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【精品课件四】24.1圆


24.1.4 圆周角(一)

1、复习提问: (1)什么是圆心角? (2)圆心角,弧,弦,弦心 距关系定理是什么?

∠ACB与 ∠AOB 有何异同点? 你知道∠ACB这一类的角名字吗?

圆周角的概念 :
顶点在圆上,两边 与圆相交的角,叫圆 周角。

C

B O A

判断下列各图形中的是不是圆周角,
并说明理由.

归纳: 一个角是圆周角的条件:①顶点在圆上; ②两边都和圆相交.

探 问题:圆周角的度数与相应的圆心角度数有 究 什么关系? 一: A
(1)当圆心在圆周角的一边上时,

证明:(圆心在圆周角上)
OA ? OC ? ?C ? ?BAC
?BOC ? ?BAC ? ?C

O

C B 1 ? ?BAC ? ?BOC 2

结论:一条弧所对的圆周角等于它所对 圆心角的一半.

2.当圆心在圆周角外部时
提示:能否转化为1的情况?
?

A
C


过点B作直径BD.由1可得:

B 1 1 ?∠ABD = ∠AOD,∠CBD = 2 ∠COD, 2

O

D

1 ∴ ∠ABC = ∠AOC. 2

结论:一条弧所对的圆周角等于它所对圆 心角的一半.

3.当圆心在圆周角内部时
提示:能否转化为1的情况?
? ?

A

D C


过点B作直径BD.由1可得:
1 ∠AOD,∠CBD 2

∠ABD =

= 1∠COD, 2
B

O

∴ ∠ABC

1 = 2 ∠AOC.

结论:一条弧所对的圆周角等于它所对 圆心角的一半.

圆周角定理
?一条弧所对的圆周角等于它所对

圆心角的一半. ?同弧所对的圆周角相等
C

D

O

E

B

A

探究二:
1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度? 2.90°的圆周角所对的弦是 否是直径?

C A O B

推论: 半圆或直径所对的圆周角都相等, 都等于90°(直角).反过来也是成立的, 即90°的圆周角所对的弦是圆的直径
画板3

24.1.4 圆周角(二)

圆周角的概念 : 顶点在圆上,两边与圆相交的角,叫圆周角.

圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相 等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 推论: 半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于 90°; 90°的圆周角所对的弦是圆的直径.

如果∠A=44°,则∠BOC=____. 如果∠BOC=44°,则∠A=____. 如果∠A=35°,则∠BDC=____.
B

A
D O C

如图,点E、F、G、H在圆上, 你会找出几对相等的圆周角?
E 2 F 1

H

8 5

3 4

7 6

G

例.如图⊙o的直径AB为10cm,弦AC为6cm, ∠ACB的平分县交⊙o与D,求BC,AD,BD的长.
C O

A

B

D

在⊙o中,圆心角∠AOB=56°,则弧AB所对 的圆周角等于多少? 在⊙o中,圆心角∠AOB=56°,则弦AB所对 的圆周角等于多少?

即:在同圆或等圆中,同弦或等弦所对的圆周角 相等或互补

? 例. 如图OA、OB、OC都是⊙O的半径,

∠AOB=2∠BOC. ? 求证:∠ABC=∠BAC.
O A

B

C

例.已知:△ABC的三个顶点在⊙O上, ∠BAC=50°,∠ABC=47°,求∠AOB. 解:有题意知:∠A、∠B、∠C是圆周角, C ∠AOB是圆心角. 又∵∠BAC=50°,∠ABC=47° ∴∠ACB=180°-(∠A+∠B) O =180°-(50°+47°) =83°. A B 1



∴ ∠AOB=2∠ACB=2×83°=166°.

?ACB ? ?AOB 2

思考与巩固
? 1.如图,在⊙O中,∠BOC =50°,求∠A的大小.

B C


A

O

2.试找出下图中所有相等的圆角.
2 1 8 7 6 5

3 4

3、在圆中,一条弧所对的圆心角和

圆周角分别为(2x+100)°和 (5x—30)°,求这条弧所对的圆 心角和圆周角的度数。

4、如图,∠A是圆O的圆周角, ∠A=40°,求∠OBC的度数。
A

O

B

C

巩固练习: (1)如图,已知圆心角∠AOB=100°, 求圆周角∠ACB、∠ADB的度数? (2)一条弦分圆为1:4两部分, 求这弦所对的圆周角的度数?
O A C B D


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