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2.2.2 等差数列的通项公式 教师资料配套用书


2.2.2 等差数列的通项公式

(教师用书独具)

●三维目标 1.知识与技能 (1)掌握用“叠加法”求等差数列通项公式的方法,掌握等差数列的通项公式,并能用 公式解决一些简单的问题; (2)掌握等差数列的常用简单性质,并能应用于解题; (3)正确认识使用等差数列的多种表达形式,能灵活运用通项公式求等差数列的首项、 公差、项数、指定的项,

能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系并能用有关知识解决 相应的问题; (4)能通过通项公式与图象认识等差数列的性质,体会等差数列是用来刻画一类离散现 象的重要数学模型, 体会等差数列与一次函数的关系; 能用图象与通项公式的关系解决某些 问题. 2.过程与方法 (1)进行等差数列通项公式应用的实践操作,并在操作过程中通过类比函数概念、性质、 表达式得到对等差数列相应问题的研究; (2)通过等差数列的图象的应用,进一步渗透数形结合思想、函数思想; (3)通过等差数列通项公式的运用,渗透方程思想. 3.情感、态度与价值观 (1)通过对等差数列的研究,使学生明确等差数列与一般数列的内在联系,从而渗透特 殊与一般的辩证唯物主义观点; (2)培养学生观察、归纳的能力,培养学生的应用意识. ●重点、难点 重点:探索等差数列的通项公式,并且会用公式解决一些简单的问题,体会等差数列与 一次函数之间的联系. 难点: 概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法, 体会等差数列与一次函数之间 的联系. 在探索发现等差数列的通项公式时, 教师要给学生思考的空间, 先让学生自己经历对几 个特殊的等差数列通项公式的观察、归纳、猜想过程,从感性认识逐步上升到理性思维,然

后通过分组讨论、合作交流,迁移过渡到一般等差数列通项公式的探究发现,关键是体会等 差数列定义的作用. 由此逐步概括出观察、 归纳、 猜想以及叠加、 迭代等数学基本思想方法. 体会等差数列与一次函数之间的联系时, 应充分利用二者图象之间的关系; 等差数列的 图象是相应一次函数的图象的一个子集,是相应一次函数定义域为正整数集时对应点的集 合.

(教师用书独具)

●教学建议 1.在回顾上节所学等差数列概念的基础上,首先引导学生自己去寻找上节所提出的三 个实际问题(第 23 届到第 28 届奥运会举行年份问题、 通话计费问题、 储蓄问题)的通项公式, 为后面求一般等差数列通项公式作铺垫, 从而完成从研究具体的等差数列通项公式到一般等 差数列通项公式的过渡. 然后引导学生用“叠加法”探求一般的等差数列的通项公式, 最后 从函数的角度思考等差数列通项公式与一次函数的关系. 2.在完成等差数列通项公式的教学后,结合具体数列,引导学生思考等差数列满足的 性质,提高学生研究性学习的能力. 3.为了让学生巩固本部分知识,可以三个方面设置例题与练习:等差数列的通项公式、 等差数列性质的应用、等差数列的实际应用.对于这些例题及练习应引导学生自己解决,使 学生更深刻领会本节知识. ●教学流程

回顾等差数列有关概念,引导学生寻找上节三个实际问题的通项公式,并总结它们的特点. ? 引导学生用“叠加法”探求一般的等差数列的通项公式. ? ? ? ?

引导学生结合图象思考等差数列通项公式与一次函数的关系. 结合具体数列,引导学生观察探寻等差数列满足的性质. 通过例1及其变式训练使学生掌握等差数列通项公式的求法与应用.

通过例2及其变式训练使学生掌握等差数列性质的应用方法,进一步熟悉等差数列的性质. ? ? 通过例3及其变式训练使学生掌握在实际问题中如何应用等差数列的通项公式及性质. 归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节课所学知识. ?

完成当堂双基达标,巩固所学知识,并进行反馈矫正.

(对应学生用书第 23 页)

1.掌握等差数列的通项公式.(重点) 课标解读 2.能运用通项公式解决一些简单问题.(重点、 难点) 3.了解等差数列与一次函数的关系.

