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《数列的概念与简单表示法》第二课时参考教案


课题: § 2.1 数列的概念与简单表示法 (第2课时)
●教学目标 知识与技能:了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;会根据数列的递推公式 写出数列的前几项;理解数列的前 n 项和与 an 的关系 过程与方法:经历数列知识的感受及理解运用的过程。 情感态度与价值观:通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣。 ●教学重点 根据数列的递推公式写

出数列的前几项 ●教学难点 理解递推公式与通项公式的关系 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [复习引入] 数列及有关定义 Ⅱ.讲授新课 数列的表示方法 1、 通项公式法 如果数列 ?an ? 的第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示, 那么这个公式就叫做这个数 列的通项公式。 如数列 的通项公式为 的通项公式为 的通项公式为 2、 图象法 启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数 为横坐标,相应的项 ; ; ;

为纵坐标,即以

为坐标在平面直角坐标系中做出点(以前面提到的数列
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为例,做出一个数列的图象) ,所得的数列的图形是一群孤立的点,因为横坐标为正整数,所 以这些点都在 轴的右侧,而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的

项随项数由小到大变化而变化的趋势. 3、 递推公式法 知识都来源于实践,最后还要应用于生活 用其来解决一些实际问题.
王新敞
奎屯 新疆

观察钢管堆放示意图,寻其规律,建立数学模型. 模型一:自上而下: 第 1 层钢管数为 4;即:1 ? 4=1+3 第 2 层钢管数为 5;即:2 ? 5=2+3 第 3 层钢管数为 6;即:3 ? 6=3+3 第 4 层钢管数为 7;即:4 ? 7=4+3 第 5 层钢管数为 8;即:5 ? 8=5+3 第 6 层钢管数为 9;即:6 ? 9=6+3 第 7 层钢管数为 10;即:7 ? 10=7+3 若用 an 表示钢管数,n 表示层数,则可得出每一层的钢管数为一数列,且 an ? n ? 3(1 ≤n≤7) 运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型,运用这一关系,会很 快捷地求出每一层的钢管数 这会给我们的统计与计算带来很多方便。
王新敞
奎屯 新疆

让同学们继续看此图片,是否还有其他规律可循?(启发学生寻找规律) 模型二:上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多 1。 即 a1 ? 4 ; a2 ? 5 ? 4 ? 1 ? a1 ? 1 ; a3 ? 6 ? 5 ? 1 ? a2 ? 1 依此类推: an ? an?1 ? 1(2≤n≤7) 对于上述所求关系,若知其第 1 项,即可求出其他项,看来,这一关系也较为重要。 定义: 递推公式:如果已知数列 ?an ? 的第 1 项(或前几项) ,且任一项 an 与它的前一项 an?1 (或前 n 项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 递推公式也是给出数列的一种方法。 如下数字排列的一个数列:3,5,8,13,21,34,55,89
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递推公式为: a1 ? 3, a2 ? 5, an ? an?1 ? an?2 (3 ? n ? 8) 数列可看作特殊的函数,其表示也应与函数的表示法有联系,首先请学生回忆函数的表示法: 列表法,图象法,解析式法.相对于列表法表示一个函数,数列有这样的表示法:用 第一项,用 4、列表法 .简记为 [范例讲解] . 表示第一项,……,用 表示第 项,依次写出成为 表示

a1 ? 1 ? ? 例 3 设数列 ?an ? 满足 ? 写出这个数列的前五项。 1 ?an ? 1 ? a (n ? 1). n ?1 ?
解:分析:题中已给出 ?an ? 的第 1 项即 a1 ? 1 ,递推公式: an ? 1 ?
1 an?1

解:据题意可知: a1 ? 1, a2 ? 1 ? [补充例题]

1 1 2 1 5 8 ? 2, a3 ? 1 ? ? , a4 ? 1 ? ? , a5 ? a1 a2 3 a3 3 5

例 4 已知 a1 ? 2 , an?1 ? 2an 写出前 5 项,并猜想 an . 法一: a1 ? 2

a2 ? 2 ? 2 ? 2 2

a3 ? 2 ? 22 ? 23 ,观察可得 an ? 2n


法二:由 an?1 ? 2an

∴ an ? 2an?1

an ?2 a n ?1



an an?1 an?2 a ? ? ? ??? 2 ? 2 n?1 an?1 an?2 an?3 a1

∴ an ? a1 ? 2n?1 ? 2n Ⅲ.课堂练习 [补充练习] 1.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前五项,并归纳出通项公式 (1) a1 =0, an?1 = an +(2n-1) (n∈N); 练习 2

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(2) a1 =1, an?1 =

2a n (n∈N); an ? 2

(3) a1 =3, an?1 =3 an -2 (n∈N). 解:(1) a1 =0, a2 =1, a3 =4, a4 =9, a5 =16, ∴ an =(n-1) 2 ; (2) a1 =1, a2 =
1 2 1 2 2 2 2 , a3 = ? , a4 = , a5 = ? , ∴ an = ; 3 5 n ?1 2 4 3 6

(3) a1 =3=1+2 ? 30 , a2 =7=1+2 ? 31 , a3 =19=1+2 ? 32 , 3 n ?1 ; a4 =55=1+2 ? 33 , a5 =163=1+2 ? 34 , ∴ an =1+2· Ⅳ.课时小结 本节课学习了以下内容: 1.递推公式及其用法; 2.通项公式反映的是项与项数之间的关系,而递推公式反映的是相邻两项(或 n 项) 之间的关系. Ⅴ.课后作业 习题 2。1A 组的第 4、6 题 ●板书设计 ●授后记

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