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厦门外国语学校2014届高三校适应性考试数学(文科)试卷


厦门外国语学校
2014 届高三校适应性考试数学(文科)试卷
(测试时间 120 分钟,满分 150 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填涂 在答题卡上) 1.若 log0.5 x ? 1 ,则 x 的取值范围是 ( ▲ ) D. (0, )

1 1 1 B.

( , ??) C. ( ,1) 2 2 2 2 2. 设条件 p : a ? a ? 0 , 条件 q : a ? 0 ; 那么 p是q 的
A. (??, )

1 2

( ▲ ) A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 已知函数 f ( x) 与 g ( x) 的图像在 R 上不间断,由下表知方程 f ( x) ? g ( x) 有实数解的区间是( ▲ ) x 0 1 2 3 -1 f(x) 3.011 5.432 5.980 7.651 -0.677 g(x) 3.451 4.890 5.241 6.892 -0.530 A.(-1,0) 4. 已知复数 z 满足 A. 2 i B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) ( ▲ )

z?2 ,则 z 为 ? i (其中 i 是虚数单位) z?2 B. i C. ? 2 i D. ?i

5. 投掷一枚正方体骰子(六个面上分别标有 1,2,3,4,5,6),向上的面上的数字记为 a ,又 n( A) 表示集合的元素 个数, A ? x || x ? ax ? 3 |? 1, x ? R ,则 n( A) ? 4 的概率为
2

?
1 2

?

( ▲ )

A.

B.

1 3
2

C.

1 4

D.

1 6

6. 数列 ?an ? 中, a n ?1 ?

an 已知该数列既是等差数列又是等比数列,则该数列的前 20 项的和等于 2a n ? 5
C Q B P

A.100 B.0 或 100 C.100 或-100 D.0 或-100 ( ▲ ) 7. 如图, PQ 是半径为 1 的圆 A 的直径,△ABC 是边长为 1 的正三角形,则

BP ? CQ 的最大值为
A.

( ▲ )
A

1 2

B.

1 4

C .1

D.2

8.设 D ? {( x, y) | ( x ? y)( x ? y) ? 0}, 记“平面区域 D 夹在直线 y ? ?1 与 y ? t (t ?[?1,1]) 之间的部分的 面积”为 S ,则函数 S ? f (t ) 的图象的大致形状为( ▲ )

9.已知 ? 、 ? 是两个平面,l 是直线,下列条件:① l ? ? ,② l // ? ,③ ? ? ? .若以其中两个作为条件,另 一个作为结论,则构成的命题中,真命题的个数为 ( ▲ ) A.3 个 B.2 个 C.1 个 D .0 个

(?2 ? x ? 0) ?kx ? 1, ? 10. 函数 y ? ? 8? 的图象如下图,则( ▲ ) 2 sin(?x ? ? ), (0 ? x ? ) ? 3 ? 1 1 ? A、 k ? , ? ? , ? ? 2 2 6 1 1 ? B、 k ? , ? ? , ? ? 2 2 3 1 ? C、 k ? ? , ? ? 2, ? ? 2 6 ? D、 k ? ?2, ? ? 2, ? ? 3

x2 11. 抛物线 C1: x2=2py (p>0) 的焦点与双曲线 C2: -y2=1 的左焦点的连线交 C1 于第二象限内的点 M. 若 3 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p= A. 3 16 B. 3 8 2 3 C. 3 4 3 D. 3 ( ▲ )

12. 设 函 数 f ( x ) 在 (0, ??) 内 有 定 义 , 对 于 给 定 的 正 数 k , 定 义 函 数 f k ( x) ? ?

ln x ? 1 ,且恒有 f k ( x) ? f ( x) ,则( ▲ ) ex 1 1 A. k 的最大值为 B. k 的最小值为 C. k 的最大值为 2 e e f ( x) ?
二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
13. 圆心在曲线 y ? ? 14. 已知 ? ? ? ?

