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福建省德化第一中学2007-2008学年度上学期期末考试高一数学(理科)试卷










福建省德化第一中学 2007-2008 学年度上学期期末考试 - 高一数学试卷
(全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。) 注意事项: 注意事项: 本试卷分第Ⅰ 选择题)和第Ⅱ 非选择题)两部分,共 答题时, ①本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部

分 共 4 页。答题时,必须把答 案填写在答题卡的相应位置上,不按规定位置作答的答案一律无效。 案填写在答题卡的相应位置上,不按规定位置作答的答案一律无效。 本次考试,所有计算问题均严禁使用计算器。 ②本次考试,所有计算问题均严禁使用计算器。

第Ⅰ卷(选择题
一、

共 60 分)

选择题: 小题, 在每小题给出的四个答案中, 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个答案中,

只有一项是符合题目要求的, 只有一项是符合题目要求的,请将每小题选出的答案的字母填在答案卡的对应的空格内 1. cos 330 的值是(
o



A.

1 2

B.

3 2

C. ?

1 2

D. ?

3 2

2. 设全集是实数集 R ,A = {x | ?1 < x < 2}, B = {x | x ? a ≥ 0} , A ? (?R B ) , 且 则实数 a 的 取值范围为( A. {a | a < ?1} ) B. {a | a ≤ ?1} C. {a | a ≥ 2} D. {a | a > 2} ) D. ( ?2, ?2)

3.已知向量 a = ( ?1, 2) , b = (2, ?1) ,则 (a ? b)( a + b) 等于( A. (1, 1) B. ( ?4, ?4) C. ?4

r

r

r r r r

4.已知函数 f ( x ) = sin(2 x ? π ) ,则它( ) A.是最小正周期为 π 的奇函数 C.是最小正周期为 2 π 的奇函数 B.是最小正周期为 π 的偶函数 D.是最小正周期为 π 的非奇非偶函数 )

5.设集合 A = R ,集合 B =正实数集,则从集合 A 到集合 B 的映射只可能是( A. f :x → y =| x | C. f :x → y = 3? x B. f :x → y =

x

D. f :x → y = log 2 (| x | +1) )

6.若函数 f ( x ) = 2ax 2 ? x ? 1 在 (0,1) 内恰有一个零点,则实数 a 的取值范围是(
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A. a < ?1

B. a > 1

C. ?1 < a < 1

D.0 ≤ a <1 )

7.要得到函数 y = 2 cos(2 x ? A.向左平行移动 C.向左平行移动

π
6

) 的图象,只要将函数 y = 2 cos 2 x 的图象(
B.向右平行移动

π π
12 6

个单位长度 个单位长度

π
6

个单位长度 个单位长度 ) D. 150
o

D.向右平行移动

π

12

8.已知 | a |= 1 , | b |= 2 , c = a + b ,且 c ⊥ a ,则 a 与 b 夹角为( A. 30
o

r

r

r

r r

r

r

r

r

B.

60o

C. 120 )
2

o

9. 函数 y = 1 ? sin x, x ∈ [0,2π ] 的大致图象是(
2 1

y
| |

2

y
| 3π | | π
2

y
| 3π | | π
2

2 | | x 1

y
π
2

|

|

|

| 3π | | -1 o π
2

.10.在 ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD = 2 DB , CD = 于( A. ) B.

11.右图是某池塘中的浮萍蔓延的面积 y ( m 2 ) 与时间 t (月) 的关系: y = a t 的图象,有以下 叙述,其中正确的是( )
16
2

| |

x

1

π

2 2π

-1

|

| x

1

|

|

| | | 3π | |
2 2π

π

2 2π

-1

π

2 2π

-1

|

x

π

|

|

|

|

A.

B.

C.

D.

uuur

uuu r

uuu r

r uuu r 1 uuu CA + λ CB ,则 λ 等 3
2 3

2 3

1 3

C. ?

1 3

D. ?

y(m2)

① 这个指数函数的底数为 2; ② 第 5 个月时,浮萍面积就会超过 30 m ; ③ 浮萍每月增加的面积都相等; ④ 若浮萍蔓延到 2 m 、3 m 、6 m 所经过的 时间分别为 t1、2、3 ,则 t1 + t2 = t3 . t t A.①② C.②③④ B.①②③④ D.①②④
2 2 2

8

4 2 1 O 1 2 3 4 t(月)

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12.已知 f ( x) = ? ( )

?(3 ? a) x ? a, ( x < 1), 是 ( ?∞, +∞ ) 上的增函数,那么实数 a 的取值范围是 ?log a x, ( x ≥ 1).