等差数列的通项公式 【问题导思】 若等差数列{an}的首项为 a,公差为 d,则根据定义可得 a2-a1=____,即 a2=a1+____; a3-a2=d,即 a3=a2+d=a1+______; a4-a3=d,即 a4=a3+d=a1+______; ?? 因此归纳等差数列{an}的第 n 项 an=______. 【提示】 d d 2d 3d a1+(n-1)d 从函数角度研究等差数列{an} 【问题导思】 1.由等差数列的通项公式,等差数列的任意项 an 与序号 n 有何函数关系? 【提示】 由通项公式:an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),故 d≠0 时,an 是关于序号 n 的一次函数;d=0 时为常数函数. 2.数列{an}满足 an=kn+b(k,b 为常数),{an}一定是等差数列吗? 【提示】 一定.因为 an-an-1=(kn+b)-[k(n-1)+b]=k,k 为常数,所以{an}一定 是等差数列.

an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)是关于 n 的一次函数的形式,其定义域为 N*,其图象是 直线 y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点,其中公差 d 是该直线的斜率. 等差数列的性质 【问题导思】 1.等差数列{an}中,当 m+n=p+q 时,am+an=ap+aq(m,n,p,q 为正整数)成立吗? 试证明之. 【提示】 成立.由等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d,am=a1+(m-1)d,ap=a1

+(p-1)d,aq=a1+(q-1)d, ∴an+am=2a1+(m+n-2)d, ap+aq=2a1+(p+q-2)d. ∵m+n=p+q, ∴am+an=ap+aq. 2.等差数列{an}中,a1,a4,a7,a10,?有何关系? 【提示】 设等差数列{an}公差为 d,则 a4=a1+3d,a7=a1+6d,a10=a1+9d,?所 以 a4-a1=3d,a7-a4=3d,a10-a7=3d,?, 即 a1,a4,a7,a10,?仍为等差数列. 1.在等差数列{an}中,设 m、n、p、q 均为正整数,若 m+n=p+q,则 am+an=ap+ aq;特别地,若 m+n=2p,则 am+an=2ap. 2.若数列{an}是公差为 d 的等差数列,那么 ak,ak+m,ak+2m,ak+3m,?组成的数列仍 为等差数列,公差为 md,即等间隔抽取的子数列也是等差数列.

(对应学生用书第 23 页)

等差数列的通项公式

已知等差数列 6,3,0,?. (1)试求此数列的第 100 项; (2)-30 和-40 是不是这个数列的项?若是,是第几项?若不是说明理由. 【思路探究】 等差数列→首项、公差→通项公式→列方程→解方程,判断

【自主解答】 (1)设此数列为{an},则首项 a1=6,公差 d=3-6=-3, ∴数列的通项公式为 an=6+(n-1)×(-3)=-3n+9. ∴a100=-3×100+9=-291. (2)如果-30 是这个数列中的项, 则方程-30=-3n+9 有正整数解. 解这个方程得 n=13,因此-30 是这个数列的第 13 项; 如果-40 是这个数列中的项, 则方程-40=-3n+9 有正整数解, 49 解这个方程得 n= ,因此-40 不是这个数列中的项. 3

1.求出数列{an}的通项公式是解决本题的关键. 2.数列的通项公式是数列的核心,是解决数列问题的关键,特别是求数列中的某一项, 判断某一数值是否是数列中的项等,都需确定通项公式. 3.当判断某一数值 a 是否是数列{an}中的项时,只需令 an=a,若解得 n 为正整数,则 a 是数列{an}中的项,否则不是数列{an}中的项.

若{an}为等差数列,a15=8,a60=20,则 a75=________. 【解析】 法一 ∵a15=a1+14d,a60=a1+59d,
? ?a1+14d=8, ∴? 解得 ?a1+59d=20, ?

