当前位置:首页 >> 数学 >>

2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量第1讲平面向量的概念及线性运算课件理


第1讲

平面向量的概念及线性运算

最新考纲

1.了解向量的实际背景; 2.理解平面向量的概

念,理解两个向量相等的含义; 3.理解向量的几何表示;
4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义; 5.掌 握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含 义;6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

知识梳理 1.向量的有关概念
名称 向量 定义 既有大小又有方向的量;向量的大 备注 平面向量是自由向量

小叫做向量的长度(或称模)

零向量 长度为零的向量;其方向是任意的 单位 向量

0 记作___
非零向量a的单位向

长度等于1个单位的向量

a 量为 ± |a|

相反的非零向量 ____或____ 平行向量 方向相同 平行 或 0与任一向量_______ 方向相同或相反的非零向量又 共线 共线向量 叫做共线向量

相同 的向量 ____且方向_____ 相等向量 长度相等
相反 的向量 ____且方向_____ 相反向量 长度相等

两向量只有相等或不等, 不能比较大小 0的相反向量为0

2.向量的线性运算

向量运算 定 义

法则(或几何意义)

运算律

求两个 加法 向量和 的运算

(1)交换律: b+a a+b=_____. (2)结合律:

a+(b+c) (a+b)+c=_________

求a与b的相反 减 向量-b的和 法 的运算叫做a 与b的差 |λ||a| ; (1)|λa|=______ 数 乘 λμa ; 求实数λ与向 (2)当λ>0时,λa的方向与 λ(μa)=____ a-b=a+(-b)

λa+μa ; ____;当λ<0时,(λ+μ)a=______ 量a的积的运 a的方向相同 算
相反;λ(a+b)=______ λa+λb λa的方向与a的方向____ 0 当λ=0时,λa=___

3.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,
b=λa 使得_______.

诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)零向量与任意向量平行.( (2)若 a∥b,b∥c,则 a∥c.( ) )

精彩PPT展示

→ → (3)向量AB与向量CD是共线向量,则 A,B,C,D 四点在一 条直线上.( )

(4) 当两个非零向量 a , b 共线时,一定有 b = λa ,反之成 立.( ) )

→ 1 → → (5)在△ABC 中,D 是 BC 中点,则AD=2(AC+AB).(

解析 (2)若b=0,则a与c不一定平行. (3)共线向量所在的直线可以重合,也可以平行,则A,B,

C,D四点不一定在一条直线上.
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√

2.给出下列命题:①零向量的长度为零,方向是任意的; → → ②若 a,b 都是单位向量,则 a=b;③向量AB与BA相等. 则所有正确命题的序号是( A.① B.③ ) C.①③ D.①②

解析

根据零向量的定义可知①正确; 根据单位向量的

定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故 → → 两个单位向量不一定相等,故②错误;向量AB与BA互 为相反向量,故③错误.

答案 A

1→ → 3.(2017· 枣庄模拟)设 D 为△ABC 所在平面内一点, AD=-3AB 4→ → → + AC,若BC=λDC(λ∈R),则 λ=( ) 3 A.2 B.3 C.-2 D.-3 1→ 4→ → → → → 解析 由AD=-3AB+3AC,可得 3AD=-AB+4AC,

→ → → → → → → → 即 4AD-4AC=AD-AB, 则 4CD=BD, 即BD=-4DC, → → → → → 可得BD+DC=-3DC,故BC=-3DC, 则 λ=-3,故选 D.

答案 D

4.(2015· 全国 Ⅱ 卷 ) 设向量 a , b 不平行,向量 λa + b 与 a + 2b 平行, 则实数λ=____________.
解析 ∵向量 a,b 不平行,∴a+2b≠0,又向量 λa+b 与

a+2b 平行, 则存在唯一的实数 μ, 使 λa+b=μ(a+2b)成立, 即
? ?λ=μ, λa+b=μa+2μb,则得? 解得 ? 1 = 2 μ , ?

1 λ=μ= . 2

1 答案 2

5.(必修 4P92A12 改编)已知?ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O, → → → → 且OA=a,OB=b,则DC=______,BC=________(用 a,b 表示).

解析

→ → → → 如图, DC=AB=OB-OA=b-a,

→ → → → → BC=OC-OB=-OA-OB=-a-b.

