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2.4.2《等比数列的性质》课件


第二章 数列
2.4 等比数列

本节主要讲解等比数列概念,等比中项,等比数列

的通项公式等知识。利用生活中的实例引入新课,国
王赏麦的故事吸引学生注意力,使学生能够更有兴趣。 探究一主要是对等比数列概念的的辨析,借助例题巩 固概念。探究二主要是通项公式的推到方法,借助例 题加以巩固;探究三主要是研究函数与数列间的关系。

通项公式的推导过程利用视频讲解两种方法。数列
与函数的关系应用视频讲解直观,明确,易懂。等比 数列的性质用例题和变式加以巩固。





等 差 数 列

等 比 数 列

定义式 公差(比) 定义变形 通项公式

an+1-an=d d 叫公差 an+1=an+d an= a1+(n-1)d

a n?1 ?q an

q叫公比 an+1=an q
an=a1qn-1

an an ? am n? m n-m q ? an=amq 一般形式 an=am+(n-m)d d ? am n?m

三.等比数列性质 ?bn ?中,与首末两项距离相 (1)有穷等比数列 等的两项的积相等
即b1 ? bn ? b2 ? bn?1 ? b3 ? bn?2 ? ...
(2)若m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N * ),则b m ? bn ? bp ? bq 特别地,若m ? n ? 2 p,则b m ? bn ? bp
证明:
2

例1:(1)在等比数列{an}中,已知a7a12=5,则 a8a9a10a11=__________. (2){an}为等比数列,且a1a9=64,a3+a7=20,则a11 =________.

解析:(1)解法一:∵a7a12=a8a11=a9a10=5, ∴a8a9a10a11=52=25. 解法二:由已知得a1q6·a1q11=aq17=5, ∴a8a9a10a11=a1q7·a1q8·a1q9·a1q10

=a·q34
=(a·q17)2=25.

(2)∵a1a9=a3a7=64, ∴a3,a7 是方程 x2-20x+64=0 的两根.
? ?a3=4 解得? ? ?a7=16 ? ?a3=16 或? ? ?a7=4

.

①若 a3=4,a7=16,则由 a7=a3q4 得,q4=4, ∴a11=a7q4=16×4=64. 1 ②若 a7=4,a3=16,则由 a7=a3q 得,q =4,
4 4

1 ∴a11=a7q =4×4=1.
4

故 a11=64,或 a11=1.

性质2

若数列?an ?和?b n ?都是等比数列, 且公差分别是 q1 , q 2 ,

??an ?(? ? 0)是公比为q的等比数列, 那么数列
?1? 1 数列? ?是公比差为 的等比数列, q1 ?an ? 数列?a n ?是公比差为q1 的等比数列,

数列?a n ? b n ?是公比差为q1 ? q2的等比数列,

三.等差数列的性质 性质3 书上P53-3

若数列?b n ?是公比为q的等比数列, 相隔等距离的项组成的 数列是等比数列 即数列bk , bk ? m , bk ? 2 m , bk ?3m ......(m, k ? N )
*

是公比为q 的等比数列,

m

三.等差数列的性质

?bn ?中,连续取相邻的 在等比数列 k项的
和(或积)构成的数列 是等比数列 即数列b1 ? b2 ? b3 ? ... ? bk , ?b1 ? b2 ? b3 ? ...? bk ? .bk ?1 ? bk ? 2 ? bk ?3 ? ... ? b2 k , ?.bk ?1 ? bk ? 2 ? bk ?3 ? ...? b2 k ? .....(m, k ? N * )是公比为q k的等比数列,

性质4

.b2 k ?1 ? b2 k ? 2 ? b2 k ?3 ? ... ? b3k , ?.b2 k ?1 ? b2 k ? 2 ? b2 k ?3 ? ...? b3k ?

1 知识点: 等比数列的概念, 通项公式,等比中项 的概念. 2 本节课用到的思维策略:观察、分析、归纳、猜 想、类比等逻辑思维能力,由特殊到一般的认知 规律。 3 数学思想方法:方程的思想,函数的思想。

课后练习

课后习题


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