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高一数学必修1-4(1)综合测试题3


高一数学必修 1-4 综合测试题
一、选择题:本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. sin(?225 ) 的值是
?





A.

2 2

B. ?

2 2<

br />
C.

1 2

D.

3 2


2.若直线经过 A (2 A.45°

3 , 9)、B(4
B.60°

3 , 15)两点, 则直线 A B 的倾斜角是(
D.135°

C.120°

3.幂函数

? 1? f ( x) 的图象过点 ? 4, ? ,那么 f (8) 的值为 ? 2?
1 64





A.

2 4

B. 64

C.

2 2

D.

4.为了得到函数 A.向左平移

y ? sin( 2 x ?

?
4

) 的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象上所有的点(



? 个单位长度 4 ? C.向左平移 个单位长度 8
1)若 ?

? 个单位长度 4 ? D.向右平移 个单位长度 8
B.向右平移

5.已知两直线 m、n,两平面 α、β,且 m ? ? , n ?

? .下面有四个命题(
// ? ;

)

// ? , 则有m ? n ;

2) 若m ? n, 则有? 4) 若?

3) 若m // n, 则有?

?? ;

? ? , 则有m // n .

其中正确命题的个数是 A.0 6.若直线 l1 A. ? 3 B.1 C.2 D.3

: ax ? (1 ? a) y ? 3 ? 0 与直线 l 2 : (a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 ? 0 互相垂直,则 a 的值是
B. 1 C. 0 或 ?

3 2

D. 1 或 ? 3

7.有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位 cm ) ,则该几何体的表面积及体积为: A. 24? cm , 12? cm
2 2 3

B. 15? cm , 12? cm
2

3

5

5 6 正视图

5 6 侧视图

5

C. 24? cm , 36? cm 8.设函数
x

3

D.以上都不正确
2

f ( x) ? 3 ? x

,则函数

f ( x) 有零点的区间是

A. C.

?0,1?
??2, ?1?

B.

?1, 2?
??1,0?
俯视图

D.

1

9.

3 名学生排成一排,其中甲、乙两人站在一起的概率是 A.

2 3

B.

1 2

C.

1 3

D.

1 6


10. 已知函数 A.

f ? x ? ? 2x2 ? mx ? 5 , m ? R ,它在 (??, ?2] 上单调递减,则 f ?1? 的取值范围是(
B.

f (1) ? 15

f (1) ? 15
B.②④

C.

f (1) ? 15
C.①③

D.

f (1) ? 15
D.③④

A.①②

第Ⅱ卷(非选择题 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 11.函数

共 75 分)

f ( x) ?

1 的定义域是_________ log 2 (1 ? x)



12.过点(1,0)且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是



13. 在区间 [?2,3] 上任取一个实数,则该数是不等式 x 14.已知函数

2

? 1 解的概率为

.

y ? log a ( x ? 3) ?

8 x ( a ? 0, a ? 1 )的图像恒过定点 A,若点 A 也在函数 f ( x) ? 3 ? b 的图像上,则 9

b=



15.已知曲线 y=Asin(?x+?)+k (A>0,?>0,|?|<π )在同一周期内的最高点的坐标为 (
? 5? , 4),最低点的坐标为( , -2),此曲线的函数表达式是 8 8
4



? 16.关于下列命题:①函数 y ? tan x 在第一象限是增函数;②函数 y ? cos 2( ? x) 是偶函数;
? ? ? ? ③函数 y ? 4 sin(2 x ? ) 的一个对称中心是( ,0) ;④函数 y ? sin(x ? ) 在闭区间 [? , ] 上是增函数; 写 2 2 3 4 6 出所有正确的命题的题号: 。

?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N、G 分别是 A1A,D1C,AD 的中点.求证: (Ⅰ)MN//平面 ABCD; (Ⅱ)MN⊥平面 B1BG.

A1 B1 M

D1 C1 N

A

G

D C

B

2

18. (本小题满分 12 分) 做投掷 2 颗骰子试验,用(x,y)表示点 P 的坐标,其中 x 表示第 1 颗骰子出现的点数,y 表示第 2 颗骰子出现的 点数. (I)求点 P 在直线 y = x 上的概率; (II)求点 P 不在直线 y = x + 1 上的概率; (III)求点 P 的坐标(x,y)满足 16 ?

x 2 ? y 2 ? 25的概率.

19.求函数 y=- cos x + 3 cos x + 函数有最大值和最小值。

2

5 的最大值及最小值,并写出 x 取何值时 4

20. (本小题满分 12 分) 设 x∈R,函数

f ( x) ? cos(?x ? ? )(? ? 0,?

?

? 3 ? ? ? 0)的最小正周期为 ? , 且f ( ) ? . 2 4 2

(I)求 ?和? 的值; (II)在给定坐标系中作出函数

f ( x)在[0, ? ] 上的图象;

(III)若

f ( x) ?

2 , 求x 的取值范围. 2

21.(本小题满分 14 分)已知函数 性;

f ( x) ?

