当前位置:首页 >> 高一数学 >>

3.1.1两角差的余弦公式教案


3.1.1 两角差的余弦公式
一、教材分析 《两角差的余弦公式》是人教 A 版高中数学必修 4 第三章《三角恒等变换》第一节《两 角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。本节主要给出了两角差的余弦公式的 推导,要引导学生主动参与,独立思索,自己得出相应的结论。 二、教学目标 1.引导学生建立两角差的余弦公式。通过公式的简单应用,使学生初步理解公式的结构 及其功能,并为建立其他和差公式打好基础。 2.通过课题背景的设计,增强学生的应用意识,激发学生的学习积极性。 3.在探究公式的过程中,逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力,培养学生学会 合作交流的能力。 三、教学重点难点 重点 两角差余弦公式的探索和简单应用。 难点 探索过程的组织和引导。 四、学情分析 之前学习了三角函数的性质,以及平面向量的运算和应用,在此基础上,要考虑如何利 用任意角 α,β 的正弦余弦值来表示 cos(α ? β ) ,牢固的掌握这个公式,并会灵活运用公 式进行下一节内容的学习。 五、教学方法 1.自主性学习法:通过自学掌握两角差的余弦公式. 2.探究式学习法:通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程. 3.反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距 六、课前准备 1.学生准备:预习《两角差的余弦公式》 ,理解两种方法的推理过程。 2.教师准备:课前预习学案,课内探究学案,课后延伸拓展学案。 七、课时安排:1 课时 八、教学过程 创设情景, (一)创设情景,揭示课题 以学校教学楼为背景素材(见课件)引入问题。并针对问题中的 cos15 用计算器或不 用计算器计算求值,以激趣激疑,导入课题。 教师问:想一想: 学校因某次活动的需要,需从楼顶的 C 点处往该点正对的地面上的 A 点处拉一条钢绳,为了在购买钢绳时不至于浪费,你能算一算到底需要多长钢绳吗? (要求在 地面上测量,测量工具:皮尺,测角器) 问题: (1)能不能不用计算器求值 : cos 45
0 0

, cos 30

0

, cos15

0

(2) cos(450 ? 300 ) = cos 450 ? cos 300 是否成立? 设计意图:由给出的背景素材,使学生感受数学源于生活,又应用于生活,唤起学生解 决问题的兴趣,和抛出新知识引起学生的疑惑,在兴趣和疑惑中,激发学生的求知欲,引导 学习方向。 、研探新知 (二) 研探新知 、

1.三角函数线法: 问:①怎样作出角 α 、 β 、 α ? β 的终边。 ②怎样作出角 α ? β 的余弦线 OM ③怎样利用几何直观寻找 OM 的表示式。 设计意图: 尽量用动画课件把探索过程展示出来, 使学生能从几何直观角度加强对公式 结构形式的认识。
Y

p1 A C β α O B

α
P α -β X M

(1) 设角 α 终边与单位圆地交点为 P1, ∠POP = β , 则∠POx = α ? β 。 1 (2) 过点 P 作 PM⊥X 轴于点 M,那么 OM 就是 α ? β 的余弦线。 M (3) 过点 P 作 PA⊥OP1 于 A,过点 A 作 AB⊥x 轴于 B,过点 P 作 PC⊥AB 于 C AB⊥ PC⊥ A
那么 OA 表示 于是

cos β

,AP 表示 sin β ,并且 ∠ PAC

= ∠ POx = α . 1

OM=OB+BM =OB+CP =OA cos α +AP sin α = cos β cos α + sin β sin α 最后要提醒学生注意,公式推导的前提条件:

α 、 β 、 α ? β 都是锐角,且 α > β
2.向量法: 问:①结合图形,明确应选哪几个向量,它们怎么表示? ② 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。 ③ 对探索的过程进一步严谨性的思考和处理,从而得到合理的科学结论。 设计意图: 让学生经历利用向量知识解决一个数学问题的过程, 体会向量方法解决数学 问题的简洁性。 如图,建立单位圆O

uuu v uuu v 则OA = ( cos α ,sin α ) , OB = ( cos β , sin β ) 由 向 量 数 量 积 的 概 念 , 有

y

A

α ?β

α
O

B

β
x

uuu uuu uuu uuu r r r r OA ? OB = OA ? OB cos(α ? β ) = cos(α ? β )

uuu uuu r r O A ? OB = cos α cos β + sin α sin β .
因为

由向量数量积的坐标表示,有

α 、 β 、都是任

意 角,所以 α ? β 也是任意角,但由诱导公式以总可找到一个

θ ∈ [0, 2π ) ,使得 cos θ = cos(α ? β ) 。 uuu uuu r r 若θ ∈[0,π ],则OA ? OB = cosθ = cos α ? β); (
若θ ∈ [π,2π),则2π ? θ ∈ [0,π),且 uuu uuu r r OA ? OB = cos 2π ? θ) cos θ = cos α ? β). 于是对于任意角 α 、 β 都有 ( = (

cos(α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β
例 1. 利用差角余弦公式求 cos15 的值
0

简记C α ? β) (

(求解过程让学生独立完成,注意引导学生多方向、多维度思考问题) 解法 1:

cos150 = cos(450 ? 300 ) = cos 450 cos 300 + sin 450 sin 300 = …=
解法 2:

6+ 2 4

cos150 = cos(600 ? 450 ) = cos 600 cos 450 + sin 600 sin 450 = …=
变式训练:利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式: (1) cos(

2+ 6 4

π
2

? α ) = sin α ;

(2) cos(2π ? α ) = cos α

4 π 5 ,α ∈ ( ,π),cosβ= ,β第三象限角,求cos(α ? β)的值 5 2 13 (让学生联系公式 C(α ? β ) 和本题的条件,考虑清楚要计算 cos (α ? β ) ,应作那些准备。 ) 例2.已知sinα=

3 4 ?π ? ?4? 2 解:由 sin α = , α ∈ ? , π ? ,得 cos α = ? 1 ? sin α = ? 1 ? ? ? = ? 5 5 ?2 ? ?5?
2

5 12 ?5? 2 又由 cos β = ? , β 是第三象限角,得 sin β = ? 1 ? cos β = ? 1 ? ? ? = ? 13 13 ? 13 ? 3 ? 5 ? 4 ? 12 ? 33 所以 cos (α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β = ( ? ) × ? ? ? + × ? ? ? = ? 5 ? 13 ? 5 ? 13 ? 65 让学生结合公式 cos(α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β ,明确需要再求哪些三角函数
值,可使问题得到解决。 变式训练:已知 sin θ =

2

15 π ,θ 是第二象限角,求 cos θ ? )的值 ( 17 3

、质疑答辩,排难解惑, (三) 质疑答辩,排难解惑,发展思维 、质疑答辩 1.利用两角和(差)的余弦公式,求 cos 750 , cos1050 【点评】 :把一个具体角构造成两个角的和、差形式,有很多种构造方法,例如:

cos1050 = cos(1500 ? 450 ) ,要学会灵活运用.
2.求值

cos 750 cos 30 0 + sin 75 0 sin 30 0
+ β ) cos β + sin(α + β ) sin β

(

2 ) 2

3.化简 cos(α

(cos α )
1 ( ) 2

1 5 4.已知α,β 为锐角, α = , (α + β) cos sin = 3 ,求cosβ 7 14
提示:利用拆角思想 cos β = cos[(α + β ) ? α ] 的变换技巧

(设计意图:通过变式训练,进一步加深学生对公式的理解和应用,体验公式既可正用、
逆用,还可变用.还可使学生掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题,培养了学生的 灵活思维品质,提高学生的数学交流能力,促进思维的创新。) 发导学案、 (四)发导学案、布置预习 本节我们学习了两角和与差的余弦公式, 要求同学们掌握公式 C(α ? β ) 的推导, 能熟练运 用公式 C(α ? β ) ,注意公式 C(α ? β ) 的逆用。在解题过程中注意角 α 、 β 的象限,也就是符号

