线 y ? f ?x ?=

1 ? 1 相切的直线方程。 x2

变式练习 2

2 求曲线 y ? f ?x ?= 2 x 在 P(1,1)处的切线方程。 x ?1

【课后反思】

【小结】

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