? f ( x), f ( x) ? k 。若 ?k , f ( x) ? k

D. k 的最小值为 2

3? , 则 (1 ? tan? )(1 ? tan ? ) ? ▲ . 4 15. 已 知 f ( x) 定 义 域 为 (0 , + ? ) , f '( x ) 为 f ( x) 的 导 函 数 , 且 满 足 f ( x) ? ? xf '( x) , 则 不 等 式

3 ( x ? 0) 上, 且与直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 相切的面积最小的圆的方程是 x





f ( x ? 1) ? ( x ?1) f ( x2 ?1) 的解集是
16. 有一个奇数组成的数阵排列如下:





则第 30 行从左到右第 3 个数是





三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 随着工业化以及城市车辆的增加,城市的空气污染越越严重,空气质量指数 API 一直居高不下,对人体的 呼吸系统造成了严重的影响.现调查了某市 500 名居民的工作场所和呼吸系统健康,得到 2 ? 2 列联表如 下: 室外工作 有呼吸系统疾病 无呼吸系统疾病 合计 (Ⅰ)补全 2 ? 2 列联表; (Ⅱ)你是否有 95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关; (Ⅲ)现采用分层抽样从室内工作的居民中抽取一个容量为 6 的样本,将该样本看成一个总体,从中 随机的抽取两人,求两人都有呼吸系统疾病的概率. 200 150 100 室内工作 合计

n(ad ? bc)2 参考公式与临界值表:K = (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

P(K2≥k0) k0

0.100 2.706

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.001 10.828

18.(本小题满分 12 分) 一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下,每天销售量为 b 件,经市场调查后 发现如下规律:若对产品进行电视广告的宣传,每天的销售量 S (件)与电视广告 每天的播放量 n (次)的关系可用如图所示的程序框图来体现. (Ⅰ)试写出该产品每天的销售量 S (件)关于电视广告每天的播放量 n (次)的 函数关系式; (Ⅱ)要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加 90% ,则每 天电视广告的播放量至少需多少次?

19. (本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 是梯形,四边形 CDEF 是矩形,且平面 ABCD ⊥平面

CDEF ,?BAD ? ?CDA ? 90? , AB ? AD ? DE ? CD ? 2 ,M 是线段 AE 上
的动点. (Ⅰ)试确定点 M 的位置,使 AC ∥平面 MDF ,并说明理由; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求平面 MDF 将几何体 ADE ? BCF 分成的两部分的 体积之比.

1 2

20.(本小题满分 12 分) 已知动圆过定点 F (0, 2) ,且与定直线 L : y ? ?2 相切. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程; (Ⅱ)若 AB 是轨迹 C 的动弦,且 AB 过 F (0, 2) , 分别以 A 、 B 为切点作轨迹 C 的切线 设两切线交点 为 Q,证明: AQ ? BQ .

21.(本小题满分 14 分) 在△ABC 中,已知三边 a、b、c 成等比数列. (Ⅰ)求角 B 的最大值; (Ⅱ)若 B=

π π ,求 sin( 2 A ? )的值. 4 4

22.(本小题满分 14 分) 已知 m, t ? R ,函数 f ( x) ? ( x ? t )3 ? m . (Ⅰ)当 t ? 1时, (1)若 f (1) ? 1 ,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? x3 ? 1 在区间 [1, 2] 上有解,求 m 的取值范围; (Ⅱ) 已知曲线 y ? f ( x) 在其图象上的两点 A( x1 , f ( x1 )) ,B( x2 , f ( x2 )) ( x1 ? x2 ) 处的切线分别为 l1 , l2 . 若 直线 l1 与 l2 平行,试探究点 A 与点 B 的关系,并证明你的结论.

班级 班级座号 考号 姓名_________________ ???????????????装???????????????订?????????????线?????????????????

考场座位号

厦门外国语学校
2014 届高三校适应性考试数学(文科)答题卷
(测试时间 120 分钟,满分 150 分)
一、选择题: (共 10 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题: (共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分) 13. . 14. .15. 16.