A. (1, +∞)

B. (?∞,3)

C. [ , 3) 共 90 分)

3 2

D. (1,3)

第Ⅱ卷(非选择题
二、

填空题: 小题, 填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡对应题号的

横线上。 横线上。 13.函数 f ( x) =

2 x ? 4 的定义域为________;

, ,则 | a + b | =______; 14.设向量 a 表示“向东走 6 m ” b 表示“向北走 6 m ” 15.设点 P ( x, 2) 是角 α 终边上的一点,且满足 sin α =

r

r

r r

2 ,则 x 的值为______; 3

16.对于定义在 R 上的函数 f ( x ) ,若实数 x0 满足 f ( x0 ) = x0 ,则称 x0 是函数 f ( x ) 的一个 不动点.若二次函数 f ( x ) = x 2 + 7 x + 3a 没有不动点,则实数 a 的取值范围是____. 小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤, 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,请 解答题: 把答案写在答案卡对应的区域内 。 17. 本小题满分 12 分) ( 已知集合 S = {x | x 2 ? px + q = 0} , T = {x | x 2 ? ( p + 3) x + 6 = 0} ,且 S I T = {3} (1)求 log 9 (3 p + q ) 的值. 18. 本小题满分 12 分) (本小题满分 已知 a = (7, 1) , b = (tan( (1)求 tan α 的值; 19. 本小题满分 12 分) ( 已知函数 f ( x ) = 2 3 sin x cos x + a cos 2 x 的图象经过点(0 (1)求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (2)当 x ∈ [ ? 2) (2)求 S U T ;

r

r

π
4

r r + α ), 1) ,且 a ∥ b ,
2

(2)求 sin α cos α + 2 cos α 的值.

π π

, ] 时,求函数 f ( x) 的值域. 6 4

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20. 本小题满分 12 分) ( 已知向量 OA = (2, 2), OB = ( ?4,1) , 点 P 在 x 轴的非负半轴上(O 为原点). (1)当 PA ? PB 取得最小值时,求 OP 的坐标; (2)设 ∠APB = θ ,当点 P 满足(1)时,求 cos θ 的值 21. 本小题满分 12 分) ( 已知函数 f ( x ) = lg

uuu r

uuu r

uuu uuu r r

uuu r

1? x 的定义域为集合 A , a, b ∈ A 1+ x a+b ) 1 + ab

(1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性; (2)求证: f ( a ) + f (b) = f ( 22. 本小题满分 14 分) ( 定义在 R 上的函数 y = f ( x) , f (0) ≠ 0 ,当 x > 0 时, f ( x ) > 1 ,且对任意的 a、 ∈ R , b 有 f ( a + b) = f ( a ) ? f (b) . (1)求 f (0) 的值;(2)求证:对任意的 x ∈ R ,恒有 f ( x ) > 0 ; (3)若 f ( x) ? f (2 x ? x 2 ) > 1 ,求 x 的取值范围.

参考答案
一、选择题: 选择题: 题 号 答 案 1 B 2 C 3 B 4 A 5 C 6 B 7 D 8 C 9 B 10 A 11 D 12 C

小题, 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 填空题: 13. [2, +∞) 14. 6 2 15 . ± 5 16.

(3, +∞)

小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: 17. 本小题满分 12 分) ( 已知集合 S = {x | x 2 ? px + q = 0} , T = {x | x 2 ? ( p + 3) x + 6 = 0} ,且 S I T = {3}
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(1)求 log 9 (3 p + q ) 的值. (2)求 S U T ; 解:(1) ∵ S I T = {3} ,∴ 3 ∈ S 且 3 ∈ T .

于是有

?32 ? 3 p + q = 0 ? ? 2 ?3 ? ( p + 3) × 3 + 6 = 0 ?

