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江苏省南通市教研室2012年高考全真模拟试卷一(数学)


南 通 市 教 研 室 2012 年 数 学 全 真 模 拟 试 卷 一 试题Ⅰ
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位 ...... 置上. .. 1. 已知集合 U ? ?1,,,? , A ? ?1 3 9? , B ? ?1,? ,则 ? ( A U B) ? 3 5 9 ,, 9 U ▲ .
<

br />2. 若 z ? z ? 9 (其中 z 表示复数 z 的共轭复数) ,则复数 z 的模为 ▲ . 3. 已知函数 f ( x) ? a 在 x ? 1 处的导数为 ? 2 ,则实数 a 的值是 ▲ . x 4. 根据国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》 (GB19522—2004)中规定车辆驾驶人员血液酒精含量: “饮酒驾车”的临界值为 20mg/100ml; “醉酒驾车”的临界值为 80mg/100ml. 某地区交通执法部门统计了 5 月份的执法记录数据: 血液酒精含量(单位:mg/100ml) 人数 0~20 180 20~40 11 40~60 5 60~80 2 80~100 2

根据此数据,可估计该地区 5 月份“饮酒驾车” 发生的频率等于 ▲ . 5. 要得到函数 y ? sin2x 的函数图象,可将函数 y ? sin 2 x ? π 的图象向右至少平移 ▲ 个 .. 3 单位. 6.在平面直角坐标系 xOy 中,“直线 y ? x ? b ,b ? R 与曲线 x ? 1 ? y 2 相切”的充要条件是 “ ▲ ”. 7. 如图, N i 表示第 i 个学生的学号, Gi 表示第 i 个学生的成绩,已知学 号在 1~10 的学生的成绩依次为 401、392、385、359、 372、327、 354、361、345、337,则打印出的第 5 组数据是 ▲ . 8. 在△ABC 中,若 tan A : tan B : tan C ? 1: 2 : 3 ,则 A ? ▲ .
Gi ≥360
Y

?

?

开始
i ?1 N

9. 已知 y ? f (x) 是 R 上的奇函数,且 x ? 0 时, f (x) ? 1 ,则不等 式 f ( x ? x) ? f (0) 的解集为 ▲ .
2

打印N i, i G

10.设正四棱锥的侧棱长为 1,则其体积的最大值为 ▲ . 11.已知平面向量 a , b , c 满足 a ? 1 , b ? 2 , a , b 的夹角等 于 π ,且 (a ? c) ? (b ? c) ? 0 ,则 c 的取值范围是 ▲ . 3
N

i ? i ?1

i ? 50
Y

结束 (第 7 题)

0) 0) 12.在平面直角坐标系 xOy 中,过点 A1 ( x1, 、 A2 ( x2, 分别作 x 0) 轴的垂线与抛物线 x2 ? 2 y 分别交于点 A1?、A2? ,直线 A1? A2? 与 x 轴交于点 A3 ( x3, ,这样

就称
x1、x2 确定了 x3 .同样,可由 x2、x3 确定 x4 ,…,若 x1 ? 2 , x2 ? 3 ,则 x5 ?

▲ .

13.定义: min {x,y}为实数 x,y 中较小的数.已知 h ? min a, 2 b 2 ,其中 a,b 均为正 a ? 4b 实数,则 h 的最大值是 ▲ .
2

?

?

14.在平面直角坐标系 xOy 中,直角三角形 ABC 的三个顶点都在椭圆 x2 ? y 2 ? 1 (a ? 1) 上,其 a 中
A 0,) ( 1 为直角顶点.若该三角形的面积的最大值为 27 ,则实数 a 的值为 8

▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 ....... 明、证 明过程或演算步骤. 15. (本题满分14分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? sin x ? π sin x ? π , ? R . x 4 4 (1)求 f ( x) 的最小正周期和值域; (2)若 x ? x0 0≤x0 ≤ π 为 f ( x) 的一个零点,求 sin 2x0 的值. 2

?

? ? ?

?

?

16. (本题满分 14 分) 如图,在边长为1的菱形ABCD中,将正三角形BCD沿BD向上折起,折起后的点C记为 C ? , .... 且
CC ? ? a ( 0 ? a ? 3 ) .

D

C?

