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2013学年第二学期上海市十二校联考高三数学理答案


2013 学年第二学期十二校联考高三数学(理)考试试卷 (答案)
命题人:赵荣 审题人:蒲红军 周建国 学校:上海市朱家角中学 学校:三林中学 南汇一中 2014 年 3 月

一、填空题 (本大题满分 56 分,每题 4 分)
1、 {x | ?3 ? x ? 2} 8、4 14、 ?3,4? 9、4 2、 ? 5

3、6 4、( ?
3 ? 2 2

30 , 0) 6

5、 x ?

1 2

6、3 7、 10

10、6 11、

12、? ?30, ?27 ?

13、 n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3)

1 4

二、选择题(本大题满分 20 分,每题 5 分)
15、B 16、B 17、D 18、C

三、简答题 (本大题满分 74 分)
19. (本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分, 第 2 小题满分 6 分.

D1 (0,a,a) 、 解: (1)按如图所示建立空间直角坐标系, 可得有关点的坐标为 A(0, 0, 0) 、 B1 (a,0,a)


C1 (a,a,a) , 向 量 C1 A ? (?a, ? a, ? a) , AD1 ? (0,a,a ) ,
z

????

???? ?

???? AB1 ? (a,0,a ) .
2分 设 n ? ( x,y,z ) 是平面 AB1 D1 的法向量,于是,有

A1 B1 A(O) B
x

D1 C1 D y C

?

? ???? ? ?n ? AD1 ? 0 ?ay ? az ? 0 ? ,即 ? . ? ? ???? ax ? az ? 0 ? n ? AB ? 0 ? ? 1
令 z ? ?1 得 x ?1 ,y ? 1 .于是平面 AB1D1 的一个法向量是 ,

? n ? (1,1,-1) .

5分

???? ? | C1 A ? n | 3 ? ? a .(也可用等积法求得) 因此,C1 到平面 AB1 D1 的距离 d ? 3 |n|
?

6分

, , ? 1) .又因 AD ? 平面CDD1C1 ,故 (2) 由(1)知,平面 AB1 D1 的一个法向量是 n ? (11

1, 0) . 平面 CDD1C1 的一个法向量是 n1 ? (0,
设所求二面角的平面角为 ? (结合图形可知二面角是锐角,即 ? 为锐角),则

??

8分

? ?? | n ? n1 | 3 cos ? ? ? ?? ? . 3 | n || n1 |
所以,平面 CDD1C1 与平面 AB1 D1 所成的二面角为 arccos 20. (本题满分 14 分) 解: f ( x) ? 2m sin x ? 2 3m sin x ? cos x ? ?2m sin(2 x ?
2

11 分

3 . 3

12 分

?
6

) ? m ………………3 分

? ? ? 7? ? ? ? 1 ? ? ?? x ? ?0, ? ? 2 x ? ? ? , ? ? sin(2 x ? ) ? ? ? ,1? 6 ?6 6 ? 6 ? 2 ? ? 2?
当 m > 0 时 , f ( x)max ? ?2m(? ) ? m ? 4 ,

………………6 分

g ( x) ? 2sin x ? 2cos x ? 2 2 sin( x ? ) ( x ? R) , T= 2? ,最大值为 2 2 ,最小值为 4
?2 2 ;
当 m < 0 时 , ………………10 分

?

1 2

解 得 m?2 , 从 而 ,

f ( x)m a ?x ?2m ? 1 ?m?

, 4

解 得 m ? ?4 从 而 ,

g ( x? ) ?
?2 5

4 s?x i n

? ? 2x c o s x ? ? 2 ?

1? 5 ,最小值 为 5 ?s,iT= n2? ,最大值为 a r c t 2 a n 2?
………………14 分

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第一小题满分 7 分,第二小题满分 7 分) . 解:解: (1)从被检测的 5 辆甲品牌的轻型汽车中任取 2 辆,共有 10 种不同的二氧化 碳排放量结果: (80,110) , (80,120) , (80,140) , (80,150) , (110,120) , (110,140) , (110, 150) , (120,140) , (120,150) , (140,150) 。 ………. 2 分 设“至少有一辆二氧化碳排放量超过 130g/km”为事件 A,则事件 A 包含以下 7 种不同 的结果: (80,140) , (80,150) , (110,140) , (110,150) , (120,140) , (120,150) , (140, 150) ∴ P( A) ?

7 ? 0.7 。 10

………. 6 分

答:至少有一辆二氧化碳排放量超过 130g/km 的概率为 0.7。……….7 分

(2)由题可知, x乙 ? 120, ?

