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2012届高考数学一轮复习 1不等式和绝对值不等式课件 (文) 新人教A版选修4-5


选修4-5 不等式选讲

第一讲 不等式和绝对值不等式

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1.基本不等式

定理1:如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,
等号成立. 定理2:(基本不等式)如果a,b>0,那么
a?b ≥ ab , 2

当且仅当a=b时,等号成立.即两个正数的算术平均不 小于(即大于或等于)它们的几何平均.

定理3:如果a,b,c大于0,那么 们的几何平均.

当且仅当a=b=c时,等号成立,即三个正数的算术平均不小于它 推广:对于n个正数a1,a2,?,an,它们的算术平均不小于它们的

a?b?c 3 ≥ abc , 3

几何平均,即
立.
a1 ? a2 ?? an n ≥ a1a2 ? an , n

当且仅当a1=a2=?=an时,等号成

2.绝对值三角不等式

定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.
定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等 号成立.

3.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集

不等式

a>0

a=0

a<0

|x|<a

{x|-a<x<a}

?
{x∈R|x≠0} R

?

|x|>a

{x|x>a或x<-a}

(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法

①|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c;
②|ax+b|≥c?ax+b≥c或ax+b≤-c.

考点陪练

1.(2010·江西)不等式 A.(0,2) B.(-∞,0)

|

的解集是( x ? 2 x )? 2 |? x x

C.(2,+∞)

D.(-∞,0)∪(0,+∞)

解析:由绝对值的意义知,原不等式同解于

, 答案:A

x?2 ?0 x

即x(x-2)<0,∴0<x<2,故选A.

2.(2010·天津)设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x||x-

b|>2,x∈R}.若A ? B,则实数a,b必满足(
A.|a+b|≤3 C.|a-b|≤3 B.|a+b|≥3 D.|a-b|≥3

)

解析:由|x-a|<1得a-1<x<a+1. 由|x-b|>2得x<b-2或x>b+2.

∵A ? B,∴a-1≥b+2或a+1≤b-2.
即a-b≥3或a-b≤-3,∴|a-b|≥3.选D.

答案:D

3.设ab>0,下面四个不等式中,正确的是(

)

①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|.

A.①②
C.①④

B.①③
D.②④

解析:∵ab>0,即a,b同号,则|a+b|=|a|+|b|,

∴①和④正确.
答案:C

4.不等式1<|x+1|<3的解集为( A.(0,2) B.(-2,0)∪(2,4)

)

C.(-4,0)

D.(-4,-2)∪(0,2)

解析:由1<|x+1|<3,得 1<x+1<3或-3<x+1<-1,

∴0<x<2或-4<x<-2,
∴不等式的解集为(-4,-2)∪(0,2). 答案:D

5.若关于x的不等式|x-2|+|x-a|≥a在R上恒成立,则a的最大值 是( A.0 C.-1 ) B.1 D.2

解析:由于|x-2|+|x-a|≥|a-2|
∴等价于|a-2|≥a,即a≤1. 故实数a的最大值为1.

答案:C

类型一形如

|x-ai|的最小值问题

解题准备:当x取何值时 题可以利用以下三种解法: (1)去掉绝对值号,转化为分段函数求最值; (2)利用|x-ai|+|x-ak|的几何意义;

有最小值问

(3)利用绝对值不等式|x-a|+|b-x|≥|a-b|,其中取等号的条件是
(x-a)与(b-x)不异号.

【典例1】 (2009·上海)某地街道呈现东—西?南—北向的风格状,相邻

街距都为1.两街道相交的点称为格点,若以互相垂直的两条街道为轴建
立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊 零售点.请确定一个格点(除零售点外)________为发行站,使6个零售点

沿街道到发行站之间路程的和最短.

[解析] 设格点为(x,y),则格点到各零售点的距离之和为

d=|x+2|+|x-3|+|x-3|+|x+2|+|x-4|+|x-6|+|y-1|+|y-2|+|y-4|+|y-3|+|y-5|+|y-6|.
设d1=|y-1|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|y-5|+|y-6|. d2=|x+2|+|x-3|+|x-3|+|x+2|+|x-4|+|x-6|.

