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上海市浦东区2013届高三一模数学答案(理科)


上海市浦东区 2013 届高三一模数学试题(理科) 参考答案
一、填空题 1、1 2、 ?
?x ? 2 ?y ?1

3、 [ 3 , ?? ) 4、
1 16

5、 y ? ( x ? 1) ( x ? 1 )
2

6、 ? 7、52 8、
16 3
<

br />9、 8? 10、8 11、0.98 12、 2 1 9
? ? ? 13、 y ? ? ? 2 ? ? 2 3 2 ? 2 3 6 ? 3? x, x ? ?0, ? 2 ? ? 6 ? 3 x, x ? ? , ? 2 ? ? 3? ?

或 2? |

2 ?

2 3

6

x | x ? [0,

3 ] 给分

14、 2 ? 3

n?2

二、选择题 15、A 16、C 17、D 18、D 三、解答题 19、解: (1)? A B ? A C ? 2 , ? A B C ? 4 5 , ? ? B A C ? 9 0
? ?

? VA

1 ? ABC

?

4 3

? A1 B ? B C ? A1 C ? 2

2 ,? S ? A B C ? 2 3
1

-------3 分

设点 A 到平面距离为 h 由 h ? S ?A BC ? V A
3
1

1

1

? ABC

,? h ?

2 3

3

?

点 A 到平面距离为

2 3

3

-------6 分

(2)设 A1 C 的中点为 M ,连结 B M , A M
? B A1 ? B C , A A 1 ? A C , ? B M ? A 1 C , A M ? A 1 C

? ? A M B 是二面角 A ? A1 C ? B 的平面角
ta n ? A M B ?
?

-------8 分

2 , ? ? A M B ? a r c ta n

2

二面角 A ? A1 C ? B 的大小为 a rc ta n

2 。

-------12 分

20、解: (1)在 Rt ? PMC 中,显然 | MC | ? 30 ? x , ? PCM ? 60 所以 | PM | ? | MC | ? tan ? PCM
? 3 ( 30 ? x ) -----2 分

?

矩形 A M P N 的面积 S ? | PM | ? | MC | ? 于是 200
3 ? S ? 225

3 x ( 30 ? x ) , x ? [1 0 , 2 0 ] ------4 分

3 为所求--------6 分

(2) 矩形 A M P N 健身场地造价 T1 ? 37 k 又 ? ABC 的面积为 450 即草坪造价 T 2 ?
12 k S
3 ,

S --------------7

( 450

3 ? S) ,

--------8 分

由总造价 T ? T1 ? T 2
216 S 3
3 ? S ? 225

所以 T ? 25 k ( S ?

) , 200

3 -------------10 分

?

S ?

216 S

3

? 12

6

3

-------------11 分

当且仅当 S ?

216 S

3

即 S ? 216

3 时等号成立---------12 分

此时 3 x ( 30 ? x ) ? 216

3 ,解得 x ? 12 或 x ? 18 ,

所以选取 | AM | 的长为 12 米或 18 米时总造价 T 最低。---------------14 分

21、解: (1) z 1 ? z 2 ? ( 2 sin ? ?

3 i ) ?1 ? ( 2 cos ? ) i ? 3 ) i ? R ……………2 分

= ( 2 sin ? ? 2 3 cos ? ) ? ( 2 sin 2 ? ?
3 2

? sin 2 ? ?

…………………………………4 分
2 3


?2 ?2

2? 3

? 2 ? ? ? ,? 2 ? ?

? ,即 ? ?

?
3

……………6 分

(2) a ? b ? 8 ,…………………………………8 分
? ? a ? b ? 2 s in ? ? 2
? ? ? ?

3 c o s ? ,…………………………………10 分
? 2 ? 2 2 ? ?

( ? a ? b ) ? ( a ? ? b ) ? ? ( a ? b ) ? (1 ? ? ) a ? b ? 0
2 得 8 ? ? (1 ? ? )( 2 sin ? ? 2 3 cos ? ) ? 0

整理得 因为 ? ? 只要 ?

