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第4讲正弦型函数y=sinx的图像和应用


第 4 讲 正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图像及应用
1.考查正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图像变换. 2.结合三角恒等变换考查 y=Asin(ωx+φ)的性质及简单应用. 【复习指导】 本节复习时, 应抓住正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图像的“五点法”作图和图像的变换 以及性质的应用,通过适量的训练,掌握解决问题的通性通法.

/>基础梳理 1.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点 如下表所示 x 0-φ ω 0 0 π -φ 2 ω π 2 A π-φ ω π 0 3π -φ 2 ω 3π 2 -A 2π-φ ω 2π 0

ωx+φ y=Asin(ωx+φ)

2.函数 y=sin x 的图像变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图像的步骤

3.当函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈[0,+∞))表示一个振动时,A 叫作振幅, 2π 1 T= 叫作周期,f= 叫作频率,ωx+φ 叫做相位,φ 叫作初相. ω T 4.图像的对称性 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像具有轴对称和中心对称,具体如下: π (1)函数 y=Asin(ωx+φ)的图像关于直线 x=xk(其中 ωxk+φ=kπ+ ,k∈Z)成轴对称图 2 形. (2)函数 y=Asin(ωx+φ)的图像关于点(xk,0)(其中 ωxk+φ=kπ,k∈Z)成中心对称图形.

一种方法

M-m M+m 在由图像求三角函数解析式时, 若最大值为 M, 最小值为 m, 则 A= , k= , 2 2 2π ω 由周期 T 确定,即由 =T 求出,φ 由特殊点确定. ω 一个区别 由 y=sin x 的图像变换到 y=Asin(ωx+φ)的图像,两种变换的区别:先相位变换再周期 |φ| 变换(伸缩变换), 平移的量是|φ|个单位; 而先周期变换(伸缩变换)再相位变换, 平移的量是 ω (ω>0)个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对 x 而言,即 x 本身加减多少值,而不 是依赖于 ωx 加减多少值. 两个注意 作正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图像时应注意: (1)首先要确定函数的定义域; (2)对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图像时只要作出一个周期的图像,就可 根据周期性作出整个函数的图像. 双基自测 π 2x- ? 的振幅、频率和初相分 1.(北师大版教材习题改编)y=2sin? 4? ? 别为( ). 1 π B.2, ,- 2π 4 1 π D.2, ,- 2π 8

1 π A.2, ,- π 4 1 π C.2, ,- π 8 答案 A

π? 2.已知简谐运动 f(x)=Asin(ωx+φ)? 则该简谐运动的最小正 ?|φ|<2?的部分图像如图所示, 周期 T 和初相 φ 分别为( π A.T=6π,φ= 6 π C.T=6,φ= 6 ). π B.T=6π,φ= 3 π D.T=6,φ= 3

π π ? 解析 由图像知 T=2(4-1)=6?ω= ,由图像过点(1,2)且 A=2,可得 sin? ?3×1+φ?= 3 π π 1,又|φ|< ,得 φ= . 2 6

答案 C π 3.函数 y=cos x(x∈R)的图像向左平移 个单位后,得到函数 y=g(x)的图像,则 g(x) 2 的解析式应为( A.-sin x C.-cos x ). B.sin x D.cos x

π? 解析 由图像的平移得 g(x)=cos? ?x+2?=-sin x. 答案 A π? 4π 4.设 ω>0,函数 y=sin? ?ωx+3?+2 的图像向右平移 3 个单位后与原 图像重合,则 ω 的最小值是( 2 A. 3 解析 4 B. 3 ). 3 C. 2 D.3

π? 4π ? ? 4π? π? y = sin ? ?ωx+3? + 2 向 右 平 移 3 个 单 位 后 得 到 y1 = sin ?ω?x- 3 ?+3? + 2 =

π 4π ? 4π sin? ?ωx+3- 3 ω?+2,又 y 与 y1 的图像重合,则- 3 ω=2kπ(k∈Z). 3 ∴ω=- k.又 ω>0,k∈Z, 2 3 ∴当 k=-1 时,ω 取最小值为 ,故选 C. 2 答案 C

5 . (2011· 重庆六校联考 ) 已知函数 f(x) = sin(ωx + φ)(ω > 0) 的图像如图所示,则 ω = ________. T 2 π π 4 2π 3 解析 由题意设函数周期为 T,则 = π- = ,故 T= π.∴ω= = . 4 3 3 3 3 T 2 答案 3 2

考向一 作函数 y=Asin(ωx+φ)的图像 π 3 ? ?π? 【例 1】?设函数 f(x)=cos(ωx+φ)? ?ω>0,-2<φ<0?的最小正周期为 π,且 f?4?= 2 . (1)求 ω 和 φ 的值; (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π]上的图像.

[审题视点] (1)由已知条件可求 ω,φ;

(2)采用“五点法”作图,应注意定义域[0,π].