∵|y-1|+|y-6|≥5,当且仅当1≤y≤6时等号成立;
|y-2|+|y-5|≥3,当且仅当2≤y≤5时等号成立, |y-3|+|y-4|≥1,当且仅当3≤y≤4时等号成立.

故当y=3或y=4时等号成立. 此时d1有最小值. 同理可证当x=3时,d2有最小值. ∴由题意得(x,y)只能取(3,3).

[答案] (3,3)

[反思感悟] 对于

(数列{ai}


调)的最小值问题,有两种情况:若n=2k+1,k∈Z,则 x=ak+1时,f(x)取最小值;若n=2k,k∈Z,则ak≤x≤ak+1 时,f(x)取最小值.

类型二

含绝对值不等式的解法

解题准备:解含绝对值的不等式的基本方法是依据绝对值的定义与性质,通过变换转化成不含绝对值的不
等式.转化的途径有三种:一是依据实数绝对值的定义:

? x, x≥0, | x |? ? 进行转化; 二是依据绝对值的性质 : ?? x, x ? 0, 当a ? 0时, x ? a ? ?a ? x ? a, x ? a ? x ? ?a, 或x ? a, 转化为不含绝对值的不等式; 三是借助两边平方.

【典例2】 解下列不等式:

(1)1<|x-2|≤3;
(2)|2x+5|>7+x; (3)|x-1|+|x+2|<5.

[分析] (1)利用公式或平方法转化为不含绝对值的不等式.

(2)利用公式法转化为不含绝对值的不等式.
(3)不等式的左边含有两个绝对值符号,要同时去掉这两个绝对值符号,可以采用“零点分段法”.此题亦可 利用绝对值的几何意义去解.

?| x ? 2 |? 1 [解] ?1? 解法一 : 原不等式等价于不等式组 ? , ?| x ? 2 | ≤3 ? x ? 1或x ? 3 即? , ??1≤x≤5 解得 ? 1≤x ? 1或3 ? x≤5, 所以原不等式 的解集为{x | ?1≤x ? 1或3 ? x≤5}.

? x ? 2≥0 解法二 : 原不等式可转化为 : ① ? ?1 ? x ? 2≤3 ?x ? 2 ? 0 或② ? , ?1 ? ?( x ? 2)≤3 由①得3 ? x≤5,由②得 ? 1≤x ? 1, 所以原不等式的解集是{x | ?1≤x ? 1或3 ? x≤5}.

解法三 : 原不等式的解集就是1 ? ? x ? 2 ? ≤9的解集,
2

?( x ? 2) 2 ≤9 ? 即? , 2 ?( x ? 2) ? 1 ? ??1≤x≤5 解得 ? , ? x ? 1或x ? 3 ??1≤x ? 1或3 ? x≤5. ? 原不等式的解集是{x | ?1≤x ? 1或3 ? x≤5}.

(2)由不等式|2x+5|>7+x,

可得2x+5>7+x或2x+5<-(7+x),
整理得x>2或x<-4. ∴原不等式的解集是{x|x<-4或x>2}.

(3)解法一:分别求|x-1|,|x+2|的零点,即1,-2.

由-2,1把数轴分成三部分:
x<-2,-2≤x≤1,x>1. 当x<-2时,原不等式为1-x-2-x<5. 解得-3<x<-2;

当-2≤x≤1时,原不等式为1-x+2+x<5,
因为3<5恒成立,则-2≤x≤1;

当x>1时,原不等式为x-1+2+x<5,

解得1<x<2.
综上,原不等式的解集为{x|-3<x<2}.

解法二:不等式|x-1|+|x+2|<5的几何意义为数 轴上到-2,1两个点的距离之和小于5的点组成的集合,而-2,1两端点之间的距离为3,由于分布在-2,1以外的 点到-2,1的距离在-2,1外部的距离要计算两次,而在-2,1内部的距离则只计算一次,因此只要找出-2左

边到-2的距离等于

5?3 5?3 ? 1的点 ? 3,以及1右边到1的距离等于 ?1 2 2 的点2, 这样就得到原不等式的解集?x | ?3 ? x ? 2? .

