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高中数学复习选修2-3 第二章 随机变量及其分布 章末总结 阶段复习课


第二章 章末总结/阶段复习课

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一、离散型随机变量的分布列、均值、方差 1.离散型随机变量的分布列 (1)定义:若离散型随机变量X可能取的不同值为 x1,x2,?,xi,?,xn,X取每一个值xi(i=1,2,?,n)的概率

P(X=xi)=pi,以表格的形式表示如下:
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X P

x1 p1

x2 p2

? ?

xi pi

? ?

xn pn

此表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.
(2)性质:①pi≥0,i=1,2,3,?,n;②

?p
i ?1

n

i

? 1.

(3)表示:①表格法;②解析法P(X=xi)=pi,i=1,2,?,n; ③图象法.

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2.离散型随机变量的均值 (1)定义:由1(1)可知,E(X)=x1p1+x2p2+?+xipi+?+xnpn. (2)性质:E(aX+b)=aE(X)+b. 3.离散型随机变量的方差

(1)定义:由1(1)可知,D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2
+?+(xn-E(X))2pn.

(2)性质:D(aX+b)=a2D(X).
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【辨析】 1.关于离散型随机变量的数学期望 离散型随机变量的数学期望是在大量现象中呈现出来的加权平 均值,并不是某次试验的结果,在一次试验中的结果与随机变 量的数学期望有较大的差异. 2.关于离散型随机变量的方差、标准差 (1)随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定

性与波动,集中与离散的程度,D(X)(或 D(X) )越小,稳定性
越高,波动越小,显然D(X)≥0( D(X) ≥0).
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(2)随机变量的方差与样本方差的关系 样本的方差是随着样本的不同而变化的,因此它是一个变量,而 随机变量的方差是通过大量试验得出的,刻画了随机变量X与其 均值E(X)的平均偏离程度,因此它是一个常数(量)而非变量.对 于简单随机样本,随着样本容量的增加,样本方差越来越接近 于总体方差.

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二、四种常见分布 1.两点分布 X P 0 1-p 1 p

若随机变量X的分布列具有上表的形式,就称X服从两点分布, 并称p=P(X=1)为成功概率.

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【辨析】
关于两点分布的几点认识

(1)两点分布研究的是只有两个可能结果的随机试验的概率分
布规律. (2)两点分布研究的是某一随机事件是否发生的概率分布规律. (3)两点分布中随机变量的取值为0,1,如分布列 X P 1 2 不服从两点分布.

0.4 0.6
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2.超几何分布 在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,
C k C n ??kM 则P(X=k)= M nN ,k=0,1,2,?,m,即 CN

X P

0
C0 C n ??0M M N Cn N

1
C1 C n ??1M M N Cn N

? ?

m
C m C n ??m M N M Cn N

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其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*. 如果随机变量X的分布列具有上表的形式,则称随机变量X服从 超几何分布. 说明:超几何分布解决的问题涉及的背景往往由明显的两部分 组成,如产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的 男生和女生等.

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3.二项分布 在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试

验中事件A发生的概率为p,则
P(X=k)= Ck pk ?1 ? p ?n ?k ,k ? 0,1,2,?,n. n

此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功
概率.

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4.正态分布

(1)定义:
如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足P(a<X≤b)=

?

b

a

?? ,? ? x ? dx, 则称随机变量X服从正态分布.

正态分布完全由参数μ 和σ 确定,因此正态分布常记作 N(μ ,σ 2).如果随机变量X服从正态分布,则记为X~N(μ ,σ 2).

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(2)正态曲线的特征:

①曲线位于x轴上方,与x轴不相交;
②曲线是单峰的,它关于直线x=μ 对称;

③曲线在x=μ 处达到峰值

1 ; ? 2?

④曲线与x轴之间的面积为1;

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⑤当σ 一定时,曲线的位置由μ 确定,曲线随着μ 的变化而沿 x轴平移,如图①; ⑥当μ 一定时,曲线的形状由σ 确定,σ 越小,曲线越“瘦 高”,表示总体的分布越集中;σ 越大,曲线越“矮胖”,表 示总体的分布越分散,如图②.

