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广东省中山一中2014届高三上学期第二次统测数学文试题


中山一中 2014 届高三级第二次统测 文科数学试题
(时间:120 分钟 满分 150 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.设复数 z1 ? 3 ? 4i , z 2 ? ?2 ? 3i ,则复数 z 2 ? z1 在复平面内对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ) D. ? 12 开始 )

2.已知向量 a =(4,2) b =(6, y ) , ,且 a ∥ b ,则 y 等于( A.3 B. ? 3 C.12

3.某学校有体育特长生 25 人,美术特长生 35 人,音乐特长生 40 人. 用分层抽样的方法从中抽取 40 人,则抽取的体育特长生、美术特长生、 音乐特长生的人数分别为( A.8,14,18 C.10,14,16 )

i=2,sum=0

B.9,13,18 D.9,14,17 ) i = i+2 D.4900 否 i≥100 是 输出 sum sum=sum+i

4.给出右侧的程序框图,输出的数是( A.2450 B.2550 C.5050

5.若 a 、 b 为空间两条不同的直线, ? 、 ? 为空间两个不同的平面, 则 a ? ? 的一个充分条件是( A. a // ? 且 ? ? ? C. a ? b 且 b // ? 6.函数 f ( x) ? ) B. a ? ? 且 ? ? ? D. a ? ? 且 ? // ? ) B.关于直线 y ? x 对称 D.关于 y 轴对称
n

4x ? 1 的图象( 2x

结束

A.关于原点对称 C.关于 x 轴对称

7.数列 {an } 中,已知对任意正整数 n , a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 2 ? 1 ,则
2 2 2 a12 ? a2 ? a3 ? ? ? an 等于(



·1·

A.(2n-1)2 8.已知

B.

1 n (2 -1) 3

C.

1 n (4 -1) 3

D.4n-1

?? x, y ? (m ? 3) x ? y ? 3m ? 4? ? ?? x, y ? 7 x ? (5 ? m) y ? 8 ? 0? ? ? ,则直线
) B.2 C.3 D.4 倍,球的体积扩大到原来的

?m ? 3?x ? y ? 3m ? 4 与坐标轴围成的三角形面积是(
A.1

9.球的表面积扩大到原来的 2 倍,则球的半径扩大到原来的 倍. A. 2 , 2 2 B. 2 , 2 C. 2 , 2 2

D. 2 , 2

10.若 f (x) 是 R 上的减函数,且 f (x) 的图象过点 (0 , 3) 和 (3 ,?1) ,则不等式 f ( x ? 1) ? 1 ? 2 的 解集是( ) B. (?1, 2) C. (0,3) D. (1,4)

A. (?? , 2)

二、填空题:本大共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) (一)必做题(11~13 题) 11.已知椭圆上一点 P 到两个焦点之间距离的和为 4 ,其中一个焦点的坐标为 ( 3, 0) ,则椭圆的离 心率为_____________.

? x ? 2, ? 12.若 x, y 满足约束条件 ? y ? 2, 则目标函数 z ? x ? 3 y 的最大值是 ? x ? y ? 6, ?



13.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a,b,c ,若 a ? 1 ,?B ? 45? , ?ABC 的面积 S ? 2 , 则 b 边长为 .

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程) 在极坐标中, 已知点 P 为方程 ? ? cos ? ? sin ? ? ? 1 所表示的曲线上一动点, 点 Q 的坐标为 ( 2,

?
3

) ,则 PQ 的最小值为____________.
C E F .
·2·

15. (几何证明选讲)如图,以 AB ? 4 为直径的圆与

?ABC 的两边分别交于 E , F 两点, ?ACB ? 60? ,则

EF ?

A

B

第 15 题图

三、解答题(共 80 分.解答 题应写出推理 、演算步 骤) 16. (本小题满分 12 分)

x x x x x , sin ) , B (sin , ? 2 cos ) , C ( cos , 0) 三点. 2 2 2 2 2 ??? ? ???? (1)求向量 AC 和向量 BC 的坐标;
已知 A (? sin (2)设 f ( x) ? AC ? BC ,求 f (x) 的最小正周期; (3)求 f (x) 的单调递减区间.