[反思感悟] (1)解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号.其方法主要有:利用绝对值的意义;利用公式;平

方?分区间讨论等.
(2)利用平方法去绝对值符号时,应注意不等式两边非负才可进行. (3)零点分段法解绝对值不等式的步骤: ①求零点;②划区间?去绝对值号;③分别解去掉绝对值的不等式;④取每个结果的并集,注意在分段时不要 遗漏区间的端点值.

类型三

含绝对值不等式的证明

解题准备:含绝对值不等式的证明主要分两类:一类是比较简单的不等式可以通过平方法或换元法等去掉 绝对值转化为常见的不等式的证明,另一类是利用绝对值三角不等式:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适当

的添加?拆项证明或利用放缩法结合法分析证明.

【典例3】 若f(x)=x2-x+c(c为常数),|x-a|<1,

求证:|f(x)-f(a)|<2(1+|a|).
[证明] |f(x)-f(a)|=|(x2-x+c)-(a2-a+c)| =|x2-x-a2+a|=|(x-a)(x+a-1)| =|x-a||x+a-1|<|x+a-1| =|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|

≤|x-a|+2|a|+1<1+2|a|+1=2(1+|a|).

[反思感悟] 使用绝对值不等式的性质证明不等式时,常与放缩法结合在一起应用,利用放缩法时要目标明

确,通过添?拆项后,适当放缩.

错源

去绝对值不当致误

【典例】 解不等式:|2x+1|-|x-4|<2. [剖析] 本题可以按照-?,4把实数集分割成三个部分,去掉绝对值后转化为三个不等式组的解处理.可能出 现的错误就在这个去绝对值上,一个是分区时漏掉了端点值- ? ? 4,另一个是在各个部分内判断绝对 值内式子的符号,如当- ? ≤ x<4时认为2x+1<0等.

1 [正解]令2x ? 1, x ? 4分别等于0, 得x ? ? , 2 x ? 4,? 可分以下三种情况讨论 : ①当x ? 4时, 2x ? 1 ? ? x ? 4 ? ? 2, ? x ??; 1 ②当 ? ≤x ? 4时, 2x ? 1 ? x ? 4 ? 2, 2 1 5 ? ? ≤x ? 2 3

1 ③当x ? ? 时, ?2x ? 1 ? x ? 4 ? 2, 2 1 ??7 ? x ? ? . 2 5? ? 综上所述, 该不等式的解集为 ? ?7, ? 3? ?

[评析] 解一般的带有绝对值的不等式的基本方法就是把不等式去绝对值后转化为几个不等式组的解,去

绝对值的方法一般是采取零点分区法,即让几个绝对值内的式子都等于0,解得的x值称为零点,这些值
把整个实数集分成几个部分,在每一个部分内,绝对值内的式子的符号完全可以确定,这样就去掉了绝 对值.值得注意的是分区时要做到不重不漏.

技法

利用绝对值的几何意义或图象解不等式

对于形如|x-a|+|x-b|>c或|x-a|+|x-b|<c的不等式,利用绝对值的几何意义或者画出左?右两边函数的图象去 解不等式,更为直观?简捷,它体现了数形结合思想方法的优越性.

【典例】 设函数f(x)=|2x+1|-|x-4|.

(1)解不等式f(x)>2;
(2)求函数y=f(x)的最小值.

[解] ?1? 令y ? 2x ? 1 ? x ? 4 , 1 ? x≤ ? , ?? x ? 5, 2 ? 1 ? 则y ? ?3 x ? 3, ? ? x ? 4, 2 ? x≥4. ? x ? 5, ? ? 作出函数y ? 2x ? 1 ? x ? 4 的图象(如图), 它与直线y ? 2 ?5 ? 的交点为 ? ?7, 2 ? 和 ? , 2 ? . ?3 ? ?5 ? 所以 2x ? 1 ? x ? 4 ? 2的解集为(??, ?7) ? ? , ? ? ? . ?3 ?

1 ? 2 ?由函数y ? 2x ? 1 ? x ? 4 的图象可知,当x ? ? 时, 2 9 y ? 2x ? 1 ? x ? 4 取得最小值 ? . 2
[方法与技巧] 通过去绝对值,可将含有绝对值的函数转化成
分段函数去研究它的性质.


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