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(3)3σ 原则: 正态分布在三个特殊区间内取值的概率 P(μ -σ <X≤μ +σ )=0.682 6; P(μ -2σ <X≤μ +2σ )=0.954 4;

P(μ -3σ <X≤μ +3σ )=0.997 4.

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三、两种概率计算 1.条件概率 设A,B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)= P ? AB ? 概 念 (1)P(B|A)∈[0,1]. 性 质 (2)如果B,C为互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A) +P(C|A).
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P(A)

为在事件A发生的条件下,事件B发生的概率.

2.事件的相互独立性 设A,B为两个事件,若P(AB)=P(A)P(B),则称事件 A与事件B相互独立. 性 质 若事件A,B独立,则A与 B , A 与B,A 与 B 也是相





互独立事件.

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四、两类特殊分布的均值与方差

X
E(X) D(X)

X服从两点分布 p (其中p为成功概率) p(1-p)(其中p为成功概率)

X~B(n,p) np np(1-p)

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E B

C

A

D F 【备选答案】A.方差 E.两事件独立 B.超几何分布 C.均值 D.正态分布

F.3σ原则

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条件概率

【技法点拨】
条件概率的两个求解策略
P AB (1)定义法:计算P(A),P(B),P(AB),利用 P ? A | B ? ? ? ? 或 P?B | A? ? P ? AB ? P(A) P(B)

求解.
n ? AB ? n(A)

(2)缩小样本空间法:利用 P ? B | A ? ?

求解.

其中(2)常用于古典概型的概率计算问题.
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【典例1】(1)6位同学参加百米短跑初赛,赛场共有6条跑道,已知 甲同学排在第一跑道,则乙同学排在第二跑道的概率是_____. (2)设某种动物从出生算起活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率

为0.4,现有一个20岁的这种动物,问它能活到25岁的概率是_____.
【解析】(1)甲同学排在第一跑道后,还剩5个跑道,则乙排在第二

跑道的概率为 .
答案:1
5

1 5

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(2)设A=“能活到20岁”,B=“能活到25岁”,则P(A)=0.8,

P(B)=0.4,而所求概率为P(B|A).
∵B?A,∴P(AB)=P(B), ∴ P ? B | A ? ? P ? AB? ? P ? B ? ? 0.5,
P?A? P?A?

所以这个动物能活到25岁的概率是0.5. 答案:0.5

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【总结】题(1)(2)的求解有何差异?如何理解题(2)中“活到25 岁的概率为0.4”? 提示:(1)对于题(1)的求解,可采用两种计算方法,对于题(2) 的求解,只能采用定义法.题(2)中“活到25岁的概率为0.4”是 事件:A=“能活到20岁”,B=“能活到25岁”同时发生的概率.

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相互独立事件同时发生的概率

【技法点拨】
求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题 (1)“P(AB)=P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件, 也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具. (2)涉及“至多”、“至少”、“恰有”等字眼的概率问题, 务必分清事件间的相互关系. (3)公式“ P ? A ? B ? ? 1 ? P(AB) ”常应用于求相互独立事件至少 有一个发生的概率.
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【典例2】在某次1 500米体能测试中,甲、乙、丙三人各自通
3 1 过测试的概率分别为 2 , , ,求: 5 4 3

(1)3人都通过体能测试的概率; (2)恰有2人通过体能测试的概率; (3)恰有1人通过体能测试的概率.

