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山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试 数学理


山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试

数学(理)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试用时 120 分钟。考试结束后将答题卡交回。

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅

笔涂写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上. 3.考试结束后,监考人员将答题卡和第Ⅱ卷的答题纸一并收回。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知 i 是虚数单位,复数 z ? ( x2 ?1) ? ( x ? 1)i 是纯虚数,则实数 x 的值为 A.—1 【答案】B B.1 C.±1 D.2

由题意知 x2 ?1 ? 0, x ? 1 ? 0 ,解得 x ? 1 ,选 B. 2.已知全集 U ? {0,1, 2,3, 4}, 集合A ? {1, 2,3}, B ? {2, 4}, 则(CU A) ? B 为 A.{4} 【答案】A B. ? C.{0,2,4} D.{1,3}

CU A ? {0, 4} ,所以 (CU A) ? B ? {4} ,选 A.
3. ?n ? N*, 2an?1 ? an ? an?2 ”是“数列 {an } 为等差数列”的 “ A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】C B.必要不充分条件 D.即不充分也不必要条件

由 ?n ? N*, 2an?1 ? an ? an?2 得 an?1 ? an ? an?2 ? an?1 ,所以任意相邻的两项只差相等,所 以数列 {an } 为等差数列,所以 ?n ? N*, 2an?1 ? an ? an?2 是“数列 {an } 为等差数列”的充 要条件,选 C. 4.若 (1 ? 3) 4 ? a ? b 3( a, b为有理数) ,则 a+b=

A.36 【答案】D 二
1 1? C4

B.46 项 式 的
2

C.34 展 开
2

D.44 式 为
3 所 ), ? 以

(

1

? C4 3

) ? C4

(

?

3

3

?(

4

a ? 2 8b, ?

1 6a ? b ? 28 ? 16 ? 44 ,选 D. ,

5 . 如 图 是 一 个 算 法 的 流 程 图 , 若 输 出 的 结 果 是 31 , 则 判 断 框 中 整 数 M 的 值 是

A.3 【答案】B

B.4

C.5

D.6

1 ? 2 A?1 ? ? 2 A?1 ? 1 , 由 2 A?1 ? 1= 3 1 本 程 序 计 算 的 是 S ? 1 ? 2 ? 2 ? ?2 , 即 S ? 得 1? 2
2 A

2 A?1 =32 ,解得 A ? 4 ,则 A ? 1 ? 5 时,条件不成立,所以 M ? 4 ,选 B.

?x ? 2 y ? 0 ? 6.设 z ? x ? y ,其中实数 x,y 满足 ? x ? y ? 0 , 若 z 的最大值为 6,则 z 的最小值为 ?0 ? y ? k ?
A.—3 【答案】A B.—2 C.—1 D.0

由 z ? x ? y 得 y ? ? x ? z ,作出 ?

?x ? 2 y ? 0 , 的区域 BCD,平移直线 y ? ? x ? z ,由图象可 ?x ? y ? 0 ?y ? x ?x ? 3 解得 ? , 所以 k ? 3 , ? y ? ?x ? 6 ?y ? 3

知当直线经过 C 时, 直线的截距最大, 此时 z ? 6 , ? 由

解得 B(?6,3) 代入 z ? x ? y 的最小值为 z ? ?6 ? 3 ? ?3 ,选 A. 7.一张储蓄卡的密码共有 6 位数字,每位数字都可从 0—9 中任选一个,某人在银行自动提 款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,如果他记得密码的最后一位是偶数,则他 不超过 2 次就按对的概率是 A.

4 5`

B.

3 5

C.

2 5

D.

1 5

【答案】C 只按一次就按对的概率是 概率是

1 4 ?1 1 ? ,所以不超过 2 次就按对的 。按两次就按对的概率是 5 5? 4 5

1 1 2 ? ? ,选 C. 5 5 5
) 3。 cm

8. 一个几何体的三视图如图所示, 其中的长度单位为 cm, 则该几何体的体积为 ( A.18 B.48

C.45 【答案】D

D.54

由三视图可知, 该几何体时底面是矩形的四棱柱, 以俯视图为底, 底面直角梯形的上底为 4, 下底为 5,高为 3.棱柱的高为 4,所以四棱柱的体积为

4?5 ? 3 ? 4 ? 54cm3 ,选 D. 2

9.若 y ? f ( x) 既是周期函数,又是奇函数,则其导函数 y ? f '( x) A.既是周期函数,又是奇函数 C.不是周期函数,但是奇函数 【答案】B B.既是周期函数,又是偶函数 D.不是周期函数,但是偶函数

因 为 y ? f ( x ) 是 周 期 函 数 , 则 有 f ( x ? T ) ? f ( x) , 两 边 同 时 求 导 , 得

f '( x ? T )( x ? T ) ' ? f '( x) ,即 f ( x ? ) ?f ( x) ' T '

, 所以导函数为周期函数。 因为 y ? f ( x)