------------------------------------------------2 分

解得

?p = 2 ? ?q = ?3

----------------------------------------------------------4 分

∴ log 9 (3 p + q ) = log 9 (3 × 2 ? 3) = log 9 3 = (2) 由(1)知 p = 2, q = ?3

1 2

-------------------------------6 分

∴ S = {x | x ? 2 x ? 3 = 0} = {?1, 3} , ---------------------------------------------8 分
2

T = {x | x 2 ? 5 x + 6 = 0} = {2, 3} .
∴ S U T ={-1, 2,3} 18. 本小题满分 12 分) ( 已知 a = (7, 1) , b = (tan( (1)求 tan α 的值; (2)求 sin α cos α + 2 cos α 的值.
2

---------------------------------------------10 分

-------------------------------------------------------12 分

r

r

π
4

r r + α ), 1) ,且 a ∥ b ,

解: (1)∵ ∴

r r r r π a = (7, 1) , b = (tan( + α ), 1) ,且 a ∥ b , 4

7 × 1 ? tan( + α ) × 1 = 0 ,---------------------------------------------------3 分 4 1 + tan α 3 ∴7 ? = 0 ,解得 tan α = .---------------------------------------6 分 1 ? tan α 4 3 (2)由(1)知 tan α = , 4
sin α cos α + 2 cos 2 α


π

sin α ? cos α + 2 cos 2 α tan α + 2 = 2 2 sin α + cos α tan 2 α + 1

---------------------------------------9 分

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3 +2 44 = 4 = 3 ( ) 2 + 1 25 4

----------------------------------------------------------------------12 分

另解:由(1)知 tan α =

3 3 ∴ sin α = cos α , 4 4 3 2 2 2 2 又 sin α + cos α = 1 ∴ ( cos α ) + cos α = 1 4 16 2 ∴ cos α = --------------------------------------------------------------------------9 分 25 3 2 2 2 ∴ sin α cos α + 2 cos α = cos α + 2 cos α 4 11 2 11 16 44 = cos α = × = --------------------------------------------------------12 分 4 4 25 25

19. 本小题满分 12 分) ( 已知函数 f ( x ) = 2 3 sin x cos x + a cos 2 x 的图象经过点(0 2) (1)求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (2)当 x ∈ [ ?

π π

, ] 时,求函数 f ( x) 的值域. 6 4
2)

解: (1)∵函数 f ( x ) = 2 3 sin x cos x + a cos 2 x 的图象经过点(0 ∴ f (0) = 2 ∴ f ( x) = ∴a = 2

------------------------------------------------------------2 分

3 sin 2 x + 2 cos 2 x = 3 sin 2 x + cos 2 x + 1

= 2 sin(2 x + ) + 1 ---------------------------------------------------------6 分 6 π π 3π ∴ 由 2kπ + ≤ 2 x + ≤ + 2kπ , k ∈ Z 得 2 6 2 π 2π kπ + ≤ x ≤ + kπ , k ∈ Z 6 3
∴函数 f ( x ) 的单调递减区间函数 f ( x ) 的单调递减区间为

π

[kπ +

π
6

,

2π + kπ ], k ∈ Z 3

-----------------------------------------------------8 分

(2)由(1)知 f ( x ) = 2 sin(2 x +

π
6

) +1

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∵ x ∈ [? ∴ ?

π π

1 π ≤ sin(2 x + ) ≤ 1 --------------------------------------------------------10 分 2 6
---------------------------12 分

π π 2π , ] ∴ ? ≤ 2x + ≤ 6 4 6 6 3

∴ 0 ≤ f ( x ) ≤ 3 ,即函数 f ( x ) 的值域为 [0, 3] 20. 本小题满分 12 分) (

已知向量 OA = (2, 2), OB = ( ?4,1) , 点 P 在 x 轴的非负半轴上(O 为原点). (1)当 PA ? PB 取得最小值时,求 OP 的坐标; (2)设 ∠APB = θ ,当点 P 满足(1)时,求 cos θ 的值. 解: (1)设 OP = ( x, 0) ( x ≥ 0) ,--------------------------------------------------------1 分 则 PA = (2 ? x, 2) , PB = ( ?4 ? x, 1) ∴

uuu r

uuu r

uuu uuu r r

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

------------------------------------------3 分

uuu uuu r r PA ? PB = (2 ? x)(?4 ? x) + 2 × 1 = x 2 + 2 x ? 6

= ( x + 1) 2 ? 7
uuu uuu r r uuu r

( x ≥ 0)