2? 1? ?
2

? ? sin( ? ?

?
3

) …………………………………12 分

?
3 1 2

? [0, ? 2?

?
6

] 所以 sin( ? ?

?
3

) ? [0,

1 2

]

1? ?

2

? 0 即可,………………………………13 分
3 ? ? ? 0 …………14 分

解得 ? ? ? 2 ?

3 或? 2 ?

22、 (1)解:假设数列 { a n } 是“ p ? 摆动数列”, 即存在常数 p ,总有 2 n ? 1 ? p ? 2 n ? 1 对任意 n 成立, 不妨取 n ? 1 时则 1 ? p ? 3 ,取 n ? 2 时则 3 ? p ? 5 ,显然常数 p 不存在, 所以数列 { a n } 不是“ p ? 摆动数列”;……………………………………2 分
n 2 n ?1 ? 0 对任意 n 成立,其中 p ? 0 由 b n ? q ,于是 b n b n ? 1 ? q

所以数列 { b n } 是“ p ? 摆动数列”。……………… ……………………4 分 (2)由数列 { c n } 为“ p ? 摆动数列”, c 1 ? 1 ? c 2 ?
1 2



即存在常数

1 2

? p ? 1 ,使对任意正整数 n ,总有 ( c n ? 1 ? p )( c n ? p ) ? 0 成立

即有 ( c n ? 2 ? p )( c n ? 1 ? p ) ? 0 成立 则 ( c n ? 2 ? p )( c n ? p ) ? 0 ,……………………6 分 所以 c 1 ? p ?? c 3 ? p ? ? ? c 2 n ? 1 ? p ……………………7 分 同理 c 2 ? p ? c 4 ? p ? ? ? c 2 n ? p ……………………8 分 所以 c 2 n ? p ? c 2 n ? 1 ? 同理
1 c2n ? 1 1 c 2 n ?1 ? 1 ? c 2 n ? 1 解得 c 2 n ? 1 ? 5 ?1 2 5 ?1 2 5 ?1 2

即p ?

………9 分

? c 2 n 解得 c 2 n ?

5 ?1 2

即p ?

……………………10 分

综上 p ?

5 ?1 2

;……………………11 分

n n (3)证明:由 d n ? ( ? 1 ) ? ( 2 n ? 1 ) ? S n ? ( ? 1 ) ? n ,……………………13 分 2 n ?1 ? n ( n ? 1 ) ? 0 成立, 显然存在 p ? 0 ,使对任意正整数 n ,总有 S n S n ? 1 ? ( ? 1 )

所以数列 { S n } 是“ p ? 摆动数列”; ……………………14 分 当 n 为奇数时 S n ? ? n 递减,所以 S n ? S 1 ? ? 1 ,只要 p ? ? 1 即可 当 n 为偶数时 S n ? n 递增, S n ? S 2 ? 2 ,只要 p ? 2 即可 综上 ? 1 ? p ? 2 , p 的取值范围是 ( ? 1, 2 ) 。……………………16 分 (取 ( ? 1, 2 ) 中的任意一个值,并给予证明均给分) 如取 p ?
? ( ? 1) 1 2
2 n ?1

时, ( S n ?
? n ( n ? 1) ? 1 2 ( ? 1) ?
n

1 2 1 2

)( S n ? 1 ? ( ? 1) ?
n

1 2 1 4

) ? [( ? 1 ) n ?
n

1 2

][( ? 1 )
n

n ?1

( n ? 1) ? 1 4

1 2

]

? ? n ( n ? 1) ?

1 2

( ? 1) ?

因为 ?

1 4

? 1 2

1 4 1 2

?

3 4

, ? n ( n ? 1) ? ? 2
1 2 ) ? 0 成立,

存在 p ?

,使 ( S n ?

)( S n ? 1 ?