???? ??? ?

17. (本小题满分 12 分) 设关于 x 的一元二次方程 x 2 ? 2ax ? b 2 ? 0 . (1)若 a 是从 0,2,四个数中任取的一个数, b 是从 0,2 三个数中任取的一个数,求上述方程 1 3 , 1 , 有实根的概率. (2)若 a 是从区间 [0, 任取的一个数,b 是从区间 [0, 任取的一个数,求上述方程有实根的概 3] 2] 率.

18. (本小题满分 14 分)

·3·

如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形,PA⊥底面 ABCD,PA=2,∠PDA=45° ,点 E、F 分 别为棱 AB、PD 的中点. (1)求证:AF∥平面 PCE; (2)求证:平面 PCE⊥平面 PCD; (3)求三棱锥 C-BEP 的体积.
E B A C D F P

(第 18 题图)

19. (本小题满分 14 分) 数列 {a n } 的前 n 项和记为 S n , a1 ? 1 , an ?1 ? 2 S n ? 1( n ? 1) . (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)等差数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 有最大值,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列, 求 Tn .

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , F1 , F2 是其左右焦点,离心率为 ,且经过点 (3, 1) 2 3 a b

(1)求椭圆 C 的标准方程; ( 2 ) 若 A1 , A2 分 别 是 椭 圆 长 轴 的 左 右 端 点 , Q 为 椭 圆 上 动 点 , 设 直 线 A1 Q 斜 率 为 k , 且

1 1 k ? (? , ? ) ,求直线 A2 Q 斜率的取值范围; 2 3
(3)若 Q 为椭圆上动点,求 cos ?F1QF2 的最小值.

·4·

21. (本小题满分 14 分)

2 3 x ( x ? R) 在区间 [?1, 1] 上是增函数. 3 (1) 求实数 a 的值组成的集合 A ; 1 (2) 设关于 x 的方程 f ( x) ? 2 x ? x 3 的两个非零实根为 x1 , x2 .试问:是否存在实数 m ,使得不 3
已知 f ( x) ? 4 x ? ax 2 ? 等式 m ? tm ? 1 ? x1 ? x 2 对任意 a ? A 及 t ?[?1, 1] 恒成立?若存在,求 m 的取值范围;若不存
2

在,请说明理由.

中山一中 2014 届高三第三次统测 文科数学参考答案
一、选择题:

题号 答案

1 B

2 A

3 C

4 A

5 D

6 D

7 C

8 B

9 A

10 B

二、填空题:

11.

3 ; 2

12. 14;

13.5;

14.

6 ; 2

15. 2

三、解答题: 16.解: (1) AC = (cos

????

??? ? x x x x x x ? sin , ? sin ) , BC = (cos ? sin , 2 cos ) ……2 分 2 2 2 2 2 2

(2)? f ( x) ? AC ? BC
·5·

= (cos = cos2

x x x x x x ? sin ) ? (cos ? sin ) ? (? sin ) ? 2 cos 2 2 2 2 2 2 x x x x ? sin 2 ? 2 sin cos 2 2 2 2

………4 分

= cos x ? sin x =

……………………………6 分 ……………8 分

2 (cos x ?

2 2 ? ? sin x ? ) = 2 cos(x ? ) 2 2 4

∴ f (x) 的最小正周期 T ? 2? . (3)∵ 2k? ? x ? ∴ ?

…………………………………9 分

?
4

? ? ? 2k? , k ∈Z, 3? ? 2k? , k ∈Z. 4

?
4

? 2k? ? x ?

∴ f (x) 的单调递减区间是 [?