480 ? x ? 120 , 5
又 x甲 ? 120 , ……….9 分

解得 x ? 120 。

1 2 2 2 2 2 ? s甲 ? ( 80-120) ? (110-120)2? (120-120) ? (140-120) ? ( 150-120)? ? 600 , ? ? 5 1 2 2 2 2 2 2 ? ? s乙 ? ( 100-120) ? (120-120) ? (120-120) ? (100-120) ? (160-120) ? ? ? 480 5
2 2 x甲 ? x乙 ? 120 ,s甲 ? s乙 ,

……….13 分

∴ 乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好。 ……….14 分

22. (本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满分 4 分, 第,3 小题满分 8 分. 解:(1)依题意, a ? 2 3 , b ?
2 2

3 a ? 2 ,……….3 分 3

y C O M B A x

x y ? ? 1 ;……….4 分 ∴椭圆 E 的方程为 12 4 (2)作 CM ? x 轴于 M ,∵ O 是 BC 的中点, ∴ S?ABC ? 2S?AOC ?| OA | ? | CM | ……….6 分

而 | CM |? b ? 2 ,∴ S ?ABC 的最大值为 2 ? 2 3 ? 4 3 ;……….8 分 (3)如图,当直线 lPQ 的斜率 k ? 0 ,直线 lPQ 的方程为 y ? t ,……….10 分 则 ? 2 ? t ? 2 满足题意; 当直线 lPQ 的斜率 k ? 0 时,设直线 lPQ 的方程为 y ? kx ? t Q y ? kx ? t ? ? 2 2 2 2 2 由?x ,得 (3k ? 1) x ? 6ktx ? 3t ? 12 ? 0 ,……….12 分 y ? ?1 ? ?12 4 2 2 2 2 2 依题意, ? ? (6kt ) ? 4(3k ? 1)(3t ? 12) ? 0 ,即 t ? 4 ? 12k ①, 设 P( x1,y1 ),Q( x2,y2 ) ,线段 PQ 的中点 H ( x0,y0 ) , 则 x0 ? y H o D P x

x1 ? x2 t ? 3kt , y 0 ? kx0 ? t ? , D (0, ? 2) , ? 2 2 2 3k ? 1 3k ? 1 ???? ? ??? ? t 3kt 由 | DP |?| DQ | ,得 DH ? PQ ? 0 ,∴ ( 2 ? 2)k ? (? 2 ) ? 0 ,……….14 分 3k ? 1 3k ? 1 2 即化简得 t ? 1 ? 3k ②, 代人①得, 0 ? t ? 4 ,而 t ? 1 ? 3k 2 ? 1 所以 1 ? t ? 4 ,综上所述, ? 2 ? t ? 4 . ……….16 分
23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题满分 6 分. 解: (1) x n ? ?

5 3 ? (n ? 1) ? (?1) ? ?n ? 2 2

………. 2 分

? yn ? 3 ? xn ?

13 5 3 5 ? ?3n ? ,? Pn (?n ? , ?3n ? ) ……….4 分 4 4 2 4 2n ? 3 2 12 n ? 5 ) ? , 2 4

(2)? c n 的对称轴垂直于 x 轴,且顶点为 Pn .?设 c n 的方程为:

y ? a( x ?
2

………. 6 分
2 2

把 Dn (0, n ? 1) 代入上式,得 a ? 1 ,? c n 的方程为: y ? x ? (2n ? 3) x ? n ? 1 。 可求得 k n ? 2n ? 3 , ……….10 分

?
?
=

1 k n ?1 k n

?

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)( 2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] k1 k 2 k 2 k 3 k n ?1 k n 2 5 7 7 9 2n ? 1 2 n ? 3
………12 分.

1 1 1 1 1 ( ? )? ? 2 5 2n ? 3 10 4n ? 6 (3) S ? {x | x ? ?(2n ? 3), n ? N , n ? 1} ,

T ? { y | y ? ?(12n ? 5), n ? N , n ? 1} ? { y | y ? ?2(6n ? 1) ? 3, n ? N , n ? 1}

? S ? T ? T , T 中最大数 a1 ? ?17 .

……….14 分

设 {a n } 公差为 d ,则 a10 ? ?17 ? 9d ? (?265,?125 ) ,由此得

248 ? d ? ?12, 又 ? a n ? T ? d ? ?12 m(m ? N * ), ……….18 分 9 * ? d ? ?24,? a n ? 7 ? 24 n(n ? N ). ?


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