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专题--数列求和的基本方法和技巧


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数列求和的基本方法 一、利用常用求和公式求和: 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 1、等差数列求和公式: S n ? 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n

q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
n 1 3、 S n ? ? k ? n(n ? 1) 2 k ?1

n 1 4、 S n ? ? k 2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6 k ?1

n 1 5、 S n ? ? k 3 ? [ n(n ? 1)]2 2 k ?1

x 2 例 1 已知 log3 ,求 x ? x 2 ? x3 ? ? ? ? ? x n ? ? ? ? 的前 n 项和. ? ? log3

例 2 设 Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求 f (n) ?

Sn 的最大值. (n ? 32) S n ?1

例 3 数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1). (1)求{an}的通项公式; (2)等差数列{bn}的各项为正数,前 n 项和为 Tn,且 T3=15,又 a1+b1,a2+b2,a3+b3 成等比 数列,求 Tn.

例 4 已知数列{a n }中,a 1 =-1,a n?1 ·a n =a n?1 -a n ,则数列通项 a n =___________。

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例 5 已知 S n 为等比数列 ?a n ?的前 n 项和,公比 q ? 2, S99 ? 7 ,则 a3 ? a6 ? a9 ? ? ? a99 ?



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等 差 数 列

?a n ?

中 , 公 差 d? .

1 , 且 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a99 ? 60 , 则 2

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a1 0 ?0

二、错位相减法求和: 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求各项 是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的数列{an·bn}的前 n 项和,其中 { an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列。 例 1 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an?1 ? an ? 3 22n?1 , (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? nan ,求数列的前 n 项和 Sn 。

例 2 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 ………………………①

2 4 6 2n 例 3 求数列 , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和。 2 2 2 2

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例 4 设数列 ?an ?为 1? 2,2 ? 22 ,3 ? 23 ,4 ? 23 ??n ? 2n ? ?x ? 0? 求此数列前 n 项的和

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三、倒序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) , 再把它与原数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) 。
0 1 2 n 例 1 求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)2n 0 1 2 n 证明: 设 S n ? Cn ………………………….. ① ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn

把①式右边倒转过来得
n n?1 1 0 S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn
m n ?m 又由 Cn 可得 ? Cn

(反序)

0 1 n?1 n …………..…….. ② S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn

①+②得 ∴

0 1 n?1 n 2S n ? (2n ? 2)(Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ) ? 2(n ? 1) ? 2n

(反序相加)

S n ? (n ? 1) ? 2 n

例 2 求 sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? 的值

四、分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几 个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可。形如:
??a n ?是等差数列; ① ?an ? bn ?,其中 ? ??bn ?是等比数列;

? f ?n ?, n ? 2k ? 1, ② an ? ? ? ? g ?n ?, n ? 2k , k ? N

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例 1 已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2 n ? 3n ? 1, 求数列 ?an ? 的前 n 项和.

例 2 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a

例 3 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和。

? ? (1)求数列 ?a ?的通项公式;(2)设数列 ?a ?的前 n 项和为 Sn,求 Sn。
例 4 在数列 an 中,已知 a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N ? .
n
n

五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项 (通项) 分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的。 把数列的通项分成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从

? c ? 而求 ? (其中 ?an ? 是各项不为 0 的等差数列,c 为常数) 的数列, ? 得其和.适用于类似 ? an an ?1 ? 以 及 部分无理数列和含阶乘的数列等.用裂项法求和,需要掌握一些常见的裂项

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方法。通项分解(裂项)如: (1) an ? f (n ? 1) ? f (n) (3) a n ?
1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1 1 1 ? n?k ? n k

(2)

sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? ? ? cos n cos(n ? 1)
(4) an ?

1 1?1 1 ? ? ? ? ?; n?n ? k ? k ? n n ? k ?
(2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(5) an ? (7) an ? (8) an ?

?

n ? k ? n . (6) an ?

?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

n ? 2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n

例 1 已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn=
1 * (n ? N ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

例 2 求数列

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和。

例 3 在数列{an}中, an ?

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项的和. n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

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1 1 1 cos1? ? ? ??? ? ? 例 4 求证: cos0 ? cos1? cos1? cos 2 ? cos88? cos89? sin 2 1?

例 5 求和: 1 ?

1 1 1 ? ??? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3??? n

六、合并法求和 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的 和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求 Sn. 例1 求 cos1°+ cos2°+ cos3°+· · ·+ cos178°+ cos179°的值.

例2

数列{an}: a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an ,求 S2002.

例3

在各项均为正数的等比数列中,若 a5 a6 ? 9, 求 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 的值.

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七、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项 揭示的规律来求数列的前 n 项和,是一个重要的方法. 例1 求 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 之和. ? ?
n个1

例2

已知数列{an}: an ?

? 8 , 求? (n ? 1)(a n ? an?1 ) 的值. (n ? 1)(n ? 3) n ?1

八.迭代法 应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项:①an?1 ? an ? f (n) ;②an?1 ? an f (n). 例 1 数列 ?a n ?中, a1 ? 1, an ? n(an?1 ? an ) ,则数列 ?a n ?的通项 an ? ( )

A. 2n ? 1

B. n 2

C. (

n ? 1 n ?1 ) n

D. n

例 2 已知 S n 为数列 ?a n ?的前 n 项 和, a1 ? 1 , Sn ? n 2 ? an ,求数列 ?a n ?的通项公式.

例 3 数列 ?a n ?中, an?1 ? 3an ? 2(n ? N ? ) ,且 a10 ? 8 ,则 a4 ? (

)

A.

1 81

B. ?

80 81

C.

1 27

D. ?

26 27

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例 4 已知 {an } 的首项 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2n, (n ? N * ) ,求 {an } 的通项公式,并求 a100 的值。

九 构造等比数列求通项 待定系数法 例如:已知数列{an}中,a1=1,且 an+1=3an-1(n∈N*),求 an.
1 ,故而 2 1 1 1 1 1 1 1 an+1- =3(an- ),则数列{an- }是以首项 a1- = ,公比为 3 的等比数列,∴an- = ·3n-1,即 2 2 2 2 2 2 2 1 1 an= ·3n-1+ . 2 2

解 析 : 设 an+1+x=3(an+x), 则 an+1=3an+2x, 又 an+1=3an-1, 则 2x=-1, 即 x=-

利用倒数关系构造数列。 例如: 数列 {an } 中,若 a1 ? 2,
1 1 ? ? 4(n ? N ), 求 an an?1 a n

设bn ?

1 , 则bn ?1 ? bn +4, an

即 bn?1 ? bn =4,

?{b n }是等差数列。
可以通过等差数列的通项公式求出 bn ,然再求后数列{ an }的通项。 例 1 数列 ?an ?中, a1 ? 1, an ?
1 an ?1 ? 1?n ? 2 ? ,求通项公式 an 。 2

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例 2 已知数列 ?a n ?中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3n ,求数列 ?a n ?的通项公式.

例 3 设数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? a, an?1 ? Sn ? 3n (n ? N ? ) ,设 bn ? Sn ? 3n ,求数列

?bn ?的通项公式.

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