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高手教师归纳等差数列的性质1


★ 等差数列的性质 ★
☆ ☆

通项公式: a n ? a1 ? (n ? 1)d , an ? am ? (n ? m)d (n, m ? N ? ) 前 n 项和公式:
Sn ? na1 ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d , Sn ? 2 2 an ? a1 a ?a n(n ? 1) ☆ 计算公

差 d 的方法:① d ? an ? an?1 ② d? ③ Sn ? na1 ? d ④ d? n m n ?1 2 n?m ☆ 假设三个数成等差: an ? d , an , an ? d 或 an , an ? d , an ? 2d ;四个数成等差: a ? 2d , a ? d , a ? d , a ? 2d

☆ 性质 ㈠


若 n ? m ? p ? q ,则 an ? am ? a p ? aq (其中 m, n, p, q ? N ? ) 。反之未必成立;
a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ??

常用变式①:
S 2 n?1 ?

(2n ? 1)( a1 ? a 2 n?1 ) (2n ? 1)( a n ? a n ) (2n ? 1)2a n ? ? ? (2n ? 1)a n 2 2 2

常用变式②:等差中项性质 2an ? an ? k ? an ? k ; 2an ? an ?1 ? an ?1 ; A ? 例 1 在等差数列{ a n }中, 已知 a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 =450, a2 ? a8 ? 例 2 已知 a、b、c 的倒数成等差数列,求证: 证明:因为 a、b、c 的倒数成等差数列
a b c , , b?c?a c?a?b a?b?c

a?b ? a, A, b 成等差数列 2

; S9 的倒数也成等差数列。

2 1 1 ? ? 即2ac=b(a+c) b a c b ? c ? a a ? b ? c c(b ? c) ? a(a ? b) c 2 ? a 2 ? b (a ? c ) c 2 ? a 2 ? 2a c (a ? c ) 2 2(a ? c)2 2(a ? c) 2(c ? a ? b) ? ? ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? a c a c a c a c a c b (a ? c ) b b (01 全国){ a n }是递增等差数列,前 3 项和为 12,前 3 项积为 48,求它的首项与公差分别为



(02 全国)若一个等差数列的前 3 项和为 34,最后 3 项和为 146,所有项和为 390,则该数列共 a S 5 (04 福建文)设 Sn 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若 5 ? , 则 9 ? a3 9 S5 (05 福建)已知等差数列 {a n } 中, a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1, 则a12 的值是 15 (05 湖南)已知数列 {log 2 (a n ? 1)}n ? N * ) 为等差数列,且 a1 ? 3, a3 ? 9. ,求得 a n ? 2 n ? 1. (06 福建)在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2, a2 ? a3 ? 13, 则 a4 ? a5 ? a6 等于 42



(06 全国)设 ?an ? 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2 a3 ? 80 ,则 a11 ? a12 ? a13 ? 105 (07 海南)已知 ?an ? 是等差数列, a4 ? a6 ? 6 ,其前 5 项和 S5 ? 10 ,则其公差 d ? (07 重庆)若等差数列{ a n }的前三项和 S 3 ? 9 且 a1 ? 1 ,则 a 2 = 3
1 2

(07 江西)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S12 ? 21 ,则 a2 ? a5 ? a8 ? a11 ? 7 (07 福建)等差数列 {an } 前 n 项和为 Sn,a1 ? 1 ? 2,S3 ? 9 ? 3 2 ,得 an ? 2n ? 1 ? 2,Sn ? n(n ? 2) (07 湖北)两等差数列 {an } {bn } 前 n 项和分别为 A n 和 Bn ,
An 7n ? 45 a ? ,使 n 为整数的 n 个数 5 Bn n?3 bn

(08 全国)已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 4 , a3 ? a5 ? 10 ,则它的前 10 项的和 S10 ? 95 (09 湖南文)设 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a2 ? 3 , a6 ? 11 ,则 S 7 等于 49 (09 全国 2 理)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a5 ? 5a3 则

S9 ? 9 S5 a 3 a 6 ? 55, a 2 ? a 7 ? 16 ,求 {a n } 的通项公式: a n ? 2n ? 1 (09 湖北文) 已知 {a n } 是一个公差大于 0 的等差数列,