三、解答题: (共 6 小题,满分 74 分) 17. (本小题满分 12 分) 解:

18. (本小题满分 12 分) 解:

19. (本小题满分 12 分) 解:

20. (本小题满分 12 分) 解:

21. (本小题满分 12 分) 解:

22. (本小题满分 14 分)

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2014 届高三校适应性考试数学(文科)试卷参考答案
一.选择题: 1--5 DBBCB 6--10 AACCA 11--12 DB

小题详解 5. 答案:

1 3

解析:由 n( A) ? 4 知 , 函数 y ?| x 2 ? ax ? 3 | 和 y ? 1 的图像有四个交点 ,所以

12 ? a 2 ? ?1 , , 所以 a 的取值是 5, 6 . 又因为 a 的取值可能是 6 种 , 故概率是 y ? x ? ax ? 3 的最小值 4
2

2 1 ? 。 6 3
1 解析:由图可知 BP ? AP ? AB , CQ ? AQ ? AC , 2 1 从而 BP ? CQ ? ?1 ? AP ? AC ? AQ ? AB ? ,记 ?BAP ? ? , 2 1 1 则 BP ? CQ ? ? cos(? ? 60?) ? cos(180 ? ? ? ) ? ? sin(? ? 30 ?) ? 2 2 1 故当 ? ? 60? 时, BP ? CQ 的最大值为 。 2
7. 答案: 二.填空题: 13.

3? 2 ? x ? 2? ? ? ?y? ? ?9 2? ?

2

14.2

15. (2,+ ? )

16. 1051

三、解答题 17. 解: (Ⅰ)列联表如下 室外工作 有呼吸系统疾病 无呼吸系统疾病 合计 150 50 200 室内工作 200 100 300 合计 350 150 500

·································· 4 分

(Ⅱ)

, ······· 7 分

所以有 95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关. ············ 8 分 (Ⅲ) 采用分层抽样从室内工作的居民中抽取 6 名进行座谈, 有呼吸系统疾病的抽 4 人, 记为 A、 B、 C、D,无呼吸系统疾病的抽 2 人,记为 E、F,从中抽两人,共有 15 种抽法,A=“从中随机的抽取两人, 两人都有呼吸系统疾病”有 6 种,P(A)=2/5. 12 分

18.(Ⅰ)设电视广告播放量为每天 i 次时,该产品的销售量为 S i ( 0 ? i ? n, i ? N ).

?b, i ? 0 ? 由题意知, Si ? ? ······· b Si ?1 ? i ,1 ? i ? n, i ? N * ? 2 ?
于是当 i ? n 时, Si ? b ? ( ?

4分

b 2

b b 1 ? ??? ? n ) ? b(2 ? n ),(n ? N ) 。 2 2 2 2
1 ),(n ? N ) . 2n

所以该产品的销售量 S (件)与电视广告播放量 n (次 / 天)的函数关系式为 S ? b(2 ? ······················· (Ⅱ)由题意,有 b(2 ? 7分

1 ) ? 1.9b ? 2n ? 10 ? n ? 4(n ? N * ) , n 2

所以,要使该产品的销售量比不做电视广告时的销售量增加 90% ,则每天广告的播放量至少需要 4 次. 12 分 19. (Ⅰ)当 M 是线段 AE 的中点时,AC∥平面 MDF.证明如下: 连结 CE,交 DF 于 N,连结 MN, 由于 M、N 分别是 AE、CE 的中点,所以 MN∥AC,

AC 由于 MN ? 平面 MDF,又 AC ? 平面 MDF,
所以 AC∥平面 MDF. ················ 4 分 (Ⅱ)如图,将几何体 ADE-BCF 补成三棱柱 ADE-B?CF, 三棱柱 ADE-B?CF 的体积为 V ? S?ADE ? CD ? 则几何体 ADE-BCF 的体积

1 ? 2? 2? 4 ? 8 , 2

VADE ? BCF ? V三棱柱ADE ? BCF ? VF ? BB?C = 8 ? 1 ? ( 1 ? 2 ? 2) ? 2 ? 20 .
3 2 3 1 1 4 三棱锥 F-DEM 的体积 V 三棱锥 M-DEF= ? ( ? 2 ? 4) ?1 ? , 3 2 3 4 20 4 1 故两部分的体积之比为 : ( ? ) ? (答 1:4,4,4:1 均可) . ········ 12 分 20. (I)依题 3 3 3 4

意,圆心的轨迹是以 F (0, 2) 为焦点, L : y ? ?2 为准线的抛物线上??2 分

因为抛物线焦点到准线距离等于 4, 所以圆心的轨迹是 x ? 8 y ???????.5 分
2

(II)

直线AB与x轴不垂直, 设AB : y ? kx ? 2. A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ). ?????.6 分
x1 ? x2 ? 8k , x1 x2 ? ?16 ???8 分

? y ? kx ? 2, ? 2 由? 1 2 可得 x ? 8kx ? 16 ? 0 , y? x . ? 8 ?
抛物线方程为 y ?