答案 b-a

-a-b

考点一 平面向量的概念
【例 1】 下列命题中,不正确的是________(填序号). ①若|a|=|b|,则 a=b; → → ②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则“AB=DC” 是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件; ③若 a=b,b=c,则 a=c.

解析

①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.

→ → → → → → ②正确.∵AB=DC,∴|AB|=|DC|且AB∥DC,又 A,B,C,D 是 不共线的四点,∴四边形 ABCD 为平行四边形;反之,若四边形 → → → → → → ABCD 为平行四边形,则|AB|=|DC|,AB∥DC且AB,DC方向相同, → → 因此AB=DC. ③正确.∵a=b,∴a,b 的长度相等且方向相同,又 b=c,∴b,c 的长度相等且方向相同,∴a,c 的长度相等且方向相同,故 a=c.

答案 ①

规律方法 递性.

(1)相等向量具有传递性, 非零向量的平行也具有传

(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关. (3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时, 不要把它与函数图象的移动混为一谈. a a (4)非零向量 a 与 的关系: 是与 a 同方向的单位向量. |a| |a|

【训练1】 下列命题中,正确的是________(填序号). ①有向线段就是向量,向量就是有向线段; ②向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;

③两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.
解析 ①不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有

向线段,有向线段也不是向量; ②不正确,若a与b中有一个为零向量,零向量的方向是不确 定的,故两向量方向不一定相同或相反;

③正确,向量既有大小,又有方向,不能比较大小;向量的
模均为实数,可以比较大小. 答案 ③

考点二 平面向量的线性运算
【例 2】 (1)(2017· 潍坊模拟)在△ABC 中,P,Q 分别是 AB,BC 的 1 1 → → → 三等分点, 且 AP= AB, BQ= BC.若AB=a, AC=b, 则PQ=( ) 3 3 1 1 1 1 A.3a+3b B.-3a+3b 1 1 1 1 C.3a-3b D.-3a-3b → → → → (2)(2015· 北京卷)在△ABC 中,点 M,N 满足AM=2MC,BN=NC. → → → 若MN=xAB+yAC,则 x=________;y=________.

解析

→ → → 2→ 1→ 2→ (1)PQ=PB+BQ=3AB+3BC=3AB+

1 → → 1→ 1→ 1 1 ( AC - AB ) = AB + AC = a + 3 3 3 3 3b,故选 A. → → → 1→ 1→ 1→ (2)由题中条件得,MN=MC+CN=3AC+2CB=3AC+ 1 → → 1→ 1→ → → (AB-AC)= AB- AC=xAB+yAC, 2 2 6 1 1 所以 x=2,y=-6.

答案

(1)A

1 (2)2

1 -6

规律方法

(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向

量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转化. (2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:①观察 各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法

则找关系;④化简结果.

【训练 2】 (1)如图,正方形 ABCD 中,点 E 是 DC 的中点,点 F → 是 BC 的一个靠近 B 点的三等分点,那么EF等于( )

1→ 1 → A.2AB-3AD 1→ 1 → C.3AB+2DA

1→ 1 → B.4AB+2AD 1→ 2 → D.2AB-3AD

(2)在△ABC 中,AB=2,BC=3,∠ABC=60° ,AD 为 BC 边 → → → 上的高, O 为 AD 的中点, 若AO=λAB+μBC, 则 λ+μ 等于( ) 1 1 2 A.1 B.2 C.3 D.3 → → → 解析 (1)在△CEF 中,有EF=EC+CF. → 1→ 因为点 E 为 DC 的中点,所以EC=2DC. 因为点 F 为 BC 的一个靠近 B 点的三等分点, → 2→ → 1 → 2→ 1→ 2 → 所以CF=3CB.所以EF=2DC+3CB=2AB+3DA 1→ 2 → = AB- AD,故选 D. 2 3

→ → → → 1→ (2)∵AD=AB+BD=AB+3BC, → → 1→ → 1→ 1→ ∴2AO=AB+ BC,即AO= AB+ BC. 3 2 6 1 1 2 故 λ+μ=2+6=3.

答案 (1)D (2)D

考点三 共线向量定理及其应用
【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 不共线. → → → (1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b).求证:A,B,D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. → → → (1)证明 ∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b). → → → ∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b) → → → =5AB.∴AB,BD共线,又它们有公共点 B, ∴A,B,D 三点共线.

(2)解

∵ka+b 与 a+kb 共线,∴存在实数 λ,

使 ka+b=λ(a+kb),即 ka+b=λa+λkb, ∴(k-λ)a=(λk-1)b. ∵a,b 是不共线的两个非零向量, ∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,∴k=± 1.