?a =15, ? 4 ?d=15.
1

64

64 4 故 a75=a1+74d= +74× =24. 15 15 法二 ∵{an}为等差数列,∴a15,a30,a45,a60,a75 也成等差数列.设其公差为 d,则 a15 为首项,a60 为第 4 项. ∴a60=a15+3d,∴20=8+3d,解得 d=4,故 a75=a60+d=20+4=24. 法三 由等差数列的性质,得 d = a60-a15 20-8 4 = = , a75 = a60 + (75 - 60)d = 20 + 45 15 60-15

4 15× =24. 15 【答案】 24

等差数列性质的应用

已知等差数列{an}的公差是正数,并且 a3a7=-12,a4+a6=-4,求 数列{an}的通项公式. 【思路探究】 先由等差数列的性质求 a3,a7 的值,再列方程组解 a1,d. 【自主解答】 由等差数列{an}的性质知:a3+a7=a4+a6,从而 a3a7=-12,a3+a7= -4,故 a3,a7 是方程 x2+4x-12=0 的两根,又 d>0,解之得 a3=-6,a7=2.再解方程组
? ? ?a1+2d=-6, ?a1=-10, ? 解得? ?a1+6d=2, ? ? ?d=2.

则 an=a1+(n-1)d=-10+(n-1)×2=2n-12,即 an=2n-12.

1.本例中利用等差数列的性质转换已知条件,使解题过程简捷灵活. 2.等差数列的常用性质如下: (1)若 m,n,p,q∈N*且 m+n=p+q,则有 am+an=ap+aq.当 m+n=2p 时,am+an= 2ap. (2)一个等差数列中的序号成等差数列、公差为 m 的项 ak,ak+m,ak+2m,?组成的数列 仍是等差数列,且公差为 md. an-a1 an-am (3)d= = (m,n∈N*,n>m). n-1 n-m (4)an=am+(n-m)d(m,n∈N*,n>m).

若 a2+a8=180,求 a3+a4+a5+a6+a7. 【解】 因为 a2+a8=2a5=180,所以 a5=90. 又因为 a3+a7=a4+a6=2a5, 所以 a3+a4+a5+a6+a7=5a5=5×90=450. 等差数列的实际应用

某公司经销一种数码产品,第 1 年获利 200 万元.从第 2 年起由于市 场竞争等方面的原因,利润每年比上一年减少 20 万元.按照这一规律,如果公司不开发新 产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损? 【思路探究】 认真阅读题目中所给条件,建立等差数列模型求解. 【自主解答】 由题意可设第 1 年获利为 a1, 第 n 年获利为 an, 则 an-an-1=-20(n≥2, n∈N*),每年获得的利润构成等差数列{an},且首项 a1=200,公差 d=-20.

所以 an=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20) =-20n+220. 若 an<0,则该公司经销这一产品将亏损. 由 an=-20n+220<0,解得 n>11. 即从第 12 年起,该公司经销这一产品将亏损.

1.将实际问题转化成等差数列模型是解决此类问题的关键. 2. 在实际问题中, 若涉及到一组与顺序有关的数的问题, 可考虑利用数列方法解决. 若 这组数依次成直线递增或递减, 则可考虑利用等差数列方法解决. 在利用数列方法解决实际 问题时,一定要分清首项、项数等关键问题.

(2013· 黄冈高二检测)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各 节的容积成等差数列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为 ________. 【解析】 设所构成的等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,
?a1+a2+a3+a4=3, ?4a1+6d=3, ? ? 由题意得? 即? ?a7+a8+a9=4, ? ? ?3a1+21d=4,

?a =22, 解得? 7 ?d=66,
1

13

67 所以 a5=a1+4d= . 66

【答案】

67 升 66

(对应学生用书第 24 页)

等差数列的性质运用错误 设数列{an}是等差数列,a2=4,a4=10,求 a6.

【错解】 ∵{an}是等差数列, ∴a6=a2+a4,∴a6=4+10=14. 【错因分析】 在等差数列中,若 m+n=p+q,m,n,p,q∈N*,则 am+an=ap+aq, 即必须是两项相加等于另两项相加.若 m+n=2p,则 am+an=2ap,如 a2+a4=2a3 成立, 但 a2+a4=a6 却不一定成立. 【防范措施】 注意对等差数列性质的理解与记忆,对性质:当 m+n=p+q(m,n,p, q∈N*)时,am+an=ap+aq,不能误认为“若 m=p+q 则 am=ap+aq”. 【正解】 ∵a2=a1+d=4,a4=a1+3d=10, 两式相减得 2d=6,∴d=3,a1=1, ∴a6=a1+5d=1+5×3=16.

