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上海市静安区2013届高三一模数学答案(理科)


上海市静安区 2013 届高三一模数学试题(理科) 参考答案
说明
1.本解答列出试题的一种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准 的精神进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅, 当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容 和难度时,可视影响程度决定后

面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半, 如果有较严重的概念性错误,就不给分. 3.第 19 题至第 23 题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分 数. 4.给分或扣分均以 1 分为单位.

答案及评分标准 1 1. a ? ; 4 16 4. ; 3
7. (3) ; (2) (4) 10.1; 13. [?3,??) ;

2.64; 5.13; 8.4;

3. arccos 6. n ? 2 9.
n ?1

33 ; 65


1093 ; 9

11. x 2 ? y 2 ? 225; 12. y 2 ? 16x ; 14.

? ;. 6

G

15. D; 16.C; 17.A ;18. B ; 19 解: (1) ①如图 1 所示,当 MN 在矩形区域滑动, 即 0<x≤1 时, 1 △EMN 的面积 S= ? 2 ? x = x ; ················· 分 ················1 2 ②如图 2 所示,当 MN 在三角形区域滑动, 即 1<x< 1? 3 时, 如图,连接 EG,交 CD 于点 F,交 MN 于点 H, ∵ E 为 AB 中点, ∴ F 为 CD 中点,GF⊥CD,且 FG= 3 . 又∵ MN∥CD, ∴ △MNG∽△DCG. ∴ MN ? GH ,即 MN ? 2[ 3 ? 1 ? x] . ·············· 分 ·············4 DC GF 3

D M A E G

C N B

图1
M D N C

H F

A

E

B

图2

故△EMN 的面积 S= 1 ? 2[ 3 ? 1 ? x] ? x 2 3 = ? 3 x 2 ? (1 ? 3 ) x ; ··························6 分 ·························· 3 3 综合可得:

? x, ? 0<x ≤1? ? S ?? 3 2 ? 3? ? x ? ?1 ? 1 ? x. 1<x< ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? ?

?

?

·································· 分 ································· 7

(2)①当 MN 在矩形区域滑动时, S ? x ,所以有 0 ? S ? 1 ; ······················· 分 ······················ 8 ②当 MN 在三角形区域滑动时,S= ?

3 2 3 x ? (1 ? )x . 3 3

1 3 ? 1? 3 3 (平方米). 因而,当 x ? (米)时,S 得到最大值,最大值 S= 2 2 1 3 ∵ ? ? 1, 2 3 ∴ S 有最大值,最大值为 1 ? 3 平方米. ······································ 分 ····································· 12 2 3
20 解: (1)∵a、b、c 成等比数列,∴b2=ac ······································ 分 ····································· 1 则 cosB=
a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac = ··············································· 分 ·············································· 3 2ac 2ac a 2 ? c 2 ? ac 1 ac 1 ≥ ? ,等号当且仅当 a=c 时取得,即 ≤cosB<1, 2ac 2 2ac 2

而 a2+c2≥2ac∴cosB= 得到 0 ? B ?

?
3

. ···························································· 7 分 ····························································
π x π x π x π x ? )sin( ? )=cos2x?4sin( ? )cos( ? ) 4 2 4 2 4 2 4 2 1 2 3 ) ? ···············································11 分 ··············································· 2 2

(2)cos2x?4sin(

=2cosx2?2cosx?1=2(cosx? ∵x=B ∴

1 ≤cosx<1 2 1 2 3 3 ) ? ≥? 2 2 2 3 3 即 m> ··············································· 分 ·············································· 14 2 2
2

∴2(cosx?

则由题意有:?m<?