1 2 1 x , 求导得 y ? ? x. 所以过抛物线上 A、B 两点的切线斜率分别是 8 4

k1 ?

1 1 x1 , k 2 ? x2 4 4

, k1 ? k2 ?

1 1 1 x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? ?1 4 4 16

所以, AQ ? BQ 21. ⑴∵ a , b, c 成等比数列,∴ b ? ac ,
2

根据余弦定理

cos B ?

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 1 a c 1 1 ? ? ( ? ? 1) ≥ ( 2 ? 1) ? ,?3 分 2 2 2ac 2ac 2 c a
π , 3

当且仅当 a ? c 时取等号,此时 B ?

因为余弦函数在 [0, ? ] 上是减函数,所以 0 ? B ? 故角 B 的最大值是
2

?
3

.

π ; 3
2

6分 , 8分

⑵ 由 b ? ac ,及正弦定理得 sin B ? sin A sin C ∵ B?

?
4

,∴ sin A sin(
2

3? 1 ? A) ? , 4 2

展开整理得 2sin A ? 2sin A cos A ? 2 , 即 1 ? cos 2 A ? sin 2 A ? 1 ? 2 sin(2 A ? ∴ sin(2 A ?

?
4

)? 2

10 分 12 分

?
4

)?

2? 2 . 2

22. (Ⅰ) (1)因为 f (1) ? 1 ,所以 m ? 1 ,
3

????????1 分

则 f ( x) ? ? x ?1? ? 1 ? x3 ? 3x2 ? 3x , 而 f ?( x) ? 3x2 ? 6 x ? 3 ? 3( x ? 1)2 ? 0 恒成立, 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 (??, ??) . ???????4 分 (2)不等式 f ( x) ? x 3 ? 1 在区间 [1, 2] 上有解, 即不等式 3x 2 ? 3x ? m ? 0 在区间 [1, 2] 上有解, 即不等式 m ? 3 x 2 ? 3 x 在区间 [1, 2] 上有解, 等价于 m 不小于 3 x 2 ? 3 x 在区间 [1, 2] 上的最小值. ?????6 分
1 3 因为 x ? [1, 2] 时, 3x2 ? 3x ? 3( x ? )2 ? ? ?0,6? , 2 4

所以 m 的取值范围是 [0, ??) .????????9 分 (Ⅱ).因为 f ( x) ? x3 的对称中心为 (0, 0) ,

而 f ( x) ? ( x ? t )3 ? m 可以由 f ( x) ? x3 经平移得到, 所以 f ( x) ? ( x ? t )3 ? m 的对称中心为 (t , m) ,故合情猜测,若直线 l1 与 l2 平行, 则点 A 与点 B 关于点 (t , m) 对称. 对猜想证明如下: 因为 f ( x) ? ? x ? t ? ? m ? x3 ? 3tx2 ? 3t 2 x ? t 3 ? m ,
3

????????10 分

所以 f ?( x) ? 3x2 ? 6tx ? 3t 2 ? 3( x ? t )2 , 所以 l1 , l2 的斜率分别为 k1 ? 3( x1 ? t )2 , k2 ? 3( x2 ? t )2 . 又直线 l1 与 l2 平行,所以 k1 ? k 2 ,即 ( x1 ? t )2 ? ( x2 ? t )2 , 因为 x1 ? x2 ,所以, x1 ? t ? ?( x2 ? t ) , ????????12 分 从而 ( x1 ? t )3 ? ?( x2 ? t )3 , 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? t )3 ? m ? ( x2 ? t )3 ? m ? ?( x2 ? t )3 ? m ? ( x2 ? t )3 ? m ? 2m . 又由上 x1 ? x2 ? 2t , 所以点 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) ( x1 ? x2 )关于点 (t , m) 对称. 故当直线 l1 与 l2 平行时,点 A 与点 B 关于点 (t , m) 对称.????????14 分


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