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数列求和的常用方法


制作人:王密林

路虽远行则将至,事虽难做则必成

高中数学导学案 13

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数列求和的常用方法
一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1. 等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 2. 等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
3. S n ?

1 k ? n(n ? 1) ? 2 k ?1

n

4. S n ?

?k
k ?1

n

2

1 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6

例 1: 已知 log3 x ?

?1 2 3 n ,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和. log2 3

练习:设 Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求 f (n) ?

Sn 的最大值. (n ? 32) S n ?1

二.分组求和法 所谓分组求和就是: 对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将这类数列适当拆开,能分为几个 等差、等比或常见的数列,则对拆开后的数列分别求和,再将其合并即可求出原数列的和.

例 2: 求数列 1+2 ,1+2+3, …, 1+2+3+…+n, … 的前 n 项和 s n .

练习 2:求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a

三.倒序相加法 若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,则常可考虑选用倒序相加法, 发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前 n 和公式的推导方法). 例 3: (1)求 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 的值
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

(2)已知 f ( x) ?

1 1 1 x2 ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) =______; 2 2 3 4 1? x

1

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高中数学导学案 13

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四.裂项求和法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用,裂项求和的实质都是将数列中的每项(通项)分解,然后重 新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解(裂项)如: (1) an ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(2) an ?

? 1 1? 1 1 等 ? ? ? n(n ? 1)(n ? 2) 2 ? n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) ? ?

例 4 在数列 ?an ? 中, an ?

1 2 3 n 2 ,又 bn ? ? ? ...... ? , 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 s n . n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 an ? an?1

练习: (1)求数列 ?

?

1 ? ? 的前 n 项和 s n . ? n ?1 ? n ?

(2)

五.错位相减法 设数列 ?an ? 是等比数列,数列 ?bn ? 是等差数列,则对数列 ?anbn ? 的前 n 项和求解,均可用错位相减法. 例 5: 求和: S n ? 1 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? 7 ? 2 ? ? ? ? ? ( 2n ? 1) ? 2
2 3 n ?1

练习: 求数列 {? 2n ?1? ? 3 }前n项和.
n

强化训练 一、选择题: 1.在等差数列 {an } 中, a2 ? 1, a4 ? 5 ,则 {an } 的前 5 项和 S5 =( A.7 B.15 1 C.20 ) D.25

2.已知数列{an}的通项公式是 an= A.11 B.99

n+ n+1

,若前 n 项和为 10,则项数 n 为 C.120 D.121 )

3.数列{an}的通项公式为 an=(-1)n 1· (4n-3),则它的前 100 项之和 S100 等于(


A.200

B.-200

C.400 )

D.-400

1 1 1 4.数列 1, , ,…, 的前 n 项和为( 1+2 1+2+3 1+2+…+n 2n A. 2n+1 2n B. n+1 n+2 C. n+1

n D. 2n+1

2

制作人:王密林

5.设 f(n)=2+2 4+27+210+…+23n 2 A. (8n-1) 7

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(n∈N),则 f(n)等于(

) 2 + D. (8n 4-1) 7 1

2 + B. (8n 1-1) 7

2 + C. (8n 3-1) 7 1

6.若数列{an}为等比数列,且 a1=1,q=2,则 Tn= 1 A.1- n 4 1 B.1- n 2

a1a2 a2a3



1

+…+

anan+1

的结果可化为( 1? 2? D. ?1- n? 3? 2 ? )

).

1? 2? C. ?1- n? 3? 4 ?

3 7.若数列{ an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn= an-3,则数列{an}的前 n 项和 Sn 等于( 2 A.3n 1-3


B.3n-3

C.3n 1+3


D.3n+3 ) 1 D.n2-n+1- n 2

1 1 1 1 1 8.数列 1 ,3 ,5 ,7 ,…,(2n-1)+ n,…的前 n 项和 Sn 的值等于( 2 4 8 16 2 1 A.n2+1- n 2 1 B.2n2-n+1- n 2 1 C.n2+1- n-1 2 ) D.9

1 9 9.数列 an= ,其前 n 项之和为 ,则 n= ( 10 n(n+1) A.-10 二、填空题: B.-9 C.10

10.已知函数 f(x)对任意 x∈R,都有 f(x)=1-f(1-x),则 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=________. 1 2 3 4 n 11. + 2+ 3+ 4+…+ n-2 等于________. 2 2 2 2 2 1 1 1 1 12.数列 2 , 2 , 2 , 2 …的前 n 项和等于________. 1 +2 2 +4 3 +6 4 +8 三.解答题: 13.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,且 S n ? (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)在数列 {bn } 中, b1 ? 5 , bn?1 ? bn ? an ,求数列 {bn } 的通项公式.

3 an ? 1 (n ? N* ) . 2

14. 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 2 且 Sn ? Sn?1 ? 2n ( n ? 2 , n ? N* ). ( I )求 Sn ; ( II ) 是否存在等比数列 {bn } 满足 b1 ? a1, b2 ? a3,b3 ? a9 ?若存在,则求出数列 {bn } 的通项公式;若不 存在,则说明理由.

3

制作人:王密林

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高中数学导学案 13

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15. 已知等差数列 {an } 的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? (4 ? an )qn?1 (q ? 0, n ? N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn

16.已知 {an } 是公比为 q 的等比数列,且 a1 ? 2a2 ? 3a3 . (Ⅰ)求 q 的值; (Ⅱ)设 {bn }是首项为 2 ,公差为 q 的等差数列,其前 n 项和为 Tn . 当 n ? 2 时,试比较 bn 与 Tn 的大小.

17. 已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn=

1 (n ? N*),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

4


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