2π (1)周期 T= =π,∴ω=2, ω

π? 3 ? π ? ?π ? ∵f? ?4?=cos?2×4+φ?=cos?2+φ?=-sin φ= 2 , π π ∵- <φ<0,∴φ=- . 2 3 π 2x- ?,列表如下: (2)∵f(x)=cos? 3? ? π 2x- 3 x f(x) 图像如图: - 0 1 2 π 3 0 π 6 1 π 2 5 π 12 0 π 2 π 3 -1 3 π 2 11 π 12 0 5 π 3 π 1 2

(1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点,而后列表、描点、连线即可. (2)变换法作图像的关键看 x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移,对于后者可利用 φ? ωx+φ=ω? ?x+ω?来确定平移单位. 1 π? 【训练 1】 已知函数 f(x)=3sin? ?2x-4?,x∈R. (1)画出函数 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)将函数 y=sin x 的图像作怎样的变换可得到 f(x)的图像? 解 (1)列表取值: x π 2 3 π 2 5 π 2 7 π 2 9 π 2

1 π x- 2 4 f(x)

0 0

π 2 3

π 0

3 π 2 -3

2π 0

描出五个关键点并用光滑曲线连接,得到一个周期的简图.

π (2)先把 y=sin x 的图像向右平移 个单位, 然后把所有的点的横坐标扩大为原来的 2 倍, 4 再把所有点的纵坐标扩大为原来的 3 倍,得到 f(x)的图像. 考向二 求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式 【例 2】?(2011· 南通模拟)

如图所示,某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ωx+φ)+b. (1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式. [审题视点] 由最高、最低点确定 A,b,由周期确定 ω,然后由图像过的特殊点确定 φ. 解 (1)由图可知,这段时间的最大温差是:

30-10=20(℃) 1 2π (2)题图中从 6 时到 14 时的图像是函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图像, 所以 · 2 ω π =14-6,解得 ω= . 8 1 1 由图示可知,A= (30-10)=10,b= (30+10)=20. 2 2 π ? 这时 y=10· sin? ?8x+φ?+20. 3π 将 x=6,y=10 代入上式,可取 φ= . 4 综上,所求的解析式为: π 3π? y=10sin? ?8x+ 4 ?+20,x∈[6,14].

解决这类题目一般是先根据函数图像的最高点、最低点确定 A,h 的值,函 数的周期确定 ω 的值,再根据函数图像上的一个特殊点确定 φ 值.

【训练 2】 已知函

π 数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,|φ|< ,ω>0)的图像的一部分如图所示. 2 (1)求 f(x)的表达式; (2)试写出 f(x)的对称轴方程. 解 (1)观察图像可知:A=2 且点(0,1)在图像上,∴1=2sin(ω· 0+φ),

1 即 sin φ= . 2 π π 11 ∵|φ|< ,∴φ= .又∵ π 是函数的一个零点,且是图像递增穿过 x 轴形成的零点, 2 6 12 ∴ 11π π ω+ =2π,∴ω=2. 12 6

π? ∴f(x)=2sin? ?2x+6?. π (2)设 2x+ =B,则函数 y=2sin B 的对称轴方程为 6 π B= +kπ,k∈Z, 2 π π 即 2x+ = +kπ(k∈Z), 6 2 kπ π 解上式得 x= + (k∈Z), 2 6 π? kπ π ∴f(x)=2sin? ?2x+6?的对称轴方程为 x= 2 +6(k∈Z). 考向三 函数 y=Asin(ωx+φ)的图像与性质的综合应用 π 【例 3】 ?(2012· 西安模拟)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ), x∈R(其中 A>0, ω>0,0<φ< ) 2 π 的 图 像与 x 轴的 交点 中, 相 邻两 个交 点之 间的距 离 为 , 且图 像上 的一个 最 低点 为 2 2π ? M? ? 3 ,-2?.

(1)求 f(x)的解析式; π π? (2)当 x∈? ?12,2?时,求 f(x)的值域. [审题视点] 先由图像上的一个最低点确定 A 的值,再由相邻两个交点之间的距离确定 ω 的值,最后由点 M 在图像上求得 φ 的值,进而得到函数的解析式;先由 x 的范围,求得 π 2x+ 的范围,再求得 f(x)的值域. 6 解 2π ? (1)由最低点为 M? ? 3 ,-2?,得 A=2.