(1)若 a ? 3 ,求二面角C—BD— C ? 的大小; 2 (2)当 a 变化时,线段 CC ? 上是否总存在一点 E,使得A C ? //平面BED?请说明理由.

A

C

B (第 16 题)

17. (本题满分 15 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,设A、B是双曲线 x2 ? 点, 线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点. (1)求直线AB与CD的方程; (2)判断 A、B、C、D 四点是否共圆?若共圆,请求出圆的方程;若不共圆,请说明理 由.
y2 ? 1 上的两点, M (1 2) 是线段AB的中 , 2

18. (本题满分 15 分) 某省高考数学阅卷点共有 400 名阅卷老师,为了高效地完成文、理科数学卷的阅卷任务, 需将 400 名阅卷老师分成两组同时展开阅卷工作,一组完成 269 捆文科卷,另一组完成 475 捆理科卷.根据历年阅卷经验,文科每捆卷需要一位阅卷老师工作 3 天完成,理科每 捆卷需要一位阅卷老师工作 4 天完成. (假定每位阅卷老师工作一天的阅卷量相同,每捆 卷的份数也相同) (1)如何安排文、理科阅卷老师的人数,使得全省数学阅卷时间最省? (2)由于今年理科阅卷任务较重,理科实际每捆卷需要一位阅卷老师工作 4.5 天完成, 在按(1)分配的人数阅卷 4 天后,阅卷领导小组决定从文科组抽调 20 名阅卷老师 去阅理科卷,试问完成全省数学阅卷任务至少需要多少天?(天数精确到小数点后 第 3 位) (参考数据: 807 ? 6.782 , 95 ? 6.786 , 331 ? 3.343 , 1013.5 ? 3.367 ) 14 119 99 301

19. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) 的导函数 f ?(x) 是二次函数,且 f ?( x) ? 0 的两根为 ? 1 .若 f ( x) 的极大值与

极小值 之和为 0, f (?2) ? 2 . (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若函数在开区间 (m ? 9, 9 ? m) 上存在最大值与最小值,求实数 m 的取值范围. (3) 设函数 f (x) ? x ? g(x) , 正实数 a, c 满足 ag(b) ? bg(c) ? cg(a) ? 0 , b, 证明:a ? b ? c .

20. (本题满分 16 分) 设 首项为 1 的正 项数 列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 数列 an2 的 前 n 项 和为 Tn , 且
Tn ? 4 ? (Sn ? p )2 , 3

? ?

其中 p 为常数. (1)求 p 的值; (2)求证:数列 ?an ? 为等比数列; (3)证明:“数列 an , 2x an?1 , 2 y an ? 2 成等差数列,其中 x、y 均为整数”的充要条件是 “ x ?1, 且 y ? 2 ”.

试题Ⅱ (附加题)
21. 【选做题】 本题包括 A、 C、 四小题, ................... 若 B、 D 请选定其中两题, 并在相应的答题区域内作答. 多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. (几何证明选讲) 如图,AB 是半圆的直径,C 是 AB 延长线上一点,CD 切 半圆于点 D,CD=2,DE⊥ AB,垂足为 E,且 E 是 OB 的 中点,求 BC 的长. A · O E B C D

(第 21—A 题)

B. (矩阵与变换)

已知矩阵 ?

?1 2 ? ?1? ? 的属于特征值 b 的一个特征向量为 ?1? ,求实数 a 、 b 的值. ?2 a ? ? ?

C. (极坐标与参数方程)
2 ? 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1 ? 2) 在曲线 ? x ? 2 pt ,( t 为参数, p 为正常数) , , ?

? y ? 2 pt ?

求p的 值.

D. (不等式选讲)
a a 设 a1, 2, 3 均为正数,且 a1 ? a2 ? a3 ? 1 ,求证: 1 ? 1 ? 1 ≥9. a1 a2 a3

【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应 ....... 写出文 字说明、证明过程或演算步骤.
? 22.已知函数 f ( x) ? 2(1 ? x)ln(1 ? x) ? x2 ? 2x , x ? ?0, ? ? ,求 f ( x) 的最大值.

k ?1 23. (1)已知 k、n ? N * ,且 k≤n ,求证: kCk ? nCn?1 ; n

(2)设数列 a0 , a1 , a2 ,…满足 a0 ? a1 , ai ?1 ? ai ?1 ? 2ai (i ? 1,2,3,?) . 证 明 : 对 任 意 的 正 整 数 n ,

n p( x) ? a0C0 (1 ? x)n ? a1C1 x(1 ? x)n?1 ? a2C2 x2 (1 ? x)n?2 ? ??? ? anCn xn 是 n n n

关于 x 的一次式.

