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排列、组合与二项式定理(含解析)


排列、组合与二项式定理(理)
A 级——基础巩固组 一、选择题 1.如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有( )

A.11 种 C.21 种

B.20 种 D.12 种

解析 使电路接通,左边两个开关的开闭方式有 22-1=3(种),右边三 个开关的开闭方式有 23-1=7(种),故使电路接通的情况有

3 ×7=21(种). 答案 C 2.(河南洛阳统考)设 n 为正整数,?x-
? ?

1 ?2n ? 展开式中存在常数项,则 x x?

n 的一个可能取值为( A.16 C.4

) B.10 D.2

1 ? r 2n-r? ?- ? 解析 设第 r+1 项为常数项. 由二项式定理可得 Tr+1=C2 nx ? x x?
r r =Cr 2n(-1) x

4n-5r 2

.令

4n-5r 2 =0.

[来源:学科网 ZXXK]

4 得 r=5n,且 r∈N,结合选项,n 可能取 10.故选 B. 答案 B 3.从 1,3,5,7,9 这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为 a,b,共

可得到 lga-lgb 的不同值的个数是( A.9 C.18

) B.10 D.20

a a 2 解析 lga-lgb=lgb,问题转化为b的值的个数,所以共有 A5 -2=20 -2=18(个). 答案 C 4.(四川绵阳一模)某学校组织演讲比赛,准备从甲、乙等八名学生中 选派四名学生参加,要求甲、乙两名同学至少有一人参加,且若甲、乙同 时参加时,他们的演讲顺序不能相邻,那么不同的演讲顺序的种数为( A.1 860 C.1 140 解析 B.1 320 D.1 020 )

依题意,就甲、乙 两名同学中实际参与演讲比赛的人数进行分

类计数:第一类,甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有一人,满足
1 3 4 题意的不同的演讲顺序的种数为 C2 · C6 · A4 =960;第二类,甲、乙两名同学

中实际参与演讲比赛的恰有两人,满足题意的不同的演讲顺序的种数为
2 2 2 2 C2 C2 A2 A3 =180, 因此满足题意的不同的演讲顺序的种数为 C2 · C6 · A2 A3 = 2· 6· 2· 2·

180,因此满足题意的不同的演讲顺序的种数为 960+180=1 140,选 C. 答案 C 5.(浙江卷)在(1+x)6(1+y)4 的展开式中,记 xmyn 项的系数为 f(m,n), 则 f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( A.45 C.120 ) B.60
[来源:学科网]

D.210

r 解析 ∵(1+x)6 展开式的通项公式为 Tr+1=Cr (1+y)4 展开式的通项 6x , h 公式为 Th+1=Ch 4y , h r h ∴(1+x)6(1+y)4 展开式的通项可以为 Cr 6C4x y ,

n ∴f(m,n)=Cm 6 C4. 3 2 1 2 3 ∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=C6 +C6 C4+C1 6C4+C4=20+60+36+4

=120.故选 C. 答案 C 6.若两条异面直线所成的角为 60° ,则称这对异面直线为“黄金异面 直线对”,在连接正方体各顶点的所有直线中,“黄金异面直线对”共有 ( ) A.12 对 C.24 对 B.18 对 D.30 对

解析 每条面对角线与 4 条与之异面的面对角线所成的角为 60° , 每个 面有 2 条面对角线,共 6 个面,共有 48 对“黄金异面直线对”,因为每对 无顺序,所以每对都重复一次,故共有 24 对. 答案 C 二、填空题 7. (课标全国卷Ⅰ)(x-y)(x+y)8 的展开式中 x2y7 的系数 为________. (用 数字填写答案)
8-r r 解析 (x+y)8 的通项公式为 Tr+1=Cr y (r=0,1,?,8,r∈Z).当 r 8x 7 7 6 2 6 =7 时,T8=C8 xy =8xy7,当 r=6 时,T7=C8 x y =28x2y6,所以(x-y)(x+

y)8 的展开式中含 x2y7 的项为 x· 8xy7-y· 28x2y6=-20x2y7,故系数为-20. 答案 -20 8.某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间,每个车 间至少分配一名员工,且甲、乙两名员工必须分到同一个车间,则不同分 法的种数为________. 解析 先分组,再分配.共有两种分组情况:2,2,1 和 3,1,1.①若分成
3 1 3 2,2,1 三组,共有 C1 3A3=18 种分法;②若分成 3,1,1 三组,共有 C3A3=18

种分法.由分类计数原理知,共有 18+18=36 种分法.

答案 36 9.将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个组各 2 人,另两个组各 1 人,分 赴全运会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有________种.(用数字作 答)
2 C6 · C2 4 解析 先将 6 位志愿者分组,共有 A2 种方法;再把各组分到不同场 2

馆,共有

2 C2 6C4 4 A4种方法.由乘法原理知,不同的分配方案共有 A2 · A4 4=1 2

080.

答案 1 080 三、解答题 1 ? ? ? x+ ?n 10.若? 4 ? 展开式中前三项系数成等差数列.求: 2 x? ? (1)展开式中含 x 的一次幂的项; (2)展开式中所有 x 的有理项. 解 由已知条件:
0 2 1 1 1 Cn +Cn · 2=2Cn· , 2 2

解得 n=8(n=1,不合题意,舍去). (1)Tr+1=Cr 8( x)
8-r?

? 1 ? 3 ?r r -r = C · 2 · x 4 - 8 ? 4 ? 4r, ?2 x?

3 令 4-4r=1,得 r=4, 35 4 -4 ∴x 的一次幂的项为 T4+1=C8 · 2 · x= 8 x. 3 (2)令 4-4r∈N(r≤8), 则只有当 r=0,4,8 时,对应的项才是有理项,有理项分别为:

35 1 T1=x4,T5= 8 x,T9=256x2. 11.已知(1+3x)n 的展开式中,末三项的二项式系数的和等于 121,求: (1)展开式中二项式系数最大的项; (2)展开式中系数最大的项. 解 1 n-2 n-1 (1)由已知得 Cn +Cn + Cn n=121,则 n(n-1)+n+1=121,即 2

n2+n-240=0,解得 n=15,所以,展开式中二项式系数最大的项是 T8=
7 8 8 C7 15(3x) 和 T9=C15(3x) . r (2)Tr + 1 = C r 15 (3x) , 由 题 意 得 , 设 第 r + 1 项 系 数 最 大 , 则 r-1 r-1 r r ? ?C15 3 ≤C153 , ? r+1 r+1 r r ?C15 3 ≤C153 . ?

∴11≤r≤12. 所以展开式中系数最大的项对应的 r=11、12,即展开式中系数最大的
11 12 12 项是 T12=C11 15(3x) 和 T13=C15(3x) .

12.某车间甲组有 10 名工人,其中有 4 名女工人;乙组有 10 名工人, 其中有 6 名女工人.现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样) 从甲、乙两组中共抽取 4 名工人进行技术考核. (1)求从甲、乙两组各抽取的人数; (2)求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率; (3)求抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人的概率. 解 (1)由于甲组和乙组各有 10 名工人, 所以按分层抽样抽取样本 4 人, 甲、乙两组各有 2 人被抽取.
1 C1 4C6 (2)设 A 表示事件: 从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人, 则 P(A)= C2 10

8 =15.

(3)Ai 表示事件:从甲组抽取的 2 名工人中恰有 i 名男工人,i=0,1,2. Bj 表示事件:从乙组抽取的 2 名工人中恰有 j 名男工人,j=0,1,2. B 表示事件:抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人. Ai 与 Bj 独立,i,j=0,1,2,且 B=A0· B2 +A1· B1+A 2· B0. 故 P(B)=P(A0· B2+A1· B1+A2· B0) =P(A0)· P(B2)+P(A1)· P(B1)+P(A2)· P(B0)
2 1 1 1 2 C2 C1 C2 31 4 C4 4C6 C6C4 6 C6 =C2 · 2 + 2 · 2 + 2 ·2 = C10 C10 C10 C10 75. 10 C10
[来源:学科网 ]

B 级——能力提高组 1. (南昌市一模)若 x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+?+a12(x+2)12, 则 log2(a1+a3+a5+?+a11)等于( A.27 C.7 ) B.28 D.8
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

解析 令 x=-1,得 a0+a1+a2+?+a12=28 ① 令 x=-3,得 a0-a1+a2-a3+?+a12=0 ② ①-②得 2(a1+a3+?+a11)=28, ∴a1+a3+?+a11=27, ∴log2(a1+a3+?+a11)=7. 答案 C

2.(北京卷)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优 秀”“合格”“不合 格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙, 且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一 组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、 数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( A.2 人 C.4 人 B.3 人 D.5 人 )

解析 利用反证法解决实际问题.假设满足条件的学生有 4 位及 4 位 以上,设其中 4 位同学分别为甲、乙、丙、丁,则 4 位同学中必有两个人 语文成绩一样,且这两个人数学成绩不一样,那么这两个人中一个人的成 绩比另一个人好, 故满足条件的学生不能超过 3 人. 当有 3 位学生时, 用 A, B,C 表示“优秀”“合格”“不合格”,则满足题意的有 AC,CA,BB, 所以最多有 3 人. 答案 B 3.(福建卷)用 a 代表红球,b 代表蓝球,c 代表黑球.由加法原理及乘 法原理,从 1 个红球和 1 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+ b)的展开式 1+a+b+ab 表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取 出一个红球、 而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来. 依此类推, 下列各式中, 其展开式中可用来表示从 5 个无区别的红球、5 个无区别的蓝球、5 个有区 别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的 是( ) A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5 B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5 C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5) D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5) 解析
[来源:Z。xx。k.Com]

运用加法原理与乘法原理的基本方法 (穷举法)解决.由题意可

知:5 个无区别的红球取出若干球可表示为 1+a+a2+a3+a4+a5;5 个无 区别的蓝球都取出或都不取出可表示为 1+b5;5 个有区别的黑球取出若干 球可表示为(1+c)(1+c)(1+c)(1+c)(1+c)=(1+c)5.由乘法原理可得所有取 法可表示为(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)· (1+c)5.故选 A.


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