π T π 2π 2π 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 ,得 = ,即 T=π,所以 ω= = =2.由点 2 2 2 T π 2π ? ? 2π ? ?4π ? M? ? 3 ,-2?在图像上,得 2sin?2× 3 +φ?=-2,即 sin? 3 +φ?=-1. 故 4π π 11π +φ=2kπ- ,k∈Z,所以 φ=2kπ- (k∈Z). 3 2 6

π? π 又 φ∈? ?0,2?,所以 φ=6. π? 故 f(x)的解析式为 f(x)=2sin? ?2x+6?. π π? π ?π 7π? (2)因为 x∈? ?12,2?,所以 2x+6∈?3, 6 ?. π π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 2; 6 2 6 π 7π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最小值-1. 6 6 2 故函数 f(x)的值域为[-1,2]. 1 利用三角函数图像与 x 轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的 个最小 2 正周期, 去求解参数 ω 的值, 利用图像的最低点为三角函数最值点, 去求解参数 A 的值等. 在 求函数值域时,由定义域转化成 ωx+φ 的范围,即把 ωx+φ 看作一个整体. π ? 【训练 3】(2011· 南京模拟)已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的图像过点 P? ?12,0?, π ? 图像上与点 P 最近的一个最高点是 Q? ?3,5?. (1)求函数的解析式; (2)求函数 f(x)的递增区间. 解 π π? (1)依题意得:A=5,周期 T=4? ?3-12?=π,

π 2π ? ∴ω= =2.故 y=5sin(2x+φ),又图像过点 P? ?12,0?, π π ? ∴5sin? ?6+φ?=0, π π 由已知可得 +φ=0,∴φ=- , 6 6 π? ∴y=5sin? ?2x-6?. π π π (2)由- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z, 2 6 2 π π 得:- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z, 6 3 π π? 故函数 f(x)的递增区间为:? ?kπ-6,kπ+3?(k∈Z).

规范解答 7——怎样求解三角函数的最值问题 【问题研究】 (1)求三角函数的最值是高考的一个热点.在求解中,一定要注意其定义 域,否则容易产生错误. (2)主要题型:①求已知三角函数的值域(或最值);②根据三角函数的值域(或最值)求相 关的参数;③三角函数的值域(或最值)作为工具解决其他与范围相关的问题. 【 解 决 方 案 】 ① 形 如 y = asin x + bcos x + c 的 三 角 函 数 , 可 通 过 引 入 辅 助 角 φ?cos φ=

? ?

a a +b
2

2

,sin φ=

?,将原式化为 y= a +b2?
2

b

?

a2+b2· sin(x+φ)+c 的形式后,再

求值域(或最值);②形如 y=asin2x+bsin x+c 的三角函数,可先设 t=sin x,将原式化为二 次函数 y=at2+bt+c 的形式,进而在 t∈[-1,1]上求值域(或最值);③形如 y=asin xcos x+ 1 b(sin x± cos x)+c 的三角函数,可先设 t=sin x± cos x,将原式化为二次函数 y=± a(t2-1)+ 2 bt+c 的形式,进而在闭区间 t∈[- 2, 2]上求最值. π? 【示例】?(本题满分 12 分)(2011· 北京)已知函数 f(x)=4cos xsin ? ?x+6?-1. (1)求 f(x)的最小正周期; π π - , ?上的最大值和最小值. (2)求 f(x)在区间? ? 6 4? π π 2π - , ?,求 首先化为形如 y=Asin(ωx+φ)的形式,由 T= 求得:由 x∈? 6 4? ? ω

得 ωx+φ 的范围,从而求得最值. π? [解答示范] (1)因为 f(x)=4cos xsin? ?x+6?-1 =4cos x? 3 1 ?-1 ? 2 sin x+2cos x?

= 3sin 2x+2cos2x-1= 3 sin 2x+cos 2x π 2x+ ?,(4 分) =2sin? 6? ?

所以 f(x)的最小正周期为 π.(6 分) π π π π 2π (2)因为- ≤x≤ ,所以- ≤2x+ ≤ .(8 分) 6 4 6 6 3 π π π 于是,当 2x+ = ,即 x= 时, 6 2 6 f(x)取得最大值 2;(10 分) π π π 当 2x+ =- ,即 x=- 时,f(x)取得最小值-1.(12 分) 6 6 6 解决这类问题常常借助三角函数的有界性或转化为我们所熟悉的函数,如 二次函数等来解决. π? 5 3 【试一试】 是否存在实数 a,使得函数 y=sin2x+acos x+ a- 在闭区间? ?0,2?上的最 8 2 大值是 1?若存在,求出对应的 a 值?若不存在,试说明理由. 1 a2 5 1 cos x- a?2+ + a- , [尝试解答] y=-? 2 ? 4 8 ? 2 π 当 0≤x≤ 时,0≤cos x≤1,令 t=cos x,则 0≤t≤1, 2 1 a2 5 1 t- a?2+ + a- ,0≤t≤1. ∴y=-? ? 2 ? 4 8 2 a a a 当 0≤ ≤1,即 0≤a≤2 时,则当 t= ,即 cos x= 时. 2 2 2 a2 5 1 3 ymax= + a- =1,解得 a= 或 a=-4(舍去). 4 8 2 2 a 当 <0,即 a<0 时,则当 t=0,即 cos x=0 时, 2 5 1 12 ymax= a- =1,解得 a= (舍去). 8 2 5 a 当 >1,即 a>2 时,则当 t=1,即 cos x=1 时, 2

5 3 20 ymax=a+ a- =1,解得 a= (舍去). 8 2 13 3 综上知,存在 a= 符合题意. 2


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