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2016届《创新设计》数学一轮(文科)人教A版课时作业 第4章 第5讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用


第5讲

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

基础巩固题组
(建议用时:40 分钟) 一、选择题 ? x π? 1.函数 f(x)= 3sin?2-4?,x∈R 的最小正周期为 ? ? π A.2 C.2π 解析 2π 最小正周期为 T= 1 =4π. 2 答案 D B.π D.4π ( )

π 2.(2015· 济南模拟)将函数 y=cos 2x+1 的图象向右平移4个单位,再向下平移 1 个单位后得到的函数图象对应的表达式为 A.y=sin 2x C.y=cos 2x 解析 B.y=sin 2x+2 π? ? D.y=cos?2x-4? ? ? ( )

π ? π? 将函数 y=cos 2x+1 的图象向右平移4个单位得到 y=cos 2?x-4?+1= ? ?

sin 2x+1,再向下平移 1 个单位得到 y=sin 2x,故选 A. 答案 A

3.(2014· 浙江卷)为了得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图象,可以将函数 y= 2cos 3x 的图象 π A.向右平移12个单位 π C.向左平移12个单位 解析 π B.向右平移4个单位 π D.向左平移4个单位 ( )

π? ? ∵y=sin 3x+cos 3x= 2cos?3x-4? ? ?

-1-

π ?? π ? ? = 2cos?3?x-12??,将 y= 2cos 3x 的图象向右平移12个单位即可得到 ? ? ?? π ?? ? ? y= 2cos?3?x-12??的图象,故选 A. ? ? ?? 答案 A

π π 4.(2014· 成都诊断)函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,-2<φ<2)的部分图象如图所示, 则 ω,φ 的值分别是 ( )

π A.2,-3 π C.4,-6 解析

π B.2,-6 π D.4,3

2π ?11π 5π? 由图象知 f(x)的周期 T=2? 12 -12?=π,又 T= ω ,ω>0,∴ω=2.由于 ? ?

π π 5π ?5π ? f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0, -2<φ<2)的一个最高点为?12,2?, 故有 2×12+φ=2kπ ? ? π π π π π +2(k∈Z),即 φ=2kπ-3,又-2<φ<2,∴φ=-3,选 A. 答案 A

π 5. (2014· 福建卷)将函数 y=sin x 的图象向左平移2个单位, 得到函数 y=f(x)的图象, 则下列说法正确的是 A.y=f(x)是奇函数 B.y=f(x)的周期为 π π C.y=f(x)的图象关于直线 x=2对称 ? π ? D.y=f(x)的图象关于点?-2,0?对称 ? ? 解析 π 将函数 y=sin x 的图象向左平移2个单位,得到函数 y=f(x)的图象,则 y ( )

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? π? ? π? ? π? =f(x)=sin?x+2?=cos x.此函数为偶函数,周期为 2π.由于 f?-2?=cos?-2?= ? ? ? ? ? ? π ? π ? cos 2=0,所以 y=f(x)的图象关于点?-2,0?对称,故选 D. ? ? 答案 D

二、填空题 π π? ? 6.(2014· 重庆卷)将函数 f(x)=sin(ωx+φ)?ω>0,-2≤φ<2?图象上每一点的横坐 ? ? π 标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移6个单位长度得到 y=sin x 的图 ?π? 象,则 f?6?=________. ? ? 解析 y=sin x错误!y=sin错误!

纵坐标不变 ?1 π? ?2x+6?, ― ― → y = sin 横坐标变为原来的2倍 ? ? ?1 π? 即 f(x)=sin?2x+6?, ? ? π 2 ?π? ? π π? ∴f?6?=sin?12+6?=sin 4= 2 . ? ? ? ? 答案 2 2

π ?π? 7.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的图象关于直线 x=3对称,且 f?12?=0,则 ω ? ? 的最小值为________. 解析 π ?π? ?π ? 由 f?12?=0 知?12,0?是 f(x)图象的一个对称中心, 又 x=3是一条对称轴, ? ? ? ?

ω>0, ? ? 所以应有?2π ?π π ? ≤4?3-12?, ? ? ? ?ω 解得 ω≥2,即 ω 的最小值为 2. 答案 2

π π? ? 8.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)?ω>0,-2≤φ≤2?的图象上的两个相邻的最高点和 ? ? 1? ? 最低点的距离为 2 2,且过点?2,-2?,则函数解析式 f(x)=________. ? ?

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解析

据已知两个相邻最高和最低点距离为 2 2,可得

?T?2 ?2? +?1+1?2=2 2, ? ?

1? 2π π ?πx ? ? 解得 T=4,故 ω= T =2,即 f(x)=sin? 2 +φ?,又函数图象过点?2,-2?,故 ? ? ? ? 1 ?π ? f(2)=sin?2×2+φ?=-sin φ=-2, ? ? π π 又-2≤φ≤2, π ?πx π? 解得 φ=6,故 f(x)=sin? 2 +6?. ? ? 答案 ?πx π? sin? 2 +6? ? ?

三、解答题 ? π? 9.(2015· 景德镇测试)已知函数 f(x)=4cos x· sin?x+6?+a 的最大值为 2. ? ?

(1)求 a 的值及 f(x)的最小正周期; (2)在坐标系上作出 f(x)在[0,π]上的图象. 解 ? 3 ? 1 ? π? ? sin x+ cos x? + a = 3sin 2x + (1)f(x) = 4cos xsin ?x+6? + a = 4cos x· ? ? 2 ?2 ?