?
4

? 2k? ,

3? . ? 2k? ] ( k ∈Z) ………12 分 4

17.解:设事件 A 为“方程 a 2 ? 2ax ? b2 ? 0 有实根” . 当 a ? 0 , b ? 0 时,方程 x 2 ? 2ax ? b 2 ? 0 有实根的充要条件为 a ≥ b .…2 分 (1)基本事件共 12 个:

(0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, . 0) (0 1) (0 2) (1 0) (11) (1 2) (2 0) (2 1) (2 2) (3 0) (31) (3 2)
其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值.…………………………4 分 事件 A 中包含 9 个基本事件,………………………………………………5 分 事件 A 发生的概率为 P( A) ?

9 3 ? .…………………………7 分 12 4

0 (2)试验的全部结束所构成的区域为 (a,b) | 0 ≤ a ≤ 3,≤ b ≤ 2 .……9 分 0 构成事件 A 的区域为 (a,b) | 0 ≤ a ≤ 3,≤ b ≤ 2,a ≥ b .……10 分

?

?

?

?

1 3 ? 2 ? ? 22 2 2 所以所求的概率为 ? ? .………………………………12 分 3? 2 3
18.证明: (1)取 PC 的中点 G,连结 FG、EG, ∴FG 为△CDP 的中位线, ∴FG //
1 CD, 2
P

∵四边形 ABCD 为矩形,E 为 AB 的中点,
F

·6·
A

G

E

D

∴AE //

1 CD, 2

∴FG // AE, ∴AF∥EG,

∴四边形 AEGF 是平行四边形,

又 EG ? 平面 PCE,AF ? 平面 PCE, ∴AF∥平面 PCE;……………………………… 4 分 (2)∵ PA⊥底面 ABCD, ∴PA⊥AD,PA⊥CD,又 AD⊥CD,PA ? AD=A, ∴CD⊥平面 ADP, 又 AF ? 平面 ADP, ∴CD⊥AF,…………………………………………… 6 分 直角三角形 PAD 中,∠PDA=45° , ∴△PAD 为等腰直角三角形,∴PA=AD=2, ………………………………… 7 分 ∵F 是 PD 的中点, ∴AF⊥PD,又 CD ? PD=D, ∴AF⊥平面 PCD,………………………………………………………………… 8 分 ∵AF∥EG, ∴EG⊥平面 PCD,……………………………………………… 9 分 又 EG ? 平面 PCE, 平面 PCE⊥平面 PCD;………………………………………………………… 10 分 (3)三棱锥 C-BEP 即为三棱锥 P-BCE,………………………………… 11 分 PA 是三棱锥 P-BCE 的高, Rt△BCE 中,BE=1,BC=2, ∴三棱锥 C-BEP 的体积 V 三棱锥 C-BEP=V 三棱锥 P-BCE=

1 1 1 1 1 2 S?BCE ? PA ? ? ? BE ? BC ? PA ? ? ?1? 2 ? 2 ? … 14 分 3 3 2 3 2 3

19.解(1)由 a n ?1 ? 2 S n ? 1 ,可得 an ? 2Sn ?1 ? 1, (n ? 2) , 两式相减得 an ?1 ? an ? 2 an , an ?1 ? 3an (n ? 2) , ………………………………2 分 又 a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 , ∴ a 2 ? 3a1 , ………………………………………………4 分

故 {a n } 是首项为 1,公比为 3 的等比数列, ∴ an ? 3
n ?1



……………………………………………………………………6 分

(2)设 {bn } 的公差为 d , 由 T3 ? 15 得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,于是 b2 ? 5 , 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d ,
·7·

…………………………………8 分

又 a1 ? 1 , a2 ? 3 , a3 ? 9 , 由题意可得 (5 ? d ? 1)(5 ? d ? 9) ? (5 ? 3) ,………………………………10 分
2