(09 海南理)等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 sn ,且 4 a1 ,2 a2 , a3 成等差数列。若 a1 =1,则 s4 =15
2 ? 0 , S2 m?1 ? 38 ,则 m ? 10 (09 海南)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 am?1 ? am?1 ? am

(09 全国 2 文)已知等差数列{ a n }中, a3 a7 ? ?16, a 4 ? a6 ? 0, 求{ a n }前 n 项和 S n ? n 2 ? 9n或S n ? -n 2+9n
1 8 1 n S1 , S 3 , S 2 成等差数列, (09 辽宁文) 等比数列{ an }的前 n 项和为 sn , q ? - ; a1 - a3 =3 时 S n ? (1 ? (? ) ) 2 3 2

☆ 性质 ㈡

在等差数列 ?an ? 中,依次 k 个项之和仍组成一个等差数列。即

S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k ,…, S lk ? S( l ?1 )k ,…( k ? 2 , k ? N ? )也成等差数列

例 1 等差数列 {a n } 前 n 项的和为 S n ,且 S3 ? 3 , S6 ? 7 ,则 S9 的值是 例 2 已知 {an } 是等差数列,前 m 项和为 S m ? 30 ,前 2m 项和为 S2 m ? 100 ,求前 3m 项和 S3m ? S 3 S 1 (06 全国 II)设 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 3 ? ,则 6 ? S12 10 S6 3 (07 陕西)等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S 2 ? 2, S 4 ? 10, 则S 6 等于 24 (07 辽宁)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S3 ? 9 , S6 ? 36 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? 45 (08 陕西)已知 {an } 是等差数列, a1 ? a2 ? 4 , a7 ? a8 ? 28 ,则该数列前 10 项和 S10 等于 100 .☆

性质 ㈢
S n ? na1 ?

Sn ? an 2 ? bn ? c 能表示等差数列前 n 项和的充要条件是 c ? 0 .

n(n ? 1)d d 2 d ? n ? (a1 ? )n.( n ? N ? ) , S n 是 n 的二次函数(常数项为 0),有性质: 2 2 2 ㊣ S n 的图象是过原点的抛物线上一些孤立点, 对称轴为 n ? ? b ? 1 ? a1
2a 2 d

1 a1 ? 的正整数时,当 d>0 时 S n 有最小值. 当 d<0 时 S n 有最大值 2 d 例 1 设等差数列 ?a n ?满足 3a8 ? 5a13 且 a1 ? 0 , S n 为其前 n 项和,则 S n 中最大的是 S 20

n 取最接近于

例 2 等差数列 ?a n ?中, S n 为其前 n 项和,且 S 6 ? S 7 , S 7 ? S 8 ,则正确的是(1),(2),(3) (填入序号). (1)此数列公差 d<0 (2) S 9 一定小于 S 6 . (3) S 7 一定是 S n 中最大值, (4) a 7 是各项中最大一项 解:由性质, 等差数列前 n 项和 S n 的图象是过原点的抛物线上一些孤立点, 又 S 6 ? S 7 , S 7 ? S 8 , 所以只可画右图 , 抛物线开口向下 , ? d<0, a n 递减 , a1 最大 , d (1)正确,(4)错误,最接近对称轴 n ? (a1 ? ) 的正整数为 n ? 7 ,? (2), (3) 均正确 2 例 3 等差数列 ?a n ?中, 已知 a 2 ? ?6, a8 ? 6, S n 是其前 n 项和, 则 ( B ). A. S 4 ? S 5 B. S 4 ? S 5 C. S 6 ? S 5 D. S 6 ? S 5 (92 全国理)等差数列 ?a n ?中, a3 ? 12, S12 ? 0, S13 ? 0 (1) 求公差 d 的取值范围(2) S1 S 2 ....S12 中哪一个最大?
11 ? ? S12 ? 0 ?12a1 ? 2 d ? 0 ? a1 ? d ? 0..(?) 由 a ? 12 知 a ? 12 ? 2d ,代入(*),(**),得 ? 24 ? d ? ?3 . ?? ?? 3 1 ? 2 ? ? 7 ? S13 ? 0 ?13a ? 13 ? 12 d ? 0 ? ?a1 ? 6d ? 0....(??) 1 ? ? 2 ? 12 ? 11