(说明:这样分离变量 m ? 2 cos x ? cos2 x ? ?2 cos x ? 2 cos x ? 1 参照评分)

21 解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? a1 ,由 a1 ? 0 得 a1
2 3 3

? 1 . ···················································1 分

当 n ? 2 时 , (1 ? a2 ) 2 ? 1 ? a2 , 由 a 2 ? 0 得 a 2 ? 2 或 a2 ? ?1 . 当 n ? 3 时 ,

3 3 (1 ? a2 ? a3 ) 2 ? 1 ? a2 ? a3 ,若 a2 ? 2 得 a3 ? 3 或 a3 ? ?2 ;若 a2 ? ?1 得 a3 ? 1 ; 5 分

综上讨论,满足条件的数列有三个: 1,2,3 或 1,2,?2 或 1,?1,1. ············································ 分 ··········································· 6 (2)令 S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ,则 S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ( n ? N * ) .
2 3 3 3

从而 (S n ? an?1 ) 2 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? an?1 . ································ 分 ·······························7
3 3 3 3

两式相减,结合 an?1 ? 0 ,得 2S n ? an?1 ? an?1 . ······························· 分 ······························ 8
2

当 n ? 1 时, (1) a1 ? 1 ; n ? 2 时,2an ? 2(S n ? S n?1 ) = (an?1 ? an?1 ) ? (an ? an ) , 由 知 当
2 2

即 (an?1 ? an )(an?1 ? an ? 1) ? 0 ,所以 an?1 ? ?an 或 an?1 ? an ? 1. ···············12 分 ··············· 又 a1 ? 1 , a2013 ? ?2012,所以无穷数列 ?an ? 的前 2012 项组成首项和公差均为 1 的等差 数列,从第 2013 项开始组成首项为?2012,公比为?1 的等比数列.故

(1 ? n ? 2012 ) ?n . ··········································· 分 ·········································· 14 an ? ? 2012? (?1) n (n ? 2012 ) ?
(说明:本题用余弦定理,或者正弦定理余弦定理共同使用也可解得,请参照评分)

22.解: (1)在椭圆中,由已知得 c ? a ? b ?
2 2 2

a2 ? b2 ························· 分 ························ 1 2

过点 A(0,?b) 和 B(a,0) 的直线方程为

x y ? ? 1 ,即 bx ? ay ? ab ? 0 ,该直线与原点的 a ?b

距离为

3 ab 3 ,由点到直线的距离公式得: ························· 3 分 ························· ? 2 2 a2 ? b2
2 2

解得: a ? 3, b ? 1 ;所以椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ······························4 分 ····························· 3 1

(2) F1 (? 2 ,0) ,直线 F1 A1 的方程为 y ?

2 x ? 2 , F1 A1 ? 6 ,当椭圆上的点 P 到直

线 F1 A1 距离最大时,△ F1 PA 面积取得最大值 ···································· 分 ··································· 6 1 设与直 线 F1 A1 平行的直线方程为 y ?

2 x ? d ,将 其代入椭圆方程

x2 y2 ? ? 1 得: 3 1

7 2 28 28 2 x ? 2d 2 x ? d 2 ? 1 ? 0 ,? ? 0 , 8d 2 ? d 2 ? ? 0, 即 解得 d ? 7 , d ? ? 7 当 3 3 3
时 , 椭 圆 上 的 点 P 到 直 线 F1 A1 距 离 最 大 为

2? 7 3

, 此 时 △ F1 PA 面 积 为 1

1 2 ? 7 2 2 ? 14 ··················································· 9 分 ··················································· 6 ? 2 2 3
(3)将 y ? kx ? t 代入椭圆方程,得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6ktx ? 3t 2 ? 3 ? 0 ,由直线与椭圆有两 个交点,所以 ? ? (6kt) 2 ? 12(1 ? 3k 2 )(t 2 ? 1) ? 0 ,解得 k ?
2

t 2 ?1 ·············· 11 分 ·············· 3

6kt 3(t 2 ? 1) 设 C ( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ? , x1 ? x 2 ? ,因为以 CD 为直径 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2
的圆过 E 点,所以 EC ? ED ? 0 ,即 ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? 0 , ················· 13 分 ················· 而 y1 y2 ? (kx1 ? t )(kx2 ? t ) = k 2 x1 x2 ? tk ( x1 ? x2 ) ? t 2 ,所以

