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湖北省襄阳市2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试卷(扫描版)


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20 15 年 6 月 襄 阳 市 普 通 高 中 调 研 统 一 测 试 高二数学(文史类)参考答案及评分标准
说明 1.本解答列

出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评 分标准的精神进行评分。
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2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。 当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解未改变这一题的内 容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分 数的一半,如果有较严重的概念性错误,就不给分。 3.解答题中右端所标注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数。 一.选择题:BAADC CDCBD BA 二.填空题:13. 三.解答题: 17.解:若 p:方程 x 2 ? 2mx ? 1 ? 0 有两个不相等的正根为真, ? ? 4m 2 ? 4 ? 0 则? ? x1 ? x2 ? ?2m ? 0 解得 m ? ?1 若 q:方程 x 2 ? 2(m ? 2) x ? 3m ? 10 ? 0 无实根为真 则 ? 4(m ? 2)2 ? 12m ? 40 ? 0 解得 ?2 ? m ? 3 ∵p∨q 为真,∴命题 p 与命题 q 至少有一个为真 ∵p∧q 为假,∴命题 p 与命题 q 至少有一个为假 因此,命题 p 与命题 q 必一真一假 若 p 真 q 假,则 m ≤ ?2 分若 p 假 q 真,则 ?1 ≤? 3 分 综上,实数 m 的取值范围为 {m | m ≤ ?2 或 ?1 ≤ m ? 3} 分 18.(Ⅰ)解: f ?( x) ? x 2 ? (2 ? a) x ? 1 ? a ? ( x ? 1)( x ? 1 ? a) 当 a = 0 时, f ?( x) ? ( x ? 1) 2 ≥ 0 恒成立 当且仅当 x ? ?1 时取“=”号,f (x)在 R 上单调递增 当 a > 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?1,x2 ? a ? 1 且 x1 < x2 当 x 变化时, f ?( x)、 f ( x) 的变化如下表: x f ?( x) f (x)
(??, ? 1)

5 2

14.f (5)、f (4)、f (3)

1 15. [ , 1) 2

16.②③④

2分 3分 5分 6分 7分 8分 9分 10 11 12

2分 3分
a ?1

+ ↗

?1 0 极大值

(?1, a ? 1)

(a ? 1, ? ?)

- ↘

0 极小值

+ ↗ 6分 7分 9分 11 12

f (x)在 (??, ? 1) 单调递增,在 (?1, a ? 1) 单调增减,在 (a ? 1, ? ?) 单调递增. (Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知 当 a = 0 时,f (x)在[0,1]上单调递增 当 a > 0 时,若 0 < a≤1 时,则 [0, 1] ? (a ? 1, ? ?) ,f (x)在[0,1]上单调递增 若 a > 1,则 f (x)在[0, a ? 1 ]上单调递减,f (x)在[0,1]上不是单调递增 分 综上,a 的取值范围是[0,1]. 分

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101 ? a ? 102 ? ? 10 ? b ln1 ? 19.2 ? ? 50 19.(Ⅰ)解:由条件 ? 2 ?a ? 202 ? 101 ? 20 ? b ln 2 ? 35.7 ? 50 ? 分 1 解得: a ? ? 4 , b ?1 100 分 x 2 101 x ? x ? ln ( x ≥ 10) ∴ f ( x) ? ? 5 100 50 10 分 x2 51 x ? x ? ln ( x ≥ 10) (Ⅱ)解: T ( x) ? f ( x) ? x ? ? 100 50 10 x 51 1 ( x ? 1)( x ? 50) 7分 T ?( x) ? ? ? ? ?? 50 50 x 50 x 令 T ?( x) ? 0 得:x = 1(舍)或 x = 50 当 x∈(10,50)时,T ?( x) ? 0 ,因此 T(x)在(10,50)上是增函数当 x∈(50,+∞)时,T ?( x) ? 0 ,

因此 T(x)在(0,+∞)上是减函数 ∴x = 50 为 T(x)的极大值点 即该景点改造升级后旅游利润 T(x)的最大值为 T(50) = 24.4 万元 分 20.(Ⅰ)解:由已知 A(0,b),设 F1( ?c ,0),F2(c,0) 由 2 F1 F2 ? F2Q ? 0 得:Q( ?3c ,0) ∴ AQ ? (?3c, ? b),AF2 ? (c, ? b) 由 AQ⊥AF2 得: AQ ? AF2 ? ?3c ? b ? 0 ,∴ ?3c ? a ? c ? 0 ? a ? 2c
2 2