(2) ? d ? 0 , S n 是 开 口 向 下 的 抛 物 线 上 一 些 孤 立 点 , S n 有 最 大 值 , 由 (*),(**) 知
6?

a 11 ? ? 1 ? 6, 即 2 d

1 a 1 a1 ? ? 6.5 ,?n 取最接近于 ? 1 的正整数为 n ? 6 ,即 S 6 是 S n 中最大值,也是 S1 S 2 ....S12 中最大值. 2 d 2 d

(99 上海)在等差数列{ a n }中, 3a4 ? 7a7 且 a1 ? 0 ,求使得 s n 取得最大值时的 n 值为

☆性质 ㈣等差数列 {an } 中下标序号成等差的项又组成一个等差数列, a l , al ?k , al ?2k ,…, al ?mk ,…
(06 广东)已知等差数列共有 10 项,其中奇数项之和 15,偶数项之和为 30,则其公差是 3 (08 湖北)f ( x) ? 2 x ,等差数列 {a x } 公差为 2 ,f (a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ) ? 4 ,则 log 2 [ f (a1 ) ? f (a2 ) f (a3 ) ??? f (a10 )] ? ?6 (09 安徽文)已知 {a n } 为等差数列, a1 ? a3 ? a5 ? 105, a2 ? a 4 ? a6 ? 99 ,则 a 20 等于 1 (09 安徽理) ?an ? 为等差数列, a1 + a3 + a5 =105, a2 ? a4 ? a6 =99,令前 n 项和 S n 达到最大值的 n 是 20 高
1 (03 全国、广东)等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? , a2 ? a5 ? 4, an ? 33, 则n 为 50 3 1 (08 广东理)记等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? , S 4 ? 20 ,则 S 6 ? 48 2 (08 广东文)记等差数列的前 n 项和为 S n ,若 S2 ? 4, S4 ? 20 ,则该数列的公差 d ? 3

(09 辽宁理)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 6S5 ? 5S3 ? 5, 则 a4 ?

1 3

★ 等比数列的性质 ★
★ 通项公式: an ? a1q n ?1 , an ? am q n?m
15 2
a ?a q a1 (1 ? q n ) 项求和公式:当 q ? 1 时, Sn ? , Sn ? 1 n 1? q 1? q

典例(09 海南文)等比数列{ an }的公比 q ? 0 , 已知 a2 =1, an? 2 ? an?1 ? 6an ,则{ an }的前 4 项和 S 4 =



前n

; 当 q ? 1 时, Sn ? na1
2 n?4 (8 ? 1) 7

典例 (06 北京)设 f (n) ? 2 ? 24 ? 27 ? 210 ? ? ? 23n?10 (n ? N ) ,则 f (n) ? (09 浙江)设等比数列 {an } 的公比 q ?

S 1 ,前 n 项和为 S n ,则 4 ? a4 2

15





☆(01 广东+全国) {an } 是公比大于 1 的等比数列, S n 是它的前 n 项和,若 ? S n ? 是等差数列,则 q ? 1 解析 ? 2Sn ? Sn?1 ? Sn?1
即Sn ? Sn?1 ? Sn?1 ? Sn ?an ? an?1 即a1q n?1 ? a1q n

等比数列解题关键:运用方程思想知三求二( a1 , an , q, n, Sn )

?q ? 1



性质 ㈠

若 n ? m ? p ? q ,则 an am ? a p aq (其中 m, n, p, q ? N ? ) 。反之未必成立;

常用变式①: a1an ? a2 an?1 ? a3an?2 ? ??
2 2 常用变式②:等比中项性质 a n ? an ? k an ? k ; an ? an ?1an ?1 ; G ? ab ? a, G , b 成等比数列

典例 典例

已知在等比数列 ?an ? 中, a15 ? 10, a45 ? 90 ,则 a60 ? 270或 ? 270 在正数等比数列 ?an ? 中, a4 a5 ? 32 ,则 lo g 2 a1 ? lo g 2 a2 ? ... ? lo g 2 a8 ? 20

☆ a, ?2, b, ?8, c 五个数成等比数列,试求 a, b, c 的值。 ☆ 等比数列 ?an ? 中, an ? 0, a3a5 ? 2a4 a6 ? a5a7 ? 36 ,则 a4 ? a6 ? ☆ 在正数等比数列 ?an ? 中, a4 a5 a6 ? 3 ,则 lo g3 a1 ? lo g3 a2 ? lo g3 a5 ? lo g3 a8 ? lo g3 a9 ? ☆ a ? b ? 0, A 是 a, b 的等差中项, G 是 a, b 的等比中项( G ? 0 )且 A ? 2G ,则 ☆ 等比数列 ?a n ?中,若 a1 ? a2 ? a3 ? 7 , a1a2 a3 ? 8 ,求得: an ? 2n ?1 或an ? 23? n ☆ 等比数列 ?an ? 中, a4 a7 ? ?512, a3 ? a8 ? 124 ,且公比为整数,则 a10 ? ☆ ?ABC 的三个角 A, B, C 成差数列,对应的三条边 a, b, c 成等比数列,判断 ?ABC 形状 a ? a3 ? a9 13 ☆(92 全国)等差数列 ?a n ?的公差 d≠0,且 a1 , a3 , a9 成等比数列,则 1 的值是 a 2 ? a 4 ? a10 16 ☆ (04 浙江) 等差数列 ?a n ?的公差为 2,若 a1 ,a 3 , a 4 成等比数列, 则 a 2 = ☆(05 浙江)实数 a, b, c 成等差数列, a ? 1, b ? 1, c ? 4 成等比数列,且 a ? b ? c ? 15 ,求 a, b, c ☆(06 湖北)互不相等的实数 a , b , c 成等差数列 c , a , b 成等比数列, a ? 3b ? c ? 10 则 a ? -4 ☆(06 辽宁)在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 S n ,若数列 ?an ? 1? 也是等比数列,则 S n ? 2n 解:
(an?1 ? 1)2 ? (an ? 1)(an? 2 ? 1) ? an?12 ? 2an?1 ? 1 ? an an? 2 ? an ? an? 2 ? 1 ? an (1 ? q 2 ? 2q) ? 0 ? q ? 1? an ? 2, Sn ? 2n
?a 2 ? an ? an?2 n?1

a ? b

?

2an?1 ? an ? an? 2

☆(07 天津)设等差数列 ?an ? 的公差 d 不为 0 , a1 ? 9d .若 ak 是 a1 与 a2 k 的等比中项,则 k ? 4

☆(07 北京)数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? cn , a1,a2,a3 成公比不为 1 的等比数列.求 c ? 2
? , , 且 a5 ? a2n ? 5 ? 22 n ( n ? 3), 则 当 n ? 1 时 , ☆ ( 09 广 东 理 ) 已 知 等 比 数 列 {an } 满 足 an ? 0 ,n ? 1, 2
2 lo g2 a 1 ? lo g 2 a 3?? ? lo g 2a n2 ? 1? n s.5.u.c.o.m

☆(09 江西文)公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a4 是 a3与a7 的等比中项, S8 ? 32 , S10 =60 ☆(09 四川文)等差数列{ a n }的公差不为零,首项 a1 =1, a 2 是 a1 和 a 5 的等比中项,则 S10= 100 1 1 ☆(09 天津理)设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3a 与3b的等比中项,则 ? 的最小值为 4 a b

★ 性质 ㈡ 在等比数列 {a n } 中,依次 k 个项之和仍组成一个等比数列。即
S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k ,…, S lk ? S( l ?1 )k ,…( k ? 2 , k ? N ? )成公比为 q 的等比数列
k

典例 在等比数列 {an } 中, a1 ? a2 ? 3,a3 ? a4 ? 6 , 则 a7 ? a8 ? 24 ☆ 在等比数列 {an } 中, S4 ? 1, S8 ? 3, 则a17 ? a18 ? a19 ? a20 ? ☆ 在等比数列 {an } 中, a5 ? a6 ? a(a ? 0),a15 ? a16 ? b, 则a25 ? a26 ?