解得 d1 ? 2 , d 2 ? ?10 , ∵等差数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 有最大值, ∴ d ? 0 , d ? ?10 , ∴ Tn ? 15n ? …………………………………………………………12 分

n(n ? 1) ? ( ?10) ? 20n ? 5n 2 . ………………………………14 分 2

?c 6 ? ? 3 ?a ?a 2 ? 12 x 2 y 2 ?9 1 ? 20.解(1) ? 2 ? 2 ? 1 ? ? 2 , ? ? 1 ????3 分 a b 12 4 ?b ? 4 ? ? ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? ?
(2)设 A2 Q 的斜率为 k ? , Q( x0 , y 0 ) 则k ?

y0 , x0 ? a
y0
2 2

k? ?

y0 x0 ? a
2 2

????????????5 分

∴ kk ? =

x0 ? a 2



x0 y ? 02 ? 1 ????????????????6 分 2 a b

则 kk ? = ? ∴

b2 1 1 1 =? 又 ? ? k ? ? ????????????????7 分 2 2 3 3 a
?????????8 分

2 2 ? k ? ? 1 ,故 A2 Q 斜率的取值范围为( ,1 ) 3 3

(3)设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为 a,b,c,则有

a ? 2 3, b ? 2, c ? 2 2 , F1 F2 ? 2c ? 4 2
由椭圆定义,有 QF1 ? QF2 ? 2a ? 4 3 ???9 分

cos ?F1QF2 =

| QF1 | 2 ? | QF2 | 2 ? | F1 F2 | 2 2 | QF1 || QF2 |

??????10 分

·8·

(| QF1 | ? | QF2 |) 2 ? | F1 F2 | 2 ?2 | QF1 || QF2 | = 2 | QF1 || QF2 |


??????11 分

2b 2 ?1 | QF1 | ? | QF2 | 2 ( ) 2
b2 1 ?1= ? 2 3 a

???????????12 分

=2?

???????????????13 分

∴ cos ?F1QF2 的最小值为 ?

1 。 3

(当且仅当 QF1 ? QF2 时,即 Q 取椭圆上下顶点时, cos ?F1QF2 取得最小值) ??????????????????????????14 分 21.解(1)因为 f ( x) ? 4 x ? ax ?
2
2

2 3 x ( x ? R) 在区间 [?1, 1] 上是增函数, 3

所以, f ?( x) ? ?2 x ? 2ax ? 4 ? 0 在区间 [?1, 1] 上恒成立,????(2 分)

? f ?(?1) ? ?2 ? 2a ? 4 ? 0 ? ? ? ?1 ? a ? 1 ? f ?(1) ? ?2 ? 2a ? 4 ? 0
所以,实数 a 的值组成的集合 A ? [?1, 1] .??????(5 分) (2)由 f ( x) ? 2 x ?

1 3 2 1 x 得 4 x ? ax 2 ? x3 ? 2 x ? x3 即 x( x 2 ? ax ? 2) ? 0 3 3 3 1 3 2 因为方程 f ( x) ? 2 x ? x 即 x( x ? ax ? 2) ? 0 的两个非零实根为 x1 , x2 3

? x1 , x2是x 2 ? ax ? 2 ? 0 两个非零实根,于是 x1 ? x2 ? a , x1 ? x2 ? ?2 ,

? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? a 2 ? 8 ,

? a ? A ? [?1,1],
2

? x1 ? x2
2

max

? 12 ? 8 ? 3

??????(8 分)

设 g (t ) ? m ? tm ? 1 ? tm ? (m ? 1), t ? [?1,1]

则 g (t ) min

?m2 ? m ? 1, m ? 0 ? ? h(m) ? ?1, m ? 0 ,??????(11 分) ?m2 ? m ? 1, m ? 0 ?
·9·

若 g (t ) ? m ? tm ? 1 ? x1 ? x2 对任意 a ? A 及 t ?[?1, 1] 恒成立,
2

则 g (t ) min ? h(m) ? x1 ? x2

max

? 3 ,解得 m ? ?2或m ? 2 ,?????(13 分)
2

因此,存在实数 m ? ?2或m ? 2 ,使得不等式 m ? tm ? 1 ? x1 ? x 2 对任意 a ? A 及 t ?[?1, 1] 恒成立.??????????????????(14 分)

·10·


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