规律方法

(1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,

但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向 量共线且有公共点时,才能得出三点共线. (2) 向量 a , b 共线是指存在不全为零的实数 λ1 , λ 2 ,使 λ1a+λ2b=0成立.

→ → 【训练 3】 (1)(2017· 资阳模拟)已知向量AB=a+3b,BC=5a+3b, → CD=-3a+3b,则( A.A,B,C 三点共线 C.A,C,D 三点共线 ) B.A,B,D 三点共线 D.B,C,D 三点共线

(2)已知 A,B,C 是直线 l 上不同的三个点,点 O 不在直线 l 上, → → 则使等式 x OA+xOB+BC=0 成立的实数 x 的取值集合为( A.{0} C.{-1} B.? D.{0,-1}
2→

)

解析

→ → → → (1)∵BD=BC+CD=2a+6b=2(a+3b)=2AB,

→ → ∴BD、AB共线,又有公共点 B, ∴A,B,D 三点共线.故选 B. → → → → → → 2→ (2)因为BC=OC-OB,所以 x OA+xOB+OC-OB=0, → → → 即OC=-x2OA-(x-1)OB,因为 A,B,C 三点共线, 所以-x2-(x-1)=1,即 x2+x=0,解得 x=0 或 x=-1.

答案 (1)B (2)D

[思想方法] 1.向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则 .向量加 法的三角形法则要素是“首尾相接,指向终点”;向量减 法的三角形法则要素是“起点重合,指向被减向量”;平 行四边形法则要素是“起点重合”.

2. 证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量
共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点 时,才能得出三点共线.

3.对于三点共线有以下结论:对于平面上的任一点 O, → ,OB → 不共线,满足OP → =xOA → +yOB → (x,y∈R),则 P, OA A,B 共线?x+y=1.

[易错防范]
1. 解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量 的大小,更重要的是要考虑向量的方向;二是考虑零向 量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性. 2. 在利用向量减法时,易弄错两向量的顺序,从而求得所

求向量的相反向量,导致错误.


赞助商链接
相关文章:
【创新设计】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第五章...
【创新设计】(江苏专用)2017版高考数学轮复习 第五章 平面向量 第1讲 平面向量的概念及线性运算习题 理_数学_高中教育_教育专区。【创新设计】 (江苏专用)...
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量5.1平...
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量5.1平面向量的概念及线性运算教师用书文 - 5.1 平面向量的概念及线性运算 1.向量的有关概念 名称 向量 零向量...
...一轮复习第五章平面向量5.1平面向量的概念及线性运算理
2018版高考数学轮复习第五章平面向量5.1平面向量的概念及线性运算理_数学_高中教育_教育专区。第五章 平面向量 5.1 平面向量的概念及线性运算 理 1.向量的...
2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量5.1平面向量的...
2018 版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 5.1 平面向量的概念 及线性运算教师用书 文 新人教版 1.向量的有关概念 名称 向量 零向量 单位向量 平行向量 共...
浙江专用2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量复数5...
(浙江专用)2018 版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.4 平面向量的应用 第 1 课时 平面向量在几何中的应用教师用书 1.向量在平面几何中的应用 (1)...
...轮复习第五章平面向量51平面向量的概念及线性运算学...
(通用)2018高考数学轮复习第五章平面向量51平面向量的概念及线性运算学案理! - §5.1 平面向量的概念及线性运算 考纲展示? 1.了解向量的实际背景. 2.理解...
2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量5.2平面向量基...
2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量5.2平面向量基本定理及坐标表示试题理_...平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设 a=(x1,y1),b...
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量5.4平...
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量5.4平面向量的综合应用教师用书理 - 第五章 平面向量 5.4 平面向量的综合应用教师用书 理 苏教版 1.向量在平面...
2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量5.4平面向量应...
2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量5.4平面向量应用举例试题理_数学_高中...平面向量作为一种工具,常与函数(三角函数),解析几何结合,常通过向量的线性运算...
2018版高考数学一轮复习第五章平面向量5.4平面向量的综...
2018版高考数学轮复习第五章平面向量5.4平面向量的综合应用理_数学_高中教育_教育专区。第五章 平面向量 5.4 平面向量的综合应用 理 1.向量在平面几何中的应用...
更多相关标签:

相关文章