☆ S6 : S3 ? 1: 2, 则S9 : S3 ?

☆(05 江苏)在各项都为正数的等比数列{ an }中,首项 a1 =3,前三项和为 21,则 a3 ? a4 ? a5 ? 84 ☆(07 陕西)各项均正数的等比数列{ an }前 n 项和为 S n ,若 Sn ? 2, S3n ? 14, 则S4 n ? ☆(07 重庆){ an }是公比 q ? 1 的等比数列,若 a2004 , a2005 是方程 4 x2 ? 8x ? 3 ? 0 的两根,则 a2006 ? a2007 ? 1 32 ☆(08 浙江理)已知 ?a n ?是等比数列, a 2 ? 2,a5 ? ,则 a1a 2 ? a2 a3 ? ? ? a n a n?1 = (1 ? 4? n ) 4 3 ☆(08 全国文)已知等比数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 3,a2 ? a3 ? 6 ,则 a7 ? 64 ☆(09 辽宁理)设等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 ★ 性质 ㈢ 在等比数列 {an } 中,若 an ? a1q
n ?1

S6 S 7 ? 3 ,则 9 ? S3 S6 3

??lg an ? 是 lg a1 为首项 q 为公差的等差数列。

(a1 ? 0, q ? 0) 则 lg an ? lg a1 ? (n ? 1)q
k

★ 性质 ㈣ 在等比数列 {an } 中序号成等差的项又组成一个等比数列, 即 a l ,al ?k ,al ? 2k , …是公比为 q 的 等比数列,例如: a3 , a7 , a11 , a15 成以 a3 为首项,以 q 为公比的等比数列 典例 (05 全国 2 文) 在 和
8 3 27 之间插入三个数, 使这五个数成等比数列, 则插入的三个数的乘积为 216 2
4

2 ☆(06 北京)设 f (n) ? 2 ? 24 ? 27 ? 210 ? ? ? 23n?10 (n ? N ) ,则 f (n) 等于 (8n ? 4 ? 1) 7

★ 性质 ㈤ ★

?a n ??bn ?是等比数列,则 ?kann ??anbn ? ? an ? 也是等比数列,请你说出公比分别为??
? bn ?

?

?

a 等比数列的设法(三个数: , a, aq ; a, aq, aq 2 ) (四个数: a, aq, aq 2 , aq 3 ) ; q a a (★☆四个数成等比的错误设法: , , aq, aq 3 ==?因为其公比为 q 2 >0,对于公比为负的情况不能包括) 3q q 典例 四个实数中前三个数依次成等比它们的积是 ?8 ,后三个数依次成等差它们积是 ?80 求这四个数 ☆ (90 全国文)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的 和是 16,第二个数与第三个数的和是 12,求这四个数 0,4,8,16 或 15,9,3,1 1 ☆(05 福建文)已知{ a n }是公比为 q 的等比数列,且 a1 , a3 , a 2 成等差数列,求得 q ? 1或q ? ? 2 1 ☆(07 全国)等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 S1 , 2S2 , 3S3 成等差数列,则 {an } 的公比为 q ? 3
3a2,a3 ? 4 成等差数列,求得 an ? 2n ?1 ☆(07 山东文) {an } 是公比大于 1 的等比数列, S3 ? 7 , a1 ? 3, {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列, a1 ? b1 ? 1 ,a3 ? b5 ? 21 ,a5 ? b3 ? 13 ☆ (07 全国文)

求得 an ? 1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1



bn ? q n ?1 ? 2n ?1

☆ (08 全国二文)等差数列 ?an ? 中, a4 ? 10 且 a3,a6,a10 成等比数列,求得 S 20 =200 或 300 ☆ (09 广东文) 已知等比数列 {a n } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a 2 =1,则 a1 = ☆(09 江西理)数列 {an } 的通项 an ? n 2 (cos 2
2

2 2

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 S n ,则 S30 为 470 3 3


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