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4.函数的拐点问题


4.函数的拐点问题
1.若关于 x 的不等式(x-1)(x -bx-2)≥0 对一切 x∈(0,+∞)成立,则实数 a 的取值集合为_______ {-1} . 解法一:当 x=1 时 , b∈R; 2 当 x>1 时 , x2-bx-2≥0,即 b≤x- . x 2 因 为 函 数 f ( x ) = x- 在 (0 , + ∞ ) 上 是 单 调 增 函 数 , 所

以 , x 当 x>1 时 , b≤f (1) = - 1 ; 2 当 0 < x<1 时 , x2-bx-2≤0,即 b≥x- , 所 以 , b≥f (1) = - 1 ; x 综上,b= -1. 解法二:函数 y=x-1 与函数 y=x2-bx-2 图象在第一象限的部分横坐标相同的点始终在 x 轴的同侧, 所以函数 y=x2-bx-2 的图象经过函数 y=x-1 图象与 x 轴的交点(1,0), 所以 1-b-2=0,解得 b= -1. 此时,原不等式为(x-1)(x2+x-2)≥0,即(x-1)2(x+2)≥0, 满足对一切 x∈(0,+∞)成立. 所以 b= -1. 解法三:当 x=1 时,b ∈R; 2 当 x>0 , 且 x≠1 时 , 不等式(x-1)(x2-bx-2)≥0,即(x-1)( x- -b)≥0. x 2 所以,函数 y=x-1 与 y=x- -b 的图象在第一象限的部分横坐标相同的点始终在 x 轴的同侧. x 由 1-2 -b=0,得 b=-1. 综上,b= -1. 解法四:因为函数 x2-bx-2 的判别式△=b2+8>0,所以存在 x1,x2∈R(其中 x1<x2),使 得 x2-bx-2=(x-x1)(x-x2). 若 x1,x2 都不为 1,则(x-1)(x-x1)(x-x2)在 x=1 的两侧函数值异号,不满足条件, 所以 x1,x2 中有一个为 1,所以 b= -1. 此时(x-1)(x2-bx-2)=(x-1)2(x+2)≥0,满足条件. 3 2.如果关于 x 的不等式(a|x|-1)(x2-a|x|-2)≥0 对一切的 x∈R 成立,那么实数 a 的取值集合为_______ { } . 3 解法一:显然 a>0. 1 2 1 3 当 | x|≥ 时 , a≤|x|- 恒成立, 即 a≤ -2 a , 得 0 < a≤ ; a |x| a 3 1 2 1 3 当 | x|≤ 时 , a≥|x|- 恒成立, 即 a≥ -2 a , 得 a≥ . a |x| a 3 3 综上,a= . 3 解法二:函数 y=1 与函数 y=x2-2 图象在 函 数 y=a| x|图象的同侧,即函数 y=a| x|的图象经过函数 y=1 3 与 y=x2-2 图象的交点.x2-2=1,得 x=± 3,所以 a= . 3 解法三:当|x|=0 时,a ∈R; 1 2 当|x|≠0 时,(a- )(a-|x|+ )≤0. |x| |x| 1 2 令 t=|x|,即函数 y= 与 y=t- 的图象在第一象限的部分横坐标相同的点始终在直线 y=a 的同侧. t t 1 2 3 由 =t- ,得 t= 3,故 a= . t t 3 1 3.设函数 f(x)= m(x-1)2-2x+3+lnx,m>0.在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=f(x)在点 P(1,1)处 2 的切线 l 与该曲线有且只有一个公共点,求 m 的值. 1 1 解 由 f(x)= m(x-1)2-2x+3+lnx,得 f'(x)=mx-m-2+ ,x>0,所以 f'(1)=-1, 2 x
2

