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3.1.2空间向量及其运算


3. 1.2 空间向量及其运算(2)
教学目标:1.理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论; 2.掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式. 教学重、难点:共线 、共面定理及其应用. 教学过程: (一)复习:空间向量的概念及表示; (二)新课讲解: 1.共线(平行)向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合, 则这些向量叫做共线向量或 平行向量。读作: a 平行于 b ,记作: a // b . 2.共线向量定理: 对空间任意两个向量 a, b (b ? 0), a // b 的充要条件是存在实数 ? , 使 a ? ?b ( ? 唯一) . 推论:如果 l 为经过已知点 A ,且平行于已知向量 a 的直线,那么对 任一点 O ,点 P 在直 线 l 上的充要条件是存在实数 t ,满足等式 OP ? OA ? t AB ①,其中向量 a 叫做直线 l 的方 向向量。在 l 上取 AB ? a ,则①式可化为 OP ? OA ? t AB 或 OP ? (1 ? t )OA ? tOB ②

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P

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??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 当 t ? 时,点 P 是线段 AB 的中点,此时 OP ? (OA ? OB ) ③ 2 2 ①和②都叫空间直线的向量参数方程,③是线段 AB 的中点公式.
3.向量与平面平行:

l B

A

已知平面 ? 和向量 a ,作 OA ? a ,如果直线 OA 平行于 ? 或在 ? 内,那么我们说向 量 a 平行于平面 ? ,记作: a // ? . 通 常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量. 说明:空间任意的两向量都是共面的. 4.共面向量定理:

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O

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? a

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如 果 两 个 向 量 a, b 不 共 线 , p 与 向 量 a, b 共 面 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数 x , y 使

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? ? ? p ? xa ? yb .
推论:空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对 x , y ,使

???? ???? ???? ??? ? ???? ? ???? ???? 或对空间任一点 O ,有 OP ? OM ? xMA ? yMB ① MP ? xMA? yMB
上面①式叫做平面 MAB 的向量表达式. (三)例题分析: 例 1.已知 A, B, C 三点不共线 ,对平面外任一点,满足条件 OP ? 试判断:点 P 与 A, B, C 是否一定共面?

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? 2 ??? ? 2 ???? 1 ??? OA ? OB ? OC , 5 5 5

1

解:由题意: 5OP ? OA ? 2OB ? 2OC , ∴ (OP ? OA) ? 2(OB ? OP) ? 2(OC ? OP) , ∴ AP ? 2PB ? 2PC ,即 PA ? ?2PB ? 2PC , 所以,点 P 与 A, B, C 共面. 说明:在用共面向量定 理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候,首先要选择恰当 的充要条件形式,然后对照形式将已知条件进行转化运算. 【 练 习 】: 对 空 间 任 一 点 O 和 不 共 线 的 三 点 A, B, C , 问 满 足 向 量 式

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??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OP ? xOA ? yOB ? zOC (其中 x ? y ? z ? 1 )的四点 P, A, B, C 是否共面?
解:∵ OP ? (1 ? z ? y)OA ? yOB ? zOC , ∴ OP ? OA ? y(OB ? OA) ? z(OC ? OA) , ∴ AP ? y AB ? z AC ,∴点 P 与点 A, B, C 共面. 例 2.已知

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??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ???? ? ???? OE ? kOA, OF ? KOB, OG ? kOC, OH ? kOD ,
(1)求证:四点 E , F , G, H 共面; (2)平面 AC // 平面 EG . 解: (1) ∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AC ? AB ? AD , ∵ EG ? OG ? OE ,

? ABCD ,从平面 AC 外一点 O 引向量

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???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ? k ? OC ? k ? OA ? k (OC ? OA) ? k AC ? k ( AB ? AD) ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ? k (OB ? OA ? OD ? OA) ? OF ? OE ? OH ? OE ??? ? ???? ? EF ? EH
∴ E , F , G, H 共面; (2)∵ EF ? OF ? OE ? k (OB ? OA) ? k ? AB ,又∵ EG ? k ? AC , ∴ EF // AB, EG // AC 所以,平面 AC // 平面 EG . 课堂练习: 课堂小结:1.共线向量定理和共面向量定理及其推论; 2.空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式.
2