1 1? x ? log 2 x 1? x

, (Ⅰ)求

f ( x) 的定义域; (Ⅱ)判断并证明 f ( x ) 的奇偶

3

参考答案及评分标准

一、选择题:ABADB CDADA CC
二、填空题:13. {x | 三、解答题: 17. 解: (I) cos ? a ? b

x ? 1且x ? 0}

14. x ? 2 y ? 1 ? 0

15.

? 5

16. ?1

?

a?b ?1? 2 1 10 ????6 分 ? ? ? |a|?|b| 1? 4 ? 1?1 10 10
, ????10 分

(II) | a ? tb |

1 9 ? 2(t ? ) 2 ? 2 2

当t

1 9 3 2 ? ? 时, | a ? tb | 取最小值 ? . 2 2 2

????12 分

18、证明: (Ⅰ)取 CD 的中点记为 E,连 NE,AE. 由 N,E 分别为 CD1 与 CD 的中点可得 NE∥D1D 且 NE=

A1 B1 M

D1 C1 N

1 D1D, ????????????2 分 2 1 D1D????????????4 分 2

又 AM∥D1D 且 AM=

A

G

D C

所以 AM∥EN 且 AM=EN,即四边形 AMNE 为平行四边形 所以 MN∥AE, (Ⅱ)由 AG=DE 又 AE ? 面 ABCD,所以 MN∥面 ABCD??6 分 , ?BAG ? ?ADE ? 90? ,DA=AB

B

可得 ?EDA 与 ?GAB 全等???????????8 分 所以 ?ABG ? ?DAE , 又 ?DAE ? ?AED ? 90?,?AED ? ?BAF ,所以 ?BAF ? ?ABG ? 90?, 所以 AE ? BG , 又 BB1 ? AE ,所以 AE ? 面B1 BG , 又 MN∥AE,所以 MN⊥平面 B1BG 19.解: (Ⅰ)设 ?????????????12 分 ??????????????????10 分

f ? x ? ? kx ? b ,????????????2 分

则?

?60 ? 30k ? b ?k ? ?3 ,解得: ? ????????????5 分 30 ? 40 k ? b b ? 150 ? ?
检验成立。????????????6 分

?f ? x ? ? ?3x ?150,30 ? x ? 50
(Ⅱ) P ?

? x ? 30? ? ? ?3x ?150? ? ?3x2 ? 240x ? 4500,30 ? x ? 50 ?????9 分
4

对称轴x ? ?

240 ? 40 ? ?30,50? ????????????11 分 2 ? ? ?3?

? 当销售单价为 40 元时,所获利润最大。????????????12 分
20.(本小题满分 12 分) 解:每颗骰子出现的点数都有 6 种情况,所以基本事件总数为 6×6=36 个. (I)记“点 P 在直线 y = x 上”为事件 A,则事件 A 有 6 个基本事件, 即 A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},

? P ( A) ?

6 1 ? . 36 6

????4 分

(II)记“点 P 在直线 y = x + 1 上”为事件 B,则“点 P 在直线 y = x + 1 上”为事件 B ,其中事件 B 有 5 个基本事件. 即B

? {(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6)},
5 31 ? . 36 36
????8 分

? P( B) ? 1 ? P( B) ? 1 ?

(III)记“点 P 坐标满足 16 ?

x 2 ? y 2 ? 25”为事件 C,则事件 C 有 7 个基本事件.

即 C = {(1,4),(2,4),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},

? P (C ) ?

7 . 36 ? 2? ?? ,

????12 分

21. (本小题满分 12 分) 解: (I)周期 T

?? ? 2 ,

?

????2 分

? ? ? 3 ? f ( ) ? cos(2 ? ? ? ) ? cos( ? ? ) ? ? sin ? ? , 4 4 2 2
??

?

2

? ? ? 0,

?? ? ?
(II)?

?
3

.

????4 分

f ( x) ? cos( 2 x ?

?
3

) ,列表如下:
0

2x ?
x

? 3

?

?
3
0

? 2
5 ? 12
0

π

3 ? 2 11 ? 12
0

5 ? 3
π

? 6
1

2 ? 3
-1

f(x) 图象如图:

1 2

1 2

5

????8 分 (III) cos(2 x ?

?
3

)?

2 2



? 2k? ? 2k? ? k? ?

?
4

? 2x ?

?
3

? 2k? ?

?
4

????10 分

?
12

? 2 x ? 2k? ?

?

7 ?, 12
????11 分

24

? x ? k? ?

7 ,k ? Z , 24

? x的范围是 {x | k? ?

?

24

? x ? k? ?

7 ? , k ? Z}. 24

????12 分

22 解: (Ⅰ)函数

? x ? 0, ? f ( x) 有意义,需 ?1 ? x ????????????4 分 ? 0, ? ?1 ? x
x ?1且 x ? 0 ,

解得 ?1 ?

∴函数定义域为 (Ⅱ)函数

? x ?1 ? x ? 0或0 ? x ? 1? ;????????????6 分

f ( x) 为奇函数,????????????????????8 分
?????12 分 ????????????????? 14 分

∵f(-x)=

1 1? x 1 1? x f (? x) ? ? ? log 2 ? ? ? log 2 ? ? f ( x) , x 1? x x 1? x

又由(1)已知

f ( x) 的定义域关于原点对称,∴ f ( x) 为奇函数;

6


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