问题,学会灵活运用.课下完成本节的课后练习以及课后延展作业,课本 P137 习题 2.3.4 (设计意图:布置下节课的预习作业,并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的 延伸拓展训练。) 。 九、板书设计 两角差的余弦公式 1.三角函数线法 2.向量法 例1 变式训练 例2 变式训练 当堂训练 1. 2. 3. 4. 十、教学反思 本 节 主 要 考 察 如 何 用 任 意 角 α,β 的 正 弦 余 弦 值 来 表 示 cos(α ? β ) , 回 顾 公 式

C α ? β) 的推导过程,观察公式的特征,注意符号区别以及公式中角 α , β 的任意性,特 (
别要注意公式既可正用、逆用,还可变用(即要活用).还要注意掌握“变角”和“拆角”的 思想方法解决问题. 设计意图: 让学生通过自己小结, 反思学习过程, 加深对公式及其推导过程 (包括发现、 猜想、论证的数学化的过程)的理解。


赞助商链接
相关文章:
3.1.1两角差的余弦公式教学设计设计 陈红丽
3.1.1两角差的余弦公式教学设计设计 陈红丽 - 课题 作者及工 作单位 ☆教学基本信息 人教 A 版高中数学必修 4《三角恒等变换》 3.1.1 两角差的余弦公式 王育平...
3.1.1两角差的余弦公式教学反思 陈红丽_图文
☆ 题目 作者及工 作单位☆ 反思要求: 基本信息 3.1.1 两角差的余弦公式教学反思 陈红丽 泽州一中 1.学完本门学科课程后,选择本课程相关模块的某一节课的教学...
3.1.1两角差的余弦公式教学设计
3.1.1两角差的余弦公式教学设计 - 沧源民中 高一 数学 教学设计 2012.10.26 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式 主备教师:杨宝贵 一、内容及其解析...
3.1.1 两角差的余弦公式说课稿
3.1.1 两角差的余弦公式说课稿一、教材分析 本节课是高中数学必修 4(人教 A 版)第三章 3.1.1 两角差的余弦公式的内容,教学安排 是 1 课时。 在学习本章之...
3.1.1两角差的余弦公式教学设计
3.1.1两角差的余弦公式教学设计_高一数学_数学_高中教育_教育专区。略1.3.1 差角的余弦公式教学设计 一、学习目标: 知识与技能:1、至少会用一种方法证明差角...
高一数学3.1.1两角差的余弦公式教案新人教A版
高一数学 3.1.1 两角差的余弦公式教案 新人教 A 版一、教材分析 《两角差的余弦公式》是人教 A 版高中数学必修 4 第三章《三角恒等变换》第一节《两 角和...
1.示范教案(3.1.1 两角差的余弦公式)
1.示范教案(3.1.1 两角差的余弦公式)_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 1.示范教案(3.1.1 两角差的余弦公式)_数学_高中教育_教育...
3.1.1两角差的余弦公式说课稿
3.1.1两角差的余弦公式说课稿 - 3.1.1《两角差的余弦公式》说课稿 一、 教材分析 “两角差的余弦公式”是课标教材人教版必修 4 第三章《三角恒等变换》第一...
高中数学3.1.1两角差的余弦公式教案新人教A版必修4
高中数学3.1.1两角差的余弦公式教案新人教A版必修4 - 3.1.1 两角差的余弦公式 一、教学目标 掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用,使学生初步理解...
3.1.1两角差的余弦公式导学案
3.1.1 两角差的余弦公式导学案主备: 审阅:高一数学组 时间:2015.04.12 【使用说明】 1、复习教材 P124-P127 页,完成预习学案 2、有余力的学生可在完成探究...
更多相关标签: