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2014安徽省高考文科数学 (含答案)WORD版


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(文)
第 ? 卷(选择题 共 50 分) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.设 i 是虚数单位,复数 i ?
3

2i ?( 1? i
C. ? 1

) D. 1 )

A. ? i
<

br />B. i

2. 命题“ ?x ? R, | x | ? x 2 ? 0 ”的否定是( A. ?x ? R, | x | ? x 2 ? 0 C. ?x0 ? R, | x0 | ? x0 ? 0 3.抛物线 y ? A. y ? ?1
2

B. ?x ? R, | x | ? x 2 ? 0 D. ?x0 ? R, | x0 | ? x0 ? 0 )
开 始
2

1 2 x 的准线方程是( 4
B. y ? ?2

C. x ? ?1

D. x ? ?2 x=1, y=1 )
z=x+y

4.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( A.34 B.55 C.78 D.89 ) C. c ? b ? a
2 2

5.设 a=log37,b=21.1,c=0.83.1 则( A. b ? a ? c B. c ? a ? b

D. a ? c ? b

z≤50? 是 x=y



6.过点 P 的直线 l 与圆 x ? y ? 1 有公共点, (? 3,?1 ) 则直线 l 的倾斜角的取值范围是( )

输出 z

(0, ] A. 6

?

(0, ] B. 3

?

C. [0, ]

?

6

D. [0, ]

?

y=z

结 束

3

7.若将函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos2 x 的图像向右平移 ? 个单位, 所得图像关于 y 轴对称, 则? 的 最小正值是( )A.

? 8

B.

? 4

C.

3? 8

D.

3? 4 1
1

1

1 1 1

1

1

8.一个多面体的三视图如图所示,则多面体的体积是

23 A. 3

47 B. 6

C. 6

D.7

正(主)视图

侧(左)视图

1 1 1 1
俯视图

第 1 页 共 7 页

9.若函数 f ( x) ? x ? 1 ? 2 x ? a 的最小值 3,则实数 a 的值为( A.5 或 8 B. ? 1 或 5 C. ? 1 或 ? 4 D. ? 4 或 8



10.设 a , b 为非零向量,b ? 2 a , 两组向量 x1, x2 , x3 , x4 和 y1, y2 , y3 , y4 均由 2 个 a 和 2 个 b 排 列而成,若 x1 ? y1 ? x2 ? y2 ? x3 ? y3 ? x4 ? y4 所有可能取值中的最小值为 4 a ,则 a 与 b 的 夹角为( A. ? ) B.
2

2 3

? 3

C.

? 6

D.0
A

二.选择题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

5 4 ? 16 ? 4 11. ? ? +log 3 ? log 3 ? ________. 4 5 ? 81 ?
12.如图,在等腰直角三角形 ABC 中,斜边 BC ? 2 2 ,

?

3

A2 A4

过点 A 作 BC 的垂线,垂足为 A 1 ;过点 A 1 作 AC 的垂线, 垂足为 A2 ;过点 A2 作 AC 3 ;?, 1 的垂线,垂足为 A 以此类推,设 BA ? a1 , AA1 ? a2 , A 1A 2 ? a3 ,?,

B

A1

A3

C

A5 A6 ? a7 ,则 a7 ? ________.
?x ? y ? 2 ? 0 ? 13.不等式组 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 表示的平面区域的面积为________. ?x ? 3y ? 2 ? 0 ?
14. 若 函 数 f ?x ??x ? R ? 是 周 期 为 4 的 奇 函 数 , 且 在 ?0,2? 上 的 解 析 式 为

? x(1 ? x),0 ? x ? 1 ? 29 ? ? 41? ,则 f ? f ?x ? ? ? ? ? f ? ? ? _______ ? 4? ?6? ?sin ?x, 1 ? x ? 2
15.若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件:

(i) 直线 l 在点 P?x0 , y0 ?处与曲线 C 相切;(ii ) 曲线 C 在 P 附近位于直线 l 的两侧,则称直线
l 在点 P 处“切过”曲线 C .
下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)

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①直线 l : y ? 0 在点 P?0,0? 处“切过”曲线 C : y ? x 3 ②直线 l : x ? ?1 在点 P?? 1,0? 处“切过”曲线 C : y ? ( x ? 1)2 ③直线 l : y ? x 在点 P?0,0? 处“切过”曲线 C : y ? sin x ④直线 l : y ? x 在点 P?0,0? 处“切过”曲线 C : y ? tan x ⑤直线 l : y ? x ? 1 在点 P?1,0? 处“切过”曲线 C : y ? ln x 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别是 a, b, c ,且 b ? 3, c ? 1 ,

?ABC 的面积为 2 ,求 cos A 与 a 的值.

17、 (本小题满分 12 分)

0.150

频率/组距

某高校共有 15000 人,其中男生 10500 人, 0.125 女生 4500 人,为调查该校学生每周平均 体育运动时间的情况,采用分层抽样的 0.075 方法,收集 300 位学生每周平均体育运动 时间的样本数据(单位:小时) (Ⅰ)应收集多少位女生样本数据? (Ⅱ)根据这 300 个样本数据,
0 2 4 6 8 10 12
时间(小时)

0.100

0.025

得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示) , 其中样本数据分组区间为: 估计该校学生每周平均体育运动时间超过 4 个小时的概率. (Ⅲ) 在样本数据中, 有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 个小时.请完成每周平均体 育运动时间与性别的列联表, 并判断是否有 间与性别有关”. 附 : P(K2≥K0) 0.10 Kw 2.706 0.05 3.841 0.010 6.635 0.005 7.879 的把握认为 “该校学生的每周平均体育运动时 .

第 3 页 共 7 页

18.(本小题满分 12 分) 数列 {an } 满足 a1 ? 1, nan?1 ? (n ? 1)an ? n(n ? 1), n ? N ? (1) 证明:数列 {

an } 是等差数列; n

(2) 设 bn ? 3n ? an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn

19(本题满分 13 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面边长为 8 的正方形, 四条侧棱长均为 2 17 .点 G, E , F , H 分别是 棱 PB, AB, CD, PC 上共面的四点, 平面 GEFH ? 平面 ABCD , BC // 平面 GEFH . (1)证明: GH // EF; (2)若 EB ? 2 ,求四边形 GEFH 的面积.
A D G P

H F B C

E

20(本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? 1 ? (1 ? a) x ? x2 ? x3 ,其中 a ? 0 (1) 讨论 f ( x ) 在其定义域上的单调性; (2) 当 x ? [0,1] 时,求 f ( x ) 取得最大值和最小值时的 x 的值.

21(本小题满分 13 分)

x2 y E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E 于 设F 1 , F2 分别是椭圆 a b
A, B 两点, | AF1 |? 3| BF1 |
(1) 若 | AB |? 4, ?ABF2 的周长为 16,求 | AF2 | ; (2) 若 cos ?AF2 B ?

2

3 ,求椭圆 E 的离心率. 5

第 4 页 共 7 页

2014 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数学(文)答案
1 D 27 (11). 8 2 C 3 A 1 (12). 4 4 B (13).4 5 B 6 D 5 (14). 16 7 C 8 A 9 D 10 B

(15).①③④

1 2 2 16.解:由三角形的面积公式。得 ×3×1×sinA= 2,故 sinA= . 2 3 因为 sin A+cos A=1,所以 cosA=± 1-sin2A=±
2 2

1-

8 1 = ± 。 9 3

1 1 (1)当 cosA= 时,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA=32+12-2× 1× 3× ,所以 a=2 2 3 3 1 1 (2)当 cosA=- 时,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA=32+12-2× 1× 3× (- ),所以 a=2 3 3 3 4500 17.解: (1)300× =90,所以应收集 90 位女生的样本数据。 15000 (2)由频率分布直方图得 1-2×(0.1000+0.025)=0.75,所以该校学生每周平均体育运动时间 超过 4 小时的概率的估计值为 0.75 (3)由(2)知,300 位学生中有 300×0.75=225 人的每周平均体育运动时间超过 4 小时,75 人的每周平均体育运动时间不超过 4 小时,又因为样本数据中有 210 份是关于男生的, 90 份是关于女生的,所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下: 每周平均体育运动时间与性别列联表 男生 女生 总计 每周平均体育运动时间 45 30 75 不超过 4 小时 每周平均体育运动时间 165 60 225 超过 4 小时 总 计 210 90 300 2 300 × 2250 100 2 结合列联表可算得 K = = ≈4.762>3.841 75×225×210×90 21 所以有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关” 。 18.证: (1)由已知可得 an a1 an+1 an = +1 所以{ }是以{ }为首项,1 为公差的等差数列。 n 1 n+1 n