(k 2 ? 1)

3(t 2 ? 1) 6kt 2t 2 ? 1 ? (tk ? 1) ? t 2 ? 1 ? 0 ,解得 k ? ················· 14 分 ················· 3t 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

t 2 ?1 如果 k ? 对任意的 t ? 0 都成立,则存在 k ,使得以线段 CD 为直径的圆过 E 点. 3
2

(

2t 2 ? 1 2 t 2 ? 1 (t 2 ? 1) 2 ? t 2 t 2 ?1 ) ? ? ? 0 , k2 ? 即 . 所以, 对任意的 t ? 0 , 都存在 k , 3t 3 3 9t 2

使得以线段 CD 为直径的圆过 E 点.··········································· 16 分 ··········································· 23 解: (1) y ? ······································ x , y ? x3 是对等函数; ······································ 4 分
a

(2) 研究对数函数 y ? loga x , 其定义域为 (0,??) , 所以 loga x ? loga x , o 又 lg

x ?0,

所以当且仅当 lo ga x ? 0 时 f ( x ) ? f ( x) 成立.所以对数函数 y ? loga x 在其定义域

(0,??) 内不是对等函数. ····················································· 6 分 ·····················································
当 0 ? a ? 1 时,若 x ? (0,1] ,则 loga x ? 0 ,此时 y ? loga x 是对等函数; 当 a ? 1 时,若 x ? [1,??) ,则 loga x ? 0 ,此时 y ? loga x 是对等函数; 总之,当 0 ? a ? 1 时,在 (0,1] 及其任意非空子集内 y ? loga x 是对等函数;当 a ? 1 时, 在 [1,??) 及其任意非空子集内 y ? loga x 是对等函数. ··························· 分 ·························· 10 (3)对任意 x ? D ,讨论 f (x) 与 f (? x) 的关系. 1)若 D 不关于原点对称,如 y ? ······ x 虽是对等函数,但不是奇函数或偶函数; ·······11 分

2)若 D ? ?0? ,则 f (0) ? f (0) ? 0 .当 f (0) ? 0 时, f (x) 既是奇函数又是偶函数;当

f (0) ? 0 时, f (x) 是偶函数. ···············································13 分 ···············································
3)以下均在 D 关于原点对称的假设下讨论. 当 x ? 0 时, f ( x ) ? f ( x) ? f ( x) ? 0 ; 当 x ? 0 时,f ( x ) ? f (?x) ? f ( x) , f ( x) ? f ( x) , 若 则有 f (? x) ? f ( x) ; 此时, x ? 0 当 时, ? x ? 0 ,令 ? x ? t ,则 x ? ?t ,且 t ? 0 ,由前面讨论知, f (?t ) ? f (t ) ,从而

f ( x) ? f ( ? x) ;
综上讨论,当 x ? 0 时,若 f ( x) ? 0 ,则 f (x) 是偶函数. ························ 15 分 ························

? 若当 x ? 0 时,f ( x) ? 0 , f ( x ) ? f (? x) ? f ( x) ? ? f ( x) ; 则 此时, x ? 0 时, x ? 0 , 当
令 ? x ? t ,则 x ? ?t ,且 t ? 0 ,由前面讨论知, f (?t ) ? ? f (t ) ,从而 f ( x) ? ? f (? x) ; 若 f (0) ? 0 ,则对任意 x ? D ,都有 f (? x) ? ? f ( x) . 综上讨论, 若当 x ? 0 时,f ( x) ? 0 , f (0) ? 0 , f (x) 是奇函数. f (0) ? 0 , f (x) 且 则 若 则 不是奇函数也不是偶函数. ··················································· 18 分 ···················································


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