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作业: 1.已知两个非零向量 e1 , e2 不共线,如果 AB ? e1 ? e2 , AC ? 2e1 ? 8e2 , AD ? 3e1 ? 3e2 , 求证: A, B, C , D 共面. 2.已知 a ? 3m ? 2n ? 4 p, b ? ( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp , a ? 0 ,若 a // b ,求实数 x , y 的值。 3.如图, E , F , G, H 分别为正方体 AC1 的棱 A1B1 , A1D1 , B1C1 , D1C1 的中点, 求证: (1) E , F , D, B 四点共面; (2)平面 AEF // 平面 BDHG . 4.已知 E , F , G, H 分别是空间四边形 ABCD 边 AB, BC, CD, DA 的中点, (1)用向量法证明: E , F , G, H 四点共面; (2)用向量法证明: BD // 平面 EFGH .

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3.1.2 空间向量及其运算(2)
课前预习学案 预习目标:1.理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论; 2.掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式 预习内容: ⑴怎样的向量叫做共线向量? ⑵两个向量共线的充要条件是什么? ⑶空间中点在直线上的充要条件是什么? ⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式? ⑸怎样的向量叫做共面向量? ⑹向量 p 与不共线向量 a、b 共面的 充要条件是什么? ⑺空间一点 P 在平面 MAB 内的充要条件是什么? 提出疑惑: 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 学习目标:1.理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论; 2.掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式. 学习重、 难点:共线、共面定理及其应用. 学习过程: 例 1.已知 A, B, C 三点不共线,对平面外任一点,满足条件 OP ? 试判断:点 P 与 A, B, C 是否一定共面? 【 练 习 】: 对 空 间 任 一 点 O 和 不 共 线 的 三 点 A, B, C , 问 满 足 向 量 式

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? 2 ??? ? 2 ???? 1 ??? OA ? OB ? OC , 5 5 5

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OP ? xOA ? yOB ? zOC (其中 x ? y ? z ? 1 )的四点 P, A, B, C 是否共面?
. 例 2.已知 ABCD ,从平面 AC 外一点 O 引向量

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ???? ? ???? OE ? kOA, OF ? KOB, OG ? kOC, OH ? kOD ,
(1)求证:四点 E , F , G, H 共面; (2)平面 AC // 平面 EG . 当堂检测:

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4

1、如图中,已知空间四边形 OABC,其对角线为 OB,AC,M,N 分别是对边 OA,BC 的 中点,点 G 在线段 MN 上,且分 所成的定比为 2,现用基向量 ( )

A.

B.

C. 2.下列命题正确的是

D. ( )

? ? ? ? ? ? ( A) 若 a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线; ? ?? ( B ) 向量 a, b, c 共面就是它们所在的直线共面; (C ) 零向量没有确定的方向; ? ? ? ? ( D) 若 a // b ,则存在唯一的实数 ? 使得 a ? ? b ;

3.已知 A、B、C 三点不共线,O 是平面 ABC 外的任一点,下列条件中能确定点 M 与点 A、 B、C 一定共面的是 ( )

( A) OM ? OA ? OB ? OC ( B ) OM ? 2OA ? OB ? OC 1 1 1 1 1 (C ) OM ? OA ? OB ? OC ( D) OM ? OA ? OB ? OC 2 3 3 3 3 ?? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? 4 .已知两个非零向量 e1 , e2 不共线,如果 AB ? e1 ? e2 , AC ? 2e1 ? 8e2 , AD ? 3e1 ? 3e2 ,
求证: A, B, C , D 共面. 课堂练习与提高: 1.已知 a ? 3m ? 2n ? 4 p, b ? ( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp , a ? 0 ,若 a // b ,求实数 x , y 的值。 2.如图, E , F , G, H 分别为正方体 AC1 的棱 A1B1 , A1D1 , B1C1 , D1C1 的中点, 求证: (1) E , F , D, B 四点共面; (2)平面 AEF // 平面 BDHG . 3.已知 E , F , G, H 分别是空间四边形 ABCD 边 AB, BC, CD, DA 的中点,

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(1)用向量法证明: E , F , G, H 四点共面; (2)用向量法证明: BD // 平面 EFGH .

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