π? ? 2cos2x+a= 3sin 2x+cos 2x+1+a=2sin?2x+6?+1+a 的最大值为 2, ? ? 2π ∴a=-1,最小正周期 T= 2 =π. (2)列表: x π 2x+6 π? ? f(x)=2sin?2x+6? ? ? 0 π 6 1 π 6 π 2 2 5π 12 π 0 2π 3 3π 2 -2 11π 12 2π 0 π 13π 6 1

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画图如下:

10.(2014· 湖北卷)某实验室一天的温度(单位:° C)随时间 t(单位:h)的变化近似满 足函数关系: π π f(t)=10- 3cos 12t-sin 12t,t∈[0,24). (1)求实验室这一天上午 8 时的温度; (2)求实验室这一天的最大温差. 解 ?π ? ?π ? (1)f(8)=10- 3cos?12×8?-sin?12×8? ? ? ? ?

2π 2π 3 ? 1? =10- 3cos 3 -sin 3 =10- 3×?-2?- 2 =10. ? ? 故实验室上午 8 时的温度为 10 ℃. ? 3 π 1 π ? ? (2)因为 f(t)=10-2? cos t + sin 12 2 12t? ?2 π? ?π =10-2sin?12t+3?, ? ? π π π 7π 又 0≤t<24,所以3≤12t+3< 3 , π? ?π -1≤sin?12t+3?≤1. ? ? π? ?π 当 t=2 时,sin?12t+3?=1; ? ? π? ?π 当 t=14 时,sin?12t+3?=-1. ? ? 于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12,取得最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ° C,最低温度为 8 ° C,最大温差为 4 ° C.

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能力提升题组
(建议用时:25 分钟) π? π ? 11.(2014· 辽宁卷)将函数 y=3sin?2x+3?的图象向右平移2个单位长度,所得图象 ? ? 对应的函数 ? π 7π? A.在区间?12,12?上单调递减 ? ? ? π π? C.在区间?-6,3?上单调递减 ? ? 解析 ( ? π 7π? B.在区间?12,12?上单调递增 ? ? ? π π? D.在区间?-6,3?上单调递增 ? ? )

π? π ? 将 y = 3sin ?2x+3? 的 图 象 向 右 平 移 2 个 单 位 长 度 后 得 到 y = ? ?

2π? π 7π π 2π π ? ? π? π? x-2?+ ?=3sin? 2x- 3 ?的图象,当 ≤x≤ 时,- ≤2x- ≤ , ? 3sin?2? ? 3? 12 12 2 3 2 ? ? ? ? 2π? ? π 7π? ? ∴y=3sin?2x- 3 ?在?12,12?上单调递增,故选 B. ? ? ? ? 答案 B

π? π ? 12.(2014· 东北三省三校联考)函数 f(x)=sin(2x+φ)?|φ|<2?向左平移6个单位后是奇 ? ? π? ? 函数,则函数 f(x)在?0,2?上的最小值为 ? ? 3 A.- 2 1 C.2 解析 1 B.-2 3 D. 2 π? π ? ? π? 函数 f(x)=sin(2x+ φ)?|φ|<2?向左平移6 个单位后得到函数为 f?x+6? = ? ? ? ? ( )

π π ? ? π? ? ? ? sin?2?x+6?+φ?=sin?2x+3+φ?, 因为此时函数为奇函数, 所以3+φ=kπ(k∈Z), ? ? ? ? ? ? π π π 所以 φ=-3+kπ(k∈Z).因为|φ|< 2,所以当 k=0 时,φ=-3 ,所以 f(x)= π? π π π 2π π π ? sin?2x-3?.当 0≤x≤2时,-3≤2x-3≤ 3 ,即当 2x-3=-3时,函数 f(x)= ? ? π? 3 ? ? π? sin?2x-3?有最小值为 sin?-3?=- 2 . ? ? ? ? 答案 A

-6-

π? ? ?π? ?π? ?π π? 13.已知 f(x)=sin?ωx+3? (ω>0),f?6?=f?3?,且 f(x)在区间?6,3?上有最小值,无 ? ? ? ? ? ? ? ? 最大值,则 ω=_____________________________. π π 6+3 π 依题意,x= 2 =4时,y 有最小值,

解析

π? π π 3π ?π ω+3?=-1,∴ ω+ =2kπ+ ∴sin?4· 4 3 2 (k∈Z). ? ? 14 π π ?π π? ∴ω=8k+ 3 (k∈Z),因为 f(x)在区间?6,3?上有最小值,无最大值,所以3-4 ? ? π ≤ω,即 ω≤12,令 k=0, 14 得 ω= 3 . 答案 14 3

14.已知函数 f(x)=2 3sin xcos x+2sin2x-1,x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; 1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的2,再 π 把所得到的图象向左平移6个单位长度, 得到函数 y=g(x)的图象, 求函数 y=g(x) ? π π? 在区间?-6,12?上的值域. ? ? 解 (1)因为 f(x)=2 3sin xcos x+2sin2x-1

π? ? = 3sin 2x-cos 2x=2sin?2x-6?, ? ? ∴函数 f(x)的最小正周期为 T=π, π π π 由-2+2kπ≤2x-6≤2+2kπ,k∈Z, π π ∴-6+kπ≤x≤3+kπ,k∈Z, π ? π ? ∴f(x)的单调递增区间为?-6+kπ,3+kπ?,k∈Z. ? ? 1 (2)函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的2,得到 y

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π? ? =2sin?4x-6?; ? ? π ? ? π? π? x+ ?- ? = 再把所得到的图象向左平移 6 个单位长度,得到 g(x) = 2sin ?4? ? ? 6? 6? π? ? 2sin?4x+2?=2cos 4x, ? ? ? π π? ? 2π π? 当 x∈?-6,12?时,4x∈?- 3 ,3?, ? ? ? ? π 所以当 x=0 时,g(x)max=2,当 x=-6时,g(x)min=-1. ? π π? ∴y=g(x)在区间?-6,12?上的值域为[-1,2]. ? ?

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