9分 10

1分 2分
2 2 2

3分 4分 5分

过 A、Q、F2 三点的圆的圆心为斜边 QF2 的中点( ?c ,0),半径 r = 2c ∵过 A、Q、F2 三点的圆恰好与直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 相切 | ?c ? 3 | ∴圆心到直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 的距离 = r,即 ? 2c ? c ? 1 2 ∴a = 2c = 2, b ? 3 x2 y 2 ? ?1 故所求的椭圆的方程为 4 3 (Ⅱ)解:设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,由题意 y1、y2 异号 1 S F1MN ? | F1 F2 | ? | y1 ? y2 |?| y1 ? y2 | 2 由题知,直线 l 的斜率不为零,可设直线 l 的方程为 x = my + 1 ? x2 y 2 ? ? ?1 由? 4 得: (3m 2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 3 ? ? x ? my ? 1 ∴ y1 ? y2 ?
?6m ?9 ,y1 y2 ? 3m 2 ? 4 3m 2 ? 4

6分

8分

故 ( y1 ? y2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? ( ∴S
F 1MN

?6m 2 36 144(m 2 ? 1) ) ? ? 3m 2 ? 4 3m 2 ? 4 (3m 2 ? 4) 2

? | y1 ? y2 |?

12 m 2 ? 1 3m 2 ? 4

10

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12t 12 ? (t ≥ 1) 3t 2 ? 1 3t ? 1 t 当 t = 1 时,△F1MN 有最大值 3.此时,m = 0 故△F1MN 的面积的最大值为 3,此时直线 l 的方程为 x = 1. 分
令 t ? m 2 ? 1 ,则 S
F 1MN

?

12

2 1 ( x ? 1) 2 ?1? 2 ? ? ?0 x x x2 ∴f (x)在(0,+∞)上单调递减. 1 1 1 1 x (Ⅱ) 解:原不等式可化为 ln(1 ? ) ? ? 1? ? x x 1 1 1? 1? x x
21. (Ⅰ)解: f ?( x) ?

2分 4分

1 1 (t ? 1) ,原不等式等价于 2 ln t ? t ? x t 1 令 g (t ) ? 2 ln t ? t ? ,由(Ⅰ)知,函数 g (t)在(0,+∞)上单调递减 t ∴ g (t ) ? g (1) ? 0 1 故 2 ln t ? t ? ,故原不等式成立. t
令 t ? 1? (Ⅲ)证:由(Ⅱ)知 ∴

6分

8分 9分

1 1 ? ln(1 ? ) ? ln(n ? 1) ? ln n n n(n ? 1)
? 1 n( n ? 1)

1 1 1 ? ? ? 1? 2 2?3 3? 4

? (ln 2 ? ln1) ? (ln 3 ? ln 2) ? ? [ln( n ? 1) ? ln n] ? ln( n ? 1) 分 x ( x ? 0) 令 h( x) ? ln( x ? 1) ? x ?1 1 1 x ? ? ?0 则 h?( x) ? x ? 1 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2 ∴h (x)在(0,+∞)是增函数,故 h (x) > h (0) = 0 分 x ln( x ? 1? ) ? 0 ? 因 此 x ?1 1 1 1 1 n ? ? ? ? ? ln(n ? 1) ? 1? 2 2?3 3? 4 n(n ? 1) n ?1

10

11

x lxn ?( ? 1 ) x ?1

∴ 12

分 22.(Ⅰ)解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1 ? y2 ? 6
? y ? 8 x1 2 ? 8( x1 ? x2 ) 又? , 两式相减得: y12 ? y2 y ? 8 x ? 2 y ? y2 8 4 ? ? ∴ k AB ? 1 x1 ? x2 y1 ? y2 3 4 故 AB 的方程为 y ? 3 ? ( x ? 2) ,即 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 3
2 1 2 2

2分

4分 5分

(Ⅱ)解:设 AB 方程为 y ? x ? b

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? y 2 ? 8x 由? 得: y 2 ? 8 y ? 8b ? 0 y ? x ? b ? 分 y ? y2 ∵ ? ? 64 ? 32b ? 0 ,∴ b ? 2 , 1 ?4 2 分 弦 AB 的中点 (4 ? b, 4) ,故线段垂直平分线方程为 y ? 4 ? ?( x ? 4 ? b) 分 令 y ? 0 ,得 x ? ?b ? 8 ∵ b ? 2 ,∴ x ? 6 即线段 AB 的垂直平分线在 x 轴上的截距范围(6,+∞). 分

6

7 8

10

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