1.基础知识: (1)等差数列的通项公式; (2)等差数列的性质. 2.基本技能: (1)等差数列通项公式的求法; (2)等差数列通项公式的应用; (3)等差数列性质的应用; (4)等差数列的实际应用. 3.思想方法: (1)方程思想;

(2)转化思想.

(对应学生用书第 25 页)

1.等差数列为 1,-1,-3,?,则-89 的项数是________. 【解析】 首项 a1=1,公差 d=-1-1=-2,所以通项公式为 an=a1+(n-1)d=1- 2(n-1)=3-2n,令 3-2n=-89,∴n=46. 【答案】 46 2.若{an}是等差数列,且 a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则 a3+a6+a9=________. 【解析】 ∵a1+a4+a7=3a4=45,∴a4=15. 又∵a2+a5+a8=3a5=39, ∴a5=13. ∴d=a5-a4=-2. ∴a3+a6+a9=3a6=3(13-2)=33. 【答案】 33 3.在等差数列{an}中,若 a1=23,a6>0,a7<0,公差 d∈Z,则公差 d=________. 【解析】 ∵a6=a1+5d=23+5d>0, a7=a1+6d=23+6d<0, 23 23 ∴- <d<- .又 d∈Z,∴d=-4. 5 6 【答案】 -4 4.已知等差数列{an}满足 a2+a5+a8=9,a3· a5· a7=-21,求 an. 【解】 ∵a2+a5+a8=9,a2+a8=2a5, ∴3a5=9,a5=3, ∴a3+a7=2a5=6,① 又 a3a5a7=-21, ∴a3a7=-7,② 由①②解得 a3=-1,a7=7 或 a3=7,a7=-1, ∴a3=-1,d=2 或 a3=7,d=-2.

由 an=a3+(n-3)d,得 an=2n-7 或 an=-2n+13.

(对应学生用书第 86 页)

一、填空题 1.已知等差数列{an}的前三项为 a-1,a+1,2a+3,则此数列的通项公式为________. 【解析】 由已知 2(a+1)=(a-1)+(2a+3), 得 a=0, ∴d=1-(-1)=2,首项 a1=-1. ∴an=-1+(n-1)×2=2n-3. 【答案】 an=2n-3 2.(2013· 扬州检测)在等差数列{an}中,已知 a3=4,a5=-4,则 a7=________. 【解析】 ∵数列{an}是等差数列,∴a3+a7=2a5. 又∵a3=4,a5=-4,∴a7=2a5-a3=-12. 【答案】 -12 3.已知点(1,1),(3,7)是等差数列{an}图象上的两点,则 a5=________. 【解析】 a1=1,2d=7-1,∴d=3,∴a5=a1+4d=1+4×3=13. 【答案】 13
2 2 4.已知数列{an}满足:an +1=an+4,且 a1=1,若 an>0,则 an=________.

【解析】 设 a2 n=bn,则{bn}为等差数列,∵bn+1=bn+4 且 b1=1,∴bn=1+4(n-1) =4n-3,∴an= bn= 4n-3. 【答案】 4n-3

5 . (2013· 无锡检测 ) 已知一个等差数列的前三项分别为- 1 , x,3 ,则它的第五项为 ________. 【解析】 ∵2d=3-(-1)=4,∴d=2, ∴a5=-1+4×2=7. 【答案】 7 6.已知等差数列{an}中,a3 和 a15 是方程 x2-6x-1=0 的两个根,则 a7+a8+a9+a10 +a11=________. 【解析】 ∵a3 和 a15 是方程 x2-6x-1=0 的两根,

∴a3+a15=2a9=6,a9=3, ∴a7+a8+a9+a10+a11=(a7+a11)+(a8+a10)+a9=5a9=15. 【答案】 15 7.黑白两种颜色的正六边形地面砖按下图 2-2-1 的规律拼成若干个图案,则第 n 个 图案中有白色地面砖________块.

图 2-2-1

【解析】 显然构成一个等差数列,且首项 a1=6,公差 d=4,∴第 n 个图案中有 an =6+4(n-1)=4n+2 块白色地面砖. 【答案】 4n+2 8.在等差数列{an}中,a1= 范围是________. 【解析】 an=a1+(n-1)d= 1 1 +(n-1)d.由题意知 d>0, a10≥1 且 a9<1, 即 a10= + 25 25 1 ,从第 10 项开始,每一项均不小于 1,则公差 d 的取值 25

1 8 3 9d≥1 且 a9= +8d<1,解得 ≤d< . 25 75 25 8 3 【答案】 [ , ) 75 25 二、解答题 9.已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,求 an. 【解】 设等差数列{an}的公差为 d, ∵a3=7,a5+a7=26,
? ? ?a1+2d=7, ?a1=3, ∴? 解得? ?2a1+10d=26, ?d=2. ? ?