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【解析】设A表示事件“甲通过体能测试”,B表示事件“乙通
过体能测试”,C表示事件“丙通过体能测试”.由题意有:
2 3 1 P ? A ?= ,P ? B ?= ,P ? C ?= . 5 4 3

(1)设M1表示事件“甲、乙、丙3人都通过体能测试”,即M1= ABC. 由事件A,B,C相互独立,可得:P(M1)=P(ABC)=
2 3 1 1 P ? A ? P ? B ? P ? C ?= ? ? = . 5 4 3 10

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(2)设M2表示事件“甲、乙、丙3人中只有2人通过体能测试”, 则M2= ABC ABC+ABC, 由于事件A,B,C彼此相互独 + 立,则 A,, 也相互独立,并且事件 ABC ABC, , ABC 两两互 BC

斥,因此所求概率为P(M2)= P ? A ? P ? B? P ? C ?+P ? A ? P ? B? P ? C ?
2 3 1 2 3 1 2 3 1 23 +P A P ? B ? P(C) ? ? ? (1 ? )+ ? (1 ? ) ? +(1 ? ) ? ? = . 5 4 3 5 4 3 5 4 3 60

? ?

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(3)设M3表示事件“甲、乙、丙3人中只有1人通过体能测 试”,则M3= ABC ABC ABC, + + 由于事件A,B,C, A,, 均相互独立,并且事件 AB C , BC
ABC ABC 两两互斥, ,

因此所求概率为P(M3)=
P ? A ? P B P C +P A P ? B? P C +P A P B P(C) ?
2 3 1 2 3 1 2 3 1 5 ? (1 ? ) ? (1 ? )+(1- ) ? ? (1 ? )+(1 ? ) ? (1 ? ) ? = . 5 4 3 5 4 3 5 4 3 12

? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ?

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【总结】解答本题的注意点及用到的概率公式.

提示:(1)解答本题的注意点是正确表达题(1)(2)(3)的含义.
(2)用到的概率公式有相互独立事件同时发生的概率公式及互 斥事件的概率公式.正确应用相应事件的概率公式解题是求解 此类问题的关键.

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四种常见的分布

【技法点拨】
四种常见的分布及解题策略 (1)四种常见的分布:①超几何分布,②两点分布,③二项分布, ④正态分布. (2)四种常见的分布求解策略 ①超几何分布的求解,常常借助排列组合及古典概型的知识求解.
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②两点分布及二项分布的求解,由于两点分布是特殊的二项分 布,求解时可直接套用公式求解. ③正态分布的概率问题,常采用数形结合的思想求解.

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【典例3】(2012·郑州模拟)袋中装有黑球和白球共7个,从中任 取2个球都是白球的概率为 1 , 现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1
7

个球,甲先取,乙后取,然后甲再取,?,取后不放回,直到两 人中有一人取到白球时即终止,每个球在每一次被取出的机会是

等可能的,用X表示取球终止时所需要的取球次数.
(1)求袋中原有白球的个数;

(2)求随机变量X的分布列.
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【解析】(1)设袋中原有n个白球,由题意知:
n ? n ? 1? n ? n ? 1? 1 C2 n 2 ? 2 ? ? , 7?6 7 C7 7?6 2

所以n(n-1)=6,解得n=3(舍去n=-2), 即袋中原有3个白球. (2)由题意知,X的可能取值为1,2,3,4,5. P(X=1)= 3 ;
7 P(X=2)= 4 ? 3 ? 2 ; 7 6 7 P(X=3)= 4 ? 3 ? 3 ? 6 ; 7 6 5 35

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P(X=4)= 4 ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ;
7 6 5 4 35

P(X=5)= 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 3 ? 1 .
7 6 5 4 3 35

所以,取球次数X的分布列为:

X
P

1
3 7

2
2 7

3
6 35

4
3 35

5
1 35

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【总结】求解本题的关键及求解分布列的步骤. 提示:(1)求解本题的关键是理解以下两点:一是“甲先取,乙 后取”;二是“取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终

止”.
(2)求解分布列的步骤:

一是列出随机变量的所有取值;二是求出随机变量取每一个值的
概率;三是列分布列表.
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均值、方差的应用 【技法点拨】 均值、方差的应用 (1)含义:均值和方差分别反映了随机变量的平均水平及其稳 定性.

(2)应用范围:均值和方差在实际优化问题中应用非常广泛,
如同等资本下比较收益的高低、相同条件下比较质量的优劣、

性能的好坏等.
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(3)求解思路:应用时,先要将实际问题数学化,然后求出随机 变量的概率分布列,同时要注意运用两点分布、二项分布等特 殊分布的期望、方差公式以及期望与方差的线性性质.