( ? 是 奇 函 数 , 所 以 f (? x) ? ? f ( x) 两 边 求 导 得 f ' ? x )?( x ) ' ? f , ? f ' (? x ) ? ? ' ,所以 f '(? x) ? f '( x) ,即导函数为偶函数,选 B. f ( ) x

x ' , (即 )

10.已知函数 f ( x) ? x ? 1 的定义域为 [a, b](a ? b) ,值域为[1,5],则在平面直角坐标系
2

内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积是

A.8 【答案】C

B.6
2

C.4

D.2

由 f ( x) ? x2 ? 1 ? 5 , x ? 4 , x ? ?2 。 得 即 故根据题意得 a, 的取值范围为:?2 ? a ? 0 b 且 b ? 2 或者 0 ? b ? 2 且 a ? ?2 ,所以点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一

个边长为 2 的正方形面积为 4,选 C.

x2 y 2 11.设 F1,F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,若双曲线右支上存在 a b
一点 P,使 (OP ? OF2 ) ? F2 P ? 0 ,O 为坐标原点,且 | PF |? 3 | PF2 | ,则该双曲线 1 的离心率为 A. 3 ? 1 【答案】A 由 (OP ? OF2 ) ? F2 P ? 0 得 (OP ? OF2 ) ? (OP ? OF2 ) ? 0 , 即 OP ? OF2 B.

??? ???? ???? ? ? ?

????

???? ?

3 ?1 2

C. 6 ?

2

D.

6? 2 2

??? ???? ???? ? ? ?

??? ???? ? ?

??? ???? ? ?

??? 2 ?

???? 2 ?

? 0 ,所以

??? ? ???? ? OP ? OF2 ? c , 所以△PF1F2 中, F1F2 上的中线等于|F1F2|的一半, 边 可得 PF1 ? PF2 ,
所 以 PF 2 ? PF2 2 ? 4c 2, 又 | PF |? 3 | PF2 | , 解 得 PF ? 3c, PF2 ? c , 又 1 1 1

????

???? ?

PF1 ? PF2 ? 3c ? c ? 2a , 所 以
3 ? 1 ,选 A.

c 2 ? ? 3 ?1 , 所 以 双 曲 线的离 心 率 为 为 a 3 ?1

12.设函数 f ( x) ? x4 ? ax(a ? 0) 的零点都在区间[0,5]上,则函数 g ( x) ?

1 与函数 x

h( x) ? x3 ? a 的图象的交点的横坐标为正整数时实数 a 的取值个数为
A.3 【答案】B B.4 C.5 D.无穷个

f ( x) ? x4 ? ax ? x( x3 ? a) ? 0 ,解得 x ? 0 或 x ? 3 a ,即函数的零点有两个,要使零点都
在区间[0,5]上,则有 0 ?
3

a ? 5 ,解得 0 ? a ? 125 。由 h( x) ? g ( x) 得 x 3 ? a ?

1 ,即 x

x 4 ? ax ? 1 有正整数解。设 m( x) ? x4 ? ax ,当 x ? 1 时, m(1) ? 1? a ? 1,解得 a ? 0 ,
不成立。当 x ? 2 时, m(2) ? 24 ? 2a ? 16 ? 2a ? 1 ,解得 a ?

15 ? 125 成立。当 x ? 3 时, 2

m(3) ? 34 ? 3a ? 81 ? 3a ? 1 , 解 得 a ? m( 5? ) 4 ? a ? 5 5 m( 6? ) 4 ? a 6 6 ?

255 ? 125 成 立 。 当 x ? 5 时 , 4 624 ? 125 成 立 。 当 x ? 6 时 , 6 a2 , ?解 5 得 a1? ? 5 5 1295 1 ?a ,解得 a6? 2 9 6 ? 1 ? 125 ,不成立。所以满足条件的实数 a 6

的取值为 2,3,4,5,共有 4 个。选 B.

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
注意事项:第 II 卷所有题目的答案须用 0.5mm 黑色签字笔答在“答题纸”指定的位 置上. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.某课题组进行城市空气质量调查,按地域把 24 个城市分成甲、乙、丙三组,对应城市 数分别为 4、12、8.若用分层抽样抽取 6 个城市,则甲组中应抽取的城市数为____. 【答案】1 甲组中应抽取的城市数为

6 ? 4 ? 1 个。 24


14.函数 f ( x) ?| x ? 2011| ? | x ? 2012 | ? | x ? 2013 | ( x ? R) 的最小值为 【答案】2 当 x ? 2011 时 ,

f ( x? ? ( x ? 2 0 1 1 ) ? ( ) ? x (x ? 2 0 1 1x? ( ? )

2 x0 1? 2 ) ? 2 0x 1?2 ) ?

(? x ? ; 0?1 3 ) 2 当 ( ? x 2 0?1 当 ) ? ; 3

3

6

2 0 1 x? ? 1 2 0 1 2? ?x

2时 , 2 ( x) 0 1 f ?