an (2)由(1)得 =1+(n-1)=n,所以 an=n2,从而得 bn=n·3n n Sn=1·31+2·32+3·33+?+n·3n 3Sn=1·32+2·33+3·34+?+n·3n+1 ① ②

3·(1-3n) (1-2n)·3n+1-3 ①-②得-2Sn=31+32+33+?+ 3n -n·3n+1 = - n·3n+1= 1-3 2

第 5 页 共 7 页

(2n-1)·3n+1+3 所以 Sn = 4 19.(1)证:因为 BC∥平面 GEFH,BC?平面 PBC,且平面 PBC∩平面 GEFH=GH, 所以 GH∥BC。同理可证 EF∥BC,因此 GH∥EF。 (2)连接 AC,BD 交于点 O,BD 交 EF 于点 K,连接 OP,GK, 因为 PA=PC,O 是 AC 的中点,所以 PO⊥AC,同理可得 PO⊥BD。 又 BD∩AC=O,且 AC,BD 都在底面内,所以 PO⊥底面 ABCD。 又因为平面 GEFH⊥平面 ABCD,且 PO?平面 GEFH,所以 PO∥平面 GEFH, 因为平面 PBD∩平面 GEFH=GK,所以 PO∥GK,且 GK⊥底面 ABCD,从而 GK⊥EF, 所以 GK 是梯形 GEFH 的高,由 AB=8,EB=2 得 EB∶AB=KB∶DB=1∶4, 1 1 1 1 从而 KB= DB= OB,GK= PO,且 GH= BC=4, 4 2 2 2 由已知可得 OB=4 2,PO= PB -OB = 68-32=6, GH+EF 4+8 所以 GK=3,故四边形 GEFH 的面积 S= ·GK= ×3=18 2 2 20.解: (1)f(x)的定义域为 R, f ′(x)=1+a-2x-3x2 令 f ′(x)=0 得 -1- 4+3a -1+ 4+3a x1= ,x2= ,x1<x2 ,所以 f ′(x)=-3(x-x1)(x-x2)。 3 3 当 x<x1 或 x>x2 时,f ′(x)<0 当 x1<x<x2 时 f ′(x)>0 故 f(x)在(-?,x1)和(x2,+?)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增。 (2)因为 a>0,所以 x1<0,x2>0。 当 a≥4 时,x2≥1,由(1)知在[0,1]上单调递增, 所以 f(x) 在 x=0 和 x=1 处分别取得最小值和最大值。 当 0<a<4 时,x2<1 由(1)知,f(x)在[0,x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减, -1+ 4+3a 因此 f(x)在 x= x2= 处取得最大值。 3 又 f(0)=1,f(1)=a 所以当 0<a<1 时,f(x)在 x=1 处取得最小值; 当 a=1 时,f(x)在 x=0 和 x=1 处同时取得最小值, 当 1<a<4 时,f(x)在 x=0 处取得最小值。 21.(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,得|AF1|=3,|F1B|=1.
2 2

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因为△ABF2 的周长为 16,所以由椭圆的定义可得 4a=16, |AF1|+|AF2|=2a=8,故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5 (2)设|F1B|=k,则 k>0 且|AF1|=3k,|AB|=4k, 由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k。 在△ABF2 中,由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2||BF2|cos∠AF2B, 6 即(4k)2=(2a-3k) 2+(2a-k)2- (2a-3k)·(2a-k)化简可得(a+k)(a-3k)=0, 5 而 a+k>0,故 a=3k,于是有|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,可得 F1A⊥F2A, 故△AF1F2 为等腰直角三角形, 从而 c= 2 c 2 a,所以椭圆 E 的离心率 e= = 2 a 2

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