所以数列 { S n } 是“ p ? 摆动数列”;
? ? 2 s in x ? ? ? 2 23. (1)解:函数 y ? T ( s in x ) ? ? 2 ? 2 ? 2 s in ? x ? 2 ?

0 ? x ? 1 3

1 3

单调递增区间 ? 0 ,
?

?

? x ?1

1 ? 3 ? ?

函数 y ? sin ?

? 1 ? ? T ( x ) ? ? sin ? x ( 0 ? x ? 1 )单调递增区间 ? 0 , ? ? 2 ? ? 2 ?
??

1 ? 1 ? 2ax, 0 ? x ? 2ax, 0 ? ax ? ? ? ? 2 ? 2 (2)解: y ? a T ( x ) ? ? , y ? T (ax) ? ? 1 1 ? 2 a (1 ? x ) , ? 2 (1 ? a x ) , ? x ?1 ? ax ? 1 ? ? ? 2 ? 2

当 a ? 0 时,显然 a ( T ( x )) ? T ( a x ) ? 0 恒成立

当 a ? 0 时,显然 a ? 1 使 a ( T ( x )) ? T ( a x ) ? T ( x ) 恒成立 综上可知当 a ? 0 或 a ? 1 时, a ( T ( x )) ? T ( a x ) 恒成立
j 1 (3) 解: 当 x ? ? 0 , n ? 时, ① 对于任意的正整数 j ? N , ? i ? n ? 1 , 都有 0 ? 2 x ? 2 ? 2 ?

?

1 ?

?

1

故有 y ? T n ( x ) ? T n ? 1 ( 2 x ) ? T n ? 2 ( 2 2 x ) ? ? ? T n ? j ( 2 j x ) ? ? ? T ( 2 n ? 1 x ) ? 2 n x
n ② 由①可知 x ? ? 0 , n ? 时有 T n ( x ) ? 2 x ,根据命题的结论可得 2 ? ?

?

1 ?

当 x ? ? n , n ? ? ? n , n ? 时, n ? 1 ? x ? ? n , n ? ? ? n , n ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 故有 T n ( x ) ? T n (
1 2
n ?1

? 1

2 ?

? 0

2 ?

1

? 0

1 ?

? 0

2 ?

? x)=2 (
n

1 2
n ?1

? x) ? ?2 x ? 2
n
n

0 因此同理归纳得到,当 x ? ? n , n ? ( i ? N , ? i ? 2 ? 1) 时, 2 ? 2 ?

? i

i?1 ?

? 2 x ? i, i是偶数 ? T n ( x ) ? ( ? 1) ( 2 x ? i ? ) ? = ? n 2 2 ? -2 x ? i ? 1, i 是 奇 数 ?
i n

1

1

n

对于给定的正整数 m , x ? ? m , m ? 时, 解方程 T m ( x ) ? k x 得, 2 ? 2 ?
x ?

?

i

i?1 ?

? 2 i ? 1 ? ? ( ? 1)
2
m ?1 i

i
m ,要使方程 T m ( x ) ? k x 在 x ? ? 0 ,1 ? 上恰有 2 个不同的实数根,

? ( ? 1) 2 k ?

必须

i 2
m

? 2 i ? 1 ? ? ( ? 1)
2
m ?1 i

i

? ( ? 1) 2 k

?

i?1 2
m

恒成立, 解得 k ? ( 0 ,
2

2
m

m

?1

)
n

若将这些根从小到大排列组成数列 ? x n ? ,由此可得 x n ? 故数列 ? x n ? 所有 2 m 项的和 S ? x 1 ? x 2 ? ? x 2
? 0 ? 2 ? 4 ? ? ? (2 2
m m
m

? 2 n ? 1 ? ? ( ? 1)
2
m ?1 n

? ( ? 1) 2 k

?1

? x

2

m

? 2)

? k

?

2? 4? 6?? ? 2 2
m

m

? k

?

2

m ?1

(4
m

m

? 2k )
2

4

? k




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