∴an=3+2(n-1)=2n+1. 10.已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求数列{an}的通项公式. 【解】 ∵a1+a7=2a4,a1+a4+a7=3a4=15, ∴a4=5. 又∵a2a4a6=45,∴a2a6=9. 即(a4-2d)(a4+2d)=9,即(5-2d)(5+2d)=9, 解得 d=± 2. 若 d=2,则 an=a4+(n-4)· 2=2n-3;

若 d=-2,则 an=a4+(n-4)· (-2)=13-2n. an-1 1 11.在数列{an}中,a1=1,an= (n≥2),bn= . an 3an-1+1 (1)求证数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 【解】 3an-1+1 1 1 1 (1)证明:由题意知 bn-bn-1= - = - =3(n≥2,n∈N*), an an-1 an-1 an-1

∴{bn}是公差为 3 的等差数列. 1 1 1 = 1 , ∴ bn = b1 + (n - 1)×3 = 3n - 2 = a , ∴ an = (n ∈ a1 3n-2 n

(2) ∵ a1 = 1 , ∴ b1 = N*).

(教师用书独具)

已知数列{an}的通项公式为 an=pn2+qn(常数 p,q∈R). (1)当 p 和 q 满足什么条件时,数列{an}是等差数列; (2)求证:对任意的实数 p 和 q,数列{an+1-an}都是等差数列. 【思路探究】 (1)由等差数列的定义可知,{an}是等差数列?an+1-an 是一个与 n 无关 的常数.(2)即证明(an+2-an+1)-(an+1-an)是一个与 n 无关的常数. 【自主解答】 (1)设数列{an}是等差数列, 由题意,得 an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q,上式应是一个与 n 无关的常数, ∴有 2p=0,即 p=0. 当 p=0 时,数列{an}是等差数列. (2)证明:∵an+1-an=2pn+p+q, ∴an+2-an+1=2p(n+1)+p+q. ∴(an+2-an+1)-(an+1-an) =[2p(n+1)+p+q]-(2pn+p+q)=2p(常数). ∴对任意的实数 p 和 q,数列{an+1-an}都是等差数列.

1.{an}为等差数列?an+1-an=d(d 为常数)对 n∈N*恒成立. 2. 定义 an+1-an=d(d 为常数)是判断数列{an}是否为等差数列的“基本”方法, 我们称 之为“定义法”.

已知等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,数列{bn}中,bn=3an+4,则{bn}是否为等差 数列?并说明理由. 【解】 {bn}是等差数列,理由如下: ∵an+1-an=d(n∈N*), ∴bn+1-bn=(3an+1+4)-(3an+4) =3(an+1-an)=3d. ∴{bn}为等差数列. 拓展 等差数列通项公式推导方法 等差数列通项公式的推导方法除课本使用的“叠加法”(又称累加法)外,还可采用以下 三种推导方法: (1)归纳法: 因为{an}是等差数列,所以: a2=a1+d, a3=a2+d=a1+2d, a4=a3+d=a1+3d, a5=a4+d=a1+4d, ?? an=an-1+d=a1+(n-1)d, 所以 an=a1+(n-1)d(n≥2). 当 n=1 时,等式两边均为 a1,所以等式也是成立的,这就说明当 n∈N*时,an=a1+(n -1)d 总成立. (2)逐差法:因为{an}是等差数列,所以有: an=an-an-1+an-1, an-1=an-1-an-2+an-2; an-2=an-2-an-3+an-3, ?? a2=a2-a1+a1,

所以 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+?+(a2-a1)+a1=(n-1)d+a1,所以 an=a1+(n-1)d(n∈N*). (3)迭代法: 因为{an}是等差数列,所以有: an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+d+2d=an-3+3d=?=a1+(n-1)d, 所以 an=a1+(n-1)d(n∈N*).


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