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1.1 二维形式的柯西不等式


1.1、二维形式的 柯西不等式

有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值, 人们称它们为经典不等式. 如均值不等式:

a1 ? a2 ? ? ? an ≥ n a1a2 ? an (ai ? R ? , i ? 1, 2,? , n) . n
本节,我们来学习数学上一个有名的经典不等式: 柯西不等式,了解它的意义、背景、

证明方法及其应用, 感受数学的美妙,提高数学素养.

思考:
由 a 2 ? b2 ≥ 2ab 反映出的两个实数的平方 和与乘积的大小关系,类比考虑与下面式子有 关的有什么不等关系:

设 a, b, c, d 为任意实数.
(a 2 ? b2 )(c 2 ? d 2 )





一、二维形式的柯西不等式
定理1 (二维形式的柯西不等式 若a , b, c , d都是 ) 实数, 则 (a 2 ? b2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 当且仅当ad ? bc时, 等号成立.

证明: (a ? b )(c ? d ) ? a c ? b d ? a d ? b c
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

? (ac ? bd) ? (ad ? bc) ? (ac ? bd )
2

2

二维形式的柯西不等式的变式:
(1) a ? b ? c ? d ? ac ? bd
2 2 2 2

( 2) a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 ? ac ? bd

定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a, b, c, d 都是实数,则 (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ≥ (ac ? bd )2 . Y B (c,d) 当且仅当 ad ? bc 时,等号成立.
证法一:如图: ? ? ?? 设 ? ? (a, b), ? ? (c, d ) 是平面上任意的 ? ? ? ? 两个向量, ?与? 的夹角为 ? ? ?? ? ?? ? ? 那么:? ? ? ? ? ? ? ? cos ?

?
?
o

A(a,b)

?
X

? ? ? ? ? ? ? ? 上式两边同时取绝对值,得: | ? ? ? |?| ? ? ? ? cos ? | . ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? | 即: ? ? ?| ? ? ? | …Ⅱ ? 又 | cos ? |? 1 , 所以: ? ? ? |? ? ? ? ? ? ?? 显然,等号成立的条件是:向量 ? ? (a, b)与? ? (c, d ) 共线。
2 2 2 2 将Ⅱ式用坐标表示,可得: a ? b ? c ? d ? ac ? bd

即:

?a

2

? b ? ? ?c ? d
2 2

2

? ? ? ac ? bd ?

2

证法(三):(利用比较法)
?

? a 2 ? b2 ? ? ? c 2 ? d 2 ? ? ? ac ? bd ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2

2

? a c ? a d ? b c ? b d ? a c ? 2abcd ? b d
2

2

? a d ? 2abcd ? b c ? (ad ? bc) ? 0.
2

所以:

?a

2

? b ? ? ?c ? d
2 2

? ? ? ac ? bd ?

2

显然,上式当且仅当

ad ? bc ? 0 时,“ = ” 号成立。

定理 2 ( 柯西不等式的向量形式 ) 设? , ? 是两个向量, 则 ? ? ? ? ? ? . 当且仅当? 是零向量, 或存在实数k , 使? ? k ? 时, 等号成立.

小结:
?a
2

? b ? ? ?c ? d
2 2

2

? ? ? ac ? bd ?

2

——称为二维形式的柯西不等式。

? ? ? ? ? ? ? ?| ? ? ? |
------称为柯西不等式的向量形式。

? ?

? ?

定 理3 (二 维 形 式 的三 角 不 等 ) 设x1 , y1 , x2 , y 2 ? R, 式
2 2 那 么 x1 ? y1 ? 2 2 x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2

2 2 2 2 证明 : ( x1 ? y1 ? x2 ? y2 )2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? x1 ? y1 ? 2 x1 ? y1 x2 ? y2 ? x2 ? y2 2 2 2 2 ? x1 ? y1 ? 2 x1 x2 ? y1 y2 ? x2 ? y2 2 2 2 2 ? x1 ? y1 ? 2( x1 x2 ? y1 y2 ) ? x2 ? y2 2 2 2 ? x1 ? 2 x1 x2 ? x2 ? y1 ? 2 y1 y2 ? y 2 2

? (x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2
2 2 ? x1 ? y1 ? 2 2 x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2

(5)二 维 形 式 的 三 角 不 等 式
2 x1

?