2 0 1 4

2 0 1f 3x) ? ( x ? 2011) ? ( x ? 2012) ? ( x ? 2013) ? x ? 2010 ; 时, (

? 当 x ? 2013 时 , f ( x)? ( x 2 0 1?1 )x ? (

2 ? 1 2?) 0 x

(

?2x0 1 3 ) 所 3 当 6 0 3 6 ?。 以

x ? 2011 时, f ( x) ? ? 3x ? 6036? 3 ;当 2011? x ? 2012 时, 2 ? ?x ? 2014 ? 3 。当
2012? x ? 2013 , 2 ? x ? 2 0 1 0? ; 当 x ? 2013 时 , 3x ? 6 0 3 6 3 ? 时 3 。综上函数

f ( x) ?| x ? 2011| ? | x ? 2012 | ? | x ? 2013 | ( x ? R) 的最小值为 2.
15.如图,将边长为 1cm 的正方形 ABCD 的四边沿 BC 所在直线 l 向右滚动(无滑动) ,当正 方形滚动一周时,正方形的顶点 A 所经过的路线的长度为 cm.

【答案】

2 ? ?? 2 1 1 2 2cm 滚动一周的路程是: ? 2? ( 2) ? ? 2? ? 2 ? ? ?? 。 4 4 2

AB=1cm,所以 AC= AC ?

16.设 y ? f (t ) 是某港口水的深度 y(米)关于时间 t(时)的函数,其中 0≤t≤24.下表 是该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系:

经长期观察, 函数 y=f t) ( 的图象可以近似地看成函数 y ? h ? A sin(? x ? ? ) 的图象. 最 能近似表示表中数据间对应关系的函数是 【答案】 y ? 5.0 ? 2.5sin 。

?
6

t 2?

由数据可知函数的周期 T ? 12 ,又 T ? 12 ?

?

,所以 ? ?

?
6

。函数的最大值为 7.5 ,最

h . 解 A 小 值 为 2 . 5, 即 h ? A ?7 . 5 , ? A ? 2, 5 得 h ? 5 . 0 , ?
y ? f( x ? 5 . 0 ) ? s i n ( ? ? ?) 2 2 . 5 s it? (, 又 y)? f ( 3 ? n ? ) 6

2,5 以 函 数 为 . 所

?

5? 0 .

?

2 . 5 ? i ? ?( ? 3 , ) 以 . 5 s n 所 7 6

?

? o s ,即1 ? 2k? , k ? Z ,所以最能近似表示表中数据间对应关系的函数 c? ?

是 y ? 5.0 ? 2.5sin

?
6

t。

三、解答题:本大题共 6 小题.共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 3 sin2A=1-cos2A。 (1)求角 A 的值; (2)若 a ? 1, B ?

?
4

,求 b 的值。

18. (本小题满分 12 分) 在某社区举办的《2013 年迎新春知识有奖问答比赛》中,甲、乙、丙三人同时回答一 道有关过年知识的问题,已知甲回答对这道题的概率是

3 ,甲、丙二人都回答错的概率是 4

1 1 ,乙、丙二人都回答对的概率是 . 12 4
(1)求乙、丙二人各自回答对这道题的概率;

(2)设乙、丙二人中回答对该题的人数为 X,求 X 的分布列和数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图所示的几何体中, ABCD 是等腰梯形, AB//CD, ACFE 是矩形, 平面 ACFE⊥平面 ABCD, AD=DC=CB=CF=a,∠ACB=

? 。 2

(1)若 M ? EF , AM //平面 BDF,求 EM 的长度; (2)求二面角 B—EF—C 的平面角 ? 的大小。

20. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 中, a1 ? 1,{an }的前 n 项和 Sn 满足 2Sn ? an?1 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若存在 n ? N * ,使得 ? ?

n(n ? 1) ,求实数 ? 的最大值。 an

21. (本小题满分 12 分) 某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 30 元,并且每件产品须向总公司缴纳 a 元(a 为常数,2≤a≤5)的管理费,根据多年的统计经验,预计当每件产品的售价为 x 元时,产品一年的销售量为

k (e 为自然对数的底数)万件,已知每件产品的售价为 ex

40 元时,该产品一年的销售量为 500 万件.经物价部门核定每件产品的售价 x 最低不 低于 35 元,最高不超过 41 元. (1)求分公司经营该产品一年的利润 L(x)万元与每件产品的售价 x 元的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,该产品一年的利润 L(x)最大,并求出 L(x)的 最大值.

22. (本小题满分 14 分)

已知椭圆 C:

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,⊙ O : x2 ? y 2 ? b2 ,点 A,F 分别是椭圆 C 的 2 a b

左顶点和左焦点,点 P 是 ⊙O 上的动点。 (1)若 P(?1, 3) ,PA 是⊙O 的切线,求椭圆 C 的方程; (2)是否存在这样的椭圆 C,使得 心率 e;如果不存在,说明理由。

| PA | 恒为常数?如果存在,求出这个数及 C 的离 | PF |


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