所以曲线 y=f(x)在点 P(1,1)处的切线 l 的方程为 y=-x+2.???????? 6 分 曲线 y=f(x)在点 P(1,1)处的切线 l 与该曲线有且只有一个公共点,即关于 x 的方程 f(x)=-x+2 有且 1 仅有唯一解,即关于 x 的方程 m(x-1)2-x+1+lnx=0 有且仅有唯一解. 2 1 令 g(x)= m(x-1)2-x+1+lnx,则 2 2 1 mx -(m+1)x+1 (x-1)(mx-1) g'(x)=m(x-1)-1+ = = ,x>0. ????? 8 分 x x x 1 因为 m>0,所以,当 x=1 或 时,g'(x)=0. m ①若 0<m<1,则 1 1 当 0<x<1 或 x> 时,g'(x)>0;当 1<x< 时,g'(x)<0, m m 1 1 所以函数 g(x)在区间(0,1]和[ ,+∞)上为增函数,在区间[1, ]上为减函数. m m 1 因为 g(1)=0,所以 g( )<0. m 2 1 1 又当 x>1+ 时, m(x-1)2-x+1= (x-1)[m(x-1)-2]>0,lnx>0,从而 g(x)>0,所以曲线 y=g(x) m 2 2 与 x 轴有两个公共点,不满足题意. ②若 m=1,则 g'(x)≥0,当且仅当 x=1 时,g'(x)=0,所以 g(x)在区间(0,+∞)上为增函数,且 g(1) =0,满足题意. ③若 m>1,则 1 1 当 0<x< 或 x>1 时,g'(x)>0;当 <x<1 时,g'(x)<0, m m 1 1 所以函数 g(x)在区间(0, ]和[1,+∞)上均为增函数,在区间[ ,1]上为减函数. m m 1 因为 g(1)=0,所以 g( )>0. m 1 1 1 1 1 1 - m-1 又当 0<x<min{ ,e 2 }时, m(x-1)2-x+1< m(x-1)2+1<1+ m,且 lnx<- m-1,从而 m 2 2 2 2 g(x)<0,所以曲线 y=g(x)与 x 轴有两个公共点,不满足题意. 综上,实数 m 的值为 m=1. 4.定义:对于定义在集合 D 上的函数 y=f(x),设其在在平面直角坐标系 xOy 中的图象在 x=x0 处的切线 f(x)-g(x) 方程为 l:y=g(x),当 x∈D,且 x≠x0 时,若 <0 恒成立,则称 x0 为函数 y=f(x)的“拐点”. x-x0 1 3 设函数 f(x)=- x2+ x-2lnx,试问函数 y=f(x)是否存在“拐点”?若存在,请求出 “拐点”;若不 4 4 存在,说明理由. 1 3 1 3 2 解 由 f(x)=- x2+ x-2lnx,得 f'(x)=- x+ - ,x>0. 4 4 2 4 x 设函数 y=f(x)存在“拐点”x0,则 x0>0. 1 3 2 1 3 因为 f'(x0)=- x0+ - ,f(x0)=- x2 + x -2lnx0,所以,函数 y=f(x)图象在点 x=x0 处的切线方程 2 4 x0 4 0 4 0 为 1 3 2 1 3 y=(- x0+ - )(x-x0)- x2 + x -2lnx0,x0>0. 2 4 x0 4 0 4 0 1 3 2 1 3 令 g(x)=(- x0+ - )(x-x0)- x02+ x0-2lnx0,x0>0, 2 4 x0 4 4 F(x)=f(x)-g(x),x>0,



F(x0)=0,且 1 3 2 1 3 2 1 2 2 1 4 F'(x)=f'(x)-g'(x)=- x+ - -(- x0+ - )=- (x-x0)-( - )=- (x-x0)(x- ). 2 4 x 2 4 x0 2 x x0 2x x0 4 4 若 0<x0<2,则 >x0,所以函数 F(x)在区间[x0, ]上单调递增, x0 x0 4 F(x) 从而,在区间(x0, ]上,有 F(x)>F(x0)=0,所以 >0. x0 x-x0 因此,函数 y=f(x)在区间(0,2)和上不存在“拐点” ; 4 4 若 x0>2,则 0< <x0,所以函数 F(x)在区间[ ,x0]上单调递增, x0 x0 4 F(x) 从而,在区间[ ,x0)上,有 F(x)<F(x0)=0,所以 >0. x0 x-x0 因此,函数 y=f(x)在区间(2,+∞)上不存在“拐点” .??????13 分 (x-2)2 若 x0=2,则 F'(x)=- ≤0,所以函数 F(x)在区间(0,+∞)上单调递减. 2x F(x) F(x) 所以,当 x>2 时,F(x)<F(2)=0,从而 <0;当 0<x<2 时,F(x)>F(2)=0,从而 <0. x-2 x-2 因此,x=2 为函数 y=f(x)的“拐点” . 综上,函数 y=f(x)存在存在唯一的“拐点”2.


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