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【典例4】由以往的统计资料表明,甲、乙两运动员在比赛中 得分情况为: ξ 1(甲得分) P 0 1 2

0.2 0.5 0.3

ξ 2(乙得分)
P

0

1

2

0.3 0.2 0.5

现有一场比赛,派哪位运动员参加较好?

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【解析】E(ξ1)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1, E(ξ2)=0×0.3+1×0.2+2×0.5=1.2, ∴E(ξ1)<E(ξ2). 所以乙运动员的技术好一些,应选乙参加比赛.

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【总结】求解此类问题的思想及方法. 提示:(1)求解此类问题的思想实际上是函数建模思想,无非 是借助数学期望作为解题工具而已. (2)求解此类问题的方法:先比较变量间的均值,在均值相同

的前提下,再比较变量的方差,方差大,说明离散性大,稳定
性差.

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1.(2012·武威高二检测)在10个球中有6个红球和4个白球(各 不相同),不放回地依次摸出2个球,在第一次摸出红球的条 件下,第2次也摸出红球的概率为( )

?A?

3 5

? B?

2 5

?C?

1 10

?D?

5 9

【解析】选D.由题意可知,在第一次摸出红球的条件下,还
剩下5个红球,4个白球,故第2次也摸出红球的概率 P= 5 .
9

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2.(2012·泰安高二检测)已知随机变量X服从正态分布N(μ ,
σ 2),且P(μ -2σ <X≤μ +2σ )=0.954 4,P(μ -σ <X≤μ

+σ )=0.682 6,若μ =4,σ =1,则P(5<X≤6)=(
(A)0.135 8 (C)0.271 6 (B)0.135 9 (D)0.271 8

)

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【解析】选B.由题意知X~N(4,1),作出相应的正态曲线,如图, 依题意P(2<X≤6)=0.954 4,P(3<X≤5)=0.682 6,即曲边梯形 ABCD的面积为0.954 4,曲边梯形EFGH的面积为0.682 6,其中 A,E,F,B的横坐标分别是2,3,5,6,由曲线关于直线x=4 对称,可知曲边梯形FBCG的面积为 即P(5<X≤6)=0.135 9,故选B.
0.954 4 ? 0.682 6 ? 0.135 9, 2

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3.一个学生通过某种英语听力测试的概率是 1 ,他连续测试n
2

次,要保证他至少有一次通过的概率大于0.9,那么n的最小值

为(
(A)6

)
(B)5 (C)4 (D)3
2 1 2

【解析】选C.由 1 ? C0 (1 ? 1 ) n>0.9 ,得 ( ) n<0.1, n ∴n≥4.

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4.已知离散型随机变量X的分布列如表.若E(X)=0,D(X)=1,
则a=_____,b=_____. X P -1 a 0 b
12 1 2 ?1? ? a+ 2 ? c+22 ? =, 1 1 ? 12 5 1 解得 a= ,b= . 12 4 1 5 答案: 4 12

1 c
6

2
11 12

【解析】由题意知a+b+c=11 ,-a+c+ 1 =0,

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5.设15 000件产品中有1 000件次品,从中抽取150件进行检查,
由于产品数量较大,每次检查的次品率看作不变,则查得次品

数的数学期望为________.
【解析】次品率为P= 1 000 = 1 , 由于产品数量特别大,次品
15 000 15

数服从二项分布,由公式,得次品数X的数学期望E(X)=np=
150 ? 1 = 10. 15

答案:10
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6.甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是
0.7,0.6,且每次试跳成功与否相互之间没有影响,求:

(1)甲试跳三次,第三次才成功的概率;
(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率; (3)甲、乙各试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.

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【解析】记“甲第i次试跳成功”为事件Ai,“乙第i次试跳成功”
为事件Bi,依题意得P(Ai)=0.7,P(Bi)=0.6,且Ai,Bi(i=1,2,3)相

互独立.
(1)“甲第三次试跳才成功”为事件 A1 A2A3, 且三次试跳相互独立,
?P(A1 A2A3 ) ? P(A1 )P(A2 )P(A3 ) ? 0.3 ? 0.3 ? 0.7 ? 0.063 .