2 y1

?

2 x2

?

2 y2

? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )
2

2

(6) ( x1 ? x3 )2 ? ( y1 ? y3 )2 ? ( x2 ? x3 )2 ? ( y2 ? y3 )2 ? (x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2

例1 已知a, b为实数 证明 a 4 ? b4 )(a 2 ? b2 ) ? (a 3 ? b3 )2 , (
1 1 例2 设a , b ? R? , a ? b ? 1, 求证 ? ? 4 a b
证明:由于 a , b ? R? ,根据柯西不等式,得 1 1 1 1 2 (a ? b)( ? ) ≥ ( a ? ? b? ) ?4 a b a b 又 a ? b ? 1, 1 1 ∴ ? ≥4 a b

柯西不等式的应用举例: 2 2 思考 2.已知 4 x ? 9 y ? 36 ,求 x ? 2 y 的最大值. 5

变式 1.已知 4 x 2 ? 9 y 2 ? 36 ,求 x ? 2 y 的最大值. 5

变式 2.已知 3 x ? 2 y ? 6 ,求 x ? y 的最小值.
2 2

2
36 11

变式 3.已知 3 x ? 2 y ? 6 ,求 x ? 2 y 的最小值.
2 2

思考 3.求函数 y ? 5 x ? 1 ? 10 ? 2 x 的最大值.

课堂练习:P36 第1,3,4

a b 例1 已知x, y, a, b ? R? , 且 ? ? 1, 求x ? y的最小值 . x y a b 解 : ? x , y , a , b ? R? , ? ? 1, x y
? x ? y ? ( x) ? (
2

补充例题:

?

y)

2

?

?? ?? ?? ??

a x

? ? ? ?? ? ? ? ?

2

b y

? ? ? ? ? ? ?

2?

?( a? 当且仅当 x ?

b )2 b ? y y? b )2 a x ,即 ? x y a 时取等号. b

? ( x ? y )min ? ( a ?

变式引申: 2 2 若2 x ? 3 y ? 1, 求4 x ? 9 y 的最小值并求最小值点 , .
解 : 由柯西不等式(4 x 2 ? 9 y 2 )(12 ? 12 ) ? ( 2 x ? 3 y )2 ? 1, 1 2 2 ?4x ? 9 y ? . 2 当且仅当2 x ? 1 ? 3 y ? 1, 即2 x ? 3 y时取等号. ? ?x ? ?2 x ? 3 y ? 由? 得? ?2 x ? 3 y ? 1 ? y ? ? ?
2 2

1 4 1 6

1 1 1 ? 4 x ? 9 y 的最小值为 , 最小值点为( , ) 2 4 6

补充练习
1.若a , b ? R, 且a 2 ? b 2 ? 10, 则a ? b的取值范围是( A )

? C .??

A. - 2 5 ,2 5 10 ,

? 10 ?

? D.??

B . ? 2 10 ,2 10 5, 5

?

?

2.已知x ? y ? 1, 那么2 x 2 ? 3 y 2的最小值是( B ) 5 A. 6 6 B. 5 25 C. 36 36 D. 25

3.函数 ? 2 1 ? x ? 2 x ? 1的最大值为 3 y ______
4.设实数x , y满足3 x 2 ? 2 y 2 ? 6, 则P ? 2 x ? y的最大
25 1 2 1 2 2 5.若a ? b ? 1, 则(a ? ) ? (b ? ) 的最小值是______ a b

值是 ______ 11


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