----------------------------------------------5 分

∴当 x = 0 时, PA ? PB 取得最小值 ?6 ,此时, OP = (0, 0) (2)由(1)知 OP = (0, 0) ,

uuu r

----------------7 分

uuu uuu r r PA ? PB =-6
--------------------------------------------------------10 分

uuu uuu r r uuu r PA = OA, PB = OB


uuu uuu r r ?6 3 34 PA ? PB r r =? cos θ = uuu uuu = 34 | PA || PB | 2 2 ? 17

-----------------------------12 分

21. 本小题满分 12 分) ( 已知函数 f ( x ) = lg

1? x 的定义域为集合 A , a, b ∈ A 1+ x a+b ) 1 + ab

(1)判断 f ( x ) 的奇偶性; (2)求证: f ( a ) + f (b) = f ( 解: (1)由

1? x > 0 ,得 ?1 < x < 1 1+ x

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∴函数 f ( x ) = lg

1? x 的定义域 A = {x | ?1 < x < 1} ,它关于原点对称.---------3 分 1+ x 1+ x 1 ? x ?1 1? x = lg( ) = ? lg = ? f ( x) , 又 f ( ? x ) = lg 1? x 1+ x 1+ x
-----------------------------------------------------------------------6 分

∴函数 f ( x ) 是奇函数. 另解: 另解:由

1? x > 0 ,得 ?1 < x < 1 1+ x 1? x ∴函数 f ( x ) = lg 的定义域 A = {x | ?1 < x < 1} ,它关于原点对称.------------3 分 1+ x 1+ x 1? x + lg 又 f ( ? x ) + f ( x ) = lg 1? x 1+ x
= lg

(1 + x)(1 ? x) = lg1 = 0 (1 ? x)(1 + x)

∴ f ( ? x ) = ? f ( x) ∴ 函数 f ( x) 是奇函数. (2)∵ f ( a ) + f (b) = f ( ∵ = lg ---------------------------------------------------------------------6 分

1? a 1? b )+ f ( ) 1+ a 1+ b

(1 ? a )(1 ? b) 1 ? a ? b + ab = lg (1 + a )(1 + b) 1 + a + b + ab

a+b 1? a+b 1 + ab ? a ? b f( ) = lg 1 + ab = lg --------------------------------10 分 a+b 1 + ab 1 + ab + a + b 1+ 1 + ab a+b ) -----------------------------------------------------------12 分 ∴ f ( a ) + f (b) = f ( 1 + ab
22. 本小题满分 14 分) ( 定义在 R 上的函数 y = f ( x) , f (0) ≠ 0 ,当 x > 0 时 f ( x) > 1 ,且对任意的 a、 ∈ R , b 有 f ( a + b) = f ( a ) ? f (b) . (1)求 f (0) 的值; (2)求证:对任意的 x ∈ R ,恒有 f ( x) > 0 ; (3)若 f ( x) ? f (2 x ? x 2 ) > 1 ,求 x 的取值范围.
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2







解: (1)解:令 a = b = 0 ,则 f (0) = f (0). 又 f (0) ≠ 0 , f (0) = 1 . -------------------------------------------------------------3 分

(2)证明:当 x < 0 时, ? x > 0 ,∴ f ( ? x ) > 1 ∵ f (0) = f ( x ) ? f ( ? x ) = 1 ,∴ f ( x ) = 又 x ≥ 0 时,

1 >0 f (? x)

f ( x) ≥ 1 > 0
------------------------------------------------8 分

∴对任意的 x ∈ R ,恒有 f ( x ) > 0 .

(3)解:设 x1 < x2 ,则 x2 ? x1 > 0 . ∴ f ( x2 ? x1 ) > 1 . 又 f ( x1 ) > 0 ∴

f ( x1 ) ? f ( x2 ) = f ( x1 ) ? f [( x2 ? x1 ) + x1 ] = f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 )
= f ( x1 )[1 ? f ( x2 ? x1 )] < 0

∴ ∴

f ( x1 ) < f ( x2 ) . f ( x) 是 R 上的增函数. ----------------------------------------------------------12 分 f (3 x ? x 2 ) > f (0) .

由 f ( x ) ? f (2 x ? x 2 ) > 1 , f (0) = 1 得 ∴

3 x ? x 2 > 0 ,∴ 0 < x < 3
------------------------------------------------14 分

∴所求的 x 的取值范围为 (0, 3)

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