答:甲第三次试跳才成功的概率为0.063.

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(2)“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C. 方法一:∵C ? A1 B1 ? A1B1 ? A1B1, 且 A1 B1, 1B1,A1B1 彼此互斥, A ∴ P ? C? ? P ? A1 B1 ? ? P ? A1B1 ? ? P(A1B1 ) = P ? A1 ? P ? B1 ? ? P ? A1 ? P ? B1 ? ? P ? A1 ? P(B1 )

=0.7×0.4+0.3×0.6+0.7×0.6
=0.88.

方法二:P(C)= 1 ? P ? A1 ? P ? B1 ? ? 1 ? 0.3 ? 0.4 ? 0.88.
答:甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88.
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(3)设“甲在两次试跳中成功i次”为事件Mi(i=0,1,2),
“乙在两次试跳中成功i次”为事件Ni(i=0,1,2), ∵事件“甲、乙各试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次” 可表示为M1N0+M2N1,且M1N0,M2N1为互斥事件,

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∴所求的概率为
P(M1N0+M2N1)=P(M1N0)+P(M2N1) =P(M1)P(N0)+P(M2)P(N1) = C1 ? 0.7 ? 0.3 ? 0.42 ? 0.72 ? C1 ? 0.6 ? 0.4 2 2 =0.067 2+0.235 2 =0.302 4. 答:甲、乙每人试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次的概 率为0.302 4.
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7.(2012·珠江高二检测) 为防止风沙危害,某地决定建设防 护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳, 各株沙柳成活与否是相互独立的,成活率为p,设X为成活沙 柳的株数,数学期望E(X)=3,标准差D(X)为
6 . 2

(1)求n,p的值并写出X的分布列;
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补

种沙柳的概率.
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【解析】(1)由E(X)=np=3,(D(X))2=np(1-p)= 3 ,得1-p= 1 ,从
2

而n=6,p= 1 .
2

2

X的分布列为

X
P

0
1 64

1
6 64

2
15 64

3
20 64

4
15 64

5
6 64

6
1 64 15 ? 6 ? 1 21 ? ). 64 32

(2)记“需要补种沙柳”为事件A,则P(A)=P(X≤3),得

P(A)= 1 ? 6 ? 15 ? 20 ? 21 (或P(A)=1-P(X>3)= 1 ?
64 32

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8.(2012·陕西高考)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客 办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客 办理业务所需的时间统计结果如下: 办理业务所需的时间(分) 频率 从第一个顾客开始办理业务时计时. (1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率; (2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数, 求X的分布列及数学期望.
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1 0.1

2 0.4

3 0.3

4 0.1

5 0.1

【解析】设Y表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率, 得Y的分布列如下: Y P 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1

(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,

则事件A对应三种情形:①第一个顾客办理业务所需的时间为
1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;

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②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办 理业务所需的时间为1分钟;③第一个和第二个顾客办理业务 所需的时间均为2分钟. 所以P(A)=P(Y=1)P(Y=3)+P(Y=3)P(Y=1)+P(Y=2)P(Y=2)

=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22.
(2)方法一:X所有可能的取值为0,1,2.

X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,
所以P(X=0)=P(Y>2)=0.5;
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X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客 办理业务所需的时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需 的时间为2分钟,

所以P(X=1)=P(Y=1)P(Y>1)+P(Y=2)
=0.1×0.9+0.4=0.49;

X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟,
所以P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01;
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所以X的分布列为 X P 0 0.5 1 0.49 2 0.01

E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51. 方法二:X所有可能的取值为0,1,2. X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,

所以P(X=0)=P(Y>2)=0.5;
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X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟,

所以P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01;
P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=0.49; 所以X的分布列为

X
P

0
0.5

1
0.49

2
0.01

E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.
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高中数学选修2-3第二章随机变量及其分布教案
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