南 通 市 教 研 室 2012 年 数 学 全 真 模 拟 试 卷 一 参考答案
1.

?5? ;

2. 3;

3. 2;

4. 0.09;

5. π ; 6

6. b ? ? 2 ;

7. 8, ; 361

8. π ; 4 9. (0, ; 1) 3. 答案解析 1.易得 A U B ? A ? ?1 3 9? ,则 ? ( A U B) ? ?5? ; ,, U 2.
z ? z? z ? ; 3

10. 4 3 ; 27

? ? 11. ? 7 ? 3 , 7 ? 3 ? ; 2 ? ? 2

12.

1; 2

13. 1 ; 2

14.

3. 易得 f ?( x) ? ? a ,则 f ?(1) ? ?a ? ?2 ,即 a ? 2 ; x2 4. “饮酒驾车” 发生的频率等于 11 ? 5 ? 2 ? 0.09 ; 200 5. 将 y ? sin 2 x ? π ? sin 2 x ? ? 向右至少平移 ? 个单位得 y ? sin2x ; 3 ? ? 6. 易得

?

?

?

?

b 2

? 1,且 b ? 0 ,即 b ? ? 2 ;

7. 打印出的第 5 组数据是学号为 8 号,且成绩为 361,故结果是 8, ; 361
n ? 8. 设 tan A ? k , a B 2 k ,tan C ? 3k , k ? 0 , 则t 且 利用 tan C ? ? tan( A ? B) ? ? tan A ? tan B 1 ? tan A tan B

可 求得 k ? 1 ,所以 A ? ? ; ? 9. 易得 f (0) ? 0, x2 ? x ? 0 ,故所求解集为 (0, ; 1) 10. 法 1
2 2 x4 2? x 设 正 四 棱 锥 的 底 面 边 长 为 x , 则 体 积 V ? 1 x2 1 ? x ? 3 2 6

?

2

? ,记

y ? t2 ? 2 ? t? ,
t ? 0 ,利用导数可求得当 t ? 4 时, ymax ? 32 ,此时 Vmax ? 4 3 ; 27 3 27



2

设 正 四 棱 锥 的 侧 棱 与 底 面 所 成 角 为 ?

, 则

V ? 1 ? 2cos2 ? ? sin? ? 2 1 ? sin2 ? ? sin? , 3 3
0<? ? ? ,记 y ? 1 ? t2 t 0 ? t ? 1,利用导数可求得当 t ? 3 时, ymax ? 2 3 ,此时 , ? 9 3

?

?

?

?

Vmax ? 4 3 ; 27
uur uur u uuu r uuu r , c 11. 如图,设 a ? OA b ? OB, ? OC,△ABC 中,由余弦定理得 AB ? 3 ,

B

C2
M

O

C1

A

(第 11 题图)

由 (a ? c) ? (b ? c) ? 0 知,点 C 的轨迹是以 AB 为直径的圆 M ,

uuur uuuu r ? ? 且 OM = 7 ,故 c ? ? OC1 ,OC2 ? ? ? 7 ? 3 , 7 ? 3 ? ; 2 ? ? ? 2 2 ?
12. 设 An xn,1 xn 2 2

?

?

、 An ?1 xn ?1,1 xn ?12 2

?

?

, 则 割 线 An

An ?1 的 方 程 为 :

1x 2?1x 2 1 x 2 ? 2 n?1 2 n ( x ? x ) , y? n n 2 xn?1 ? xn
令 y ? 0 得 xn ? 2 ? 13. 易得 h2 ≤
xn ?1 xn ,即 1 ? 1 ? 1 ,不难得到 1 ? 5 , 1 ? 7 ,1 ? 2 ; xn ?1 ? xn x3 6 x4 6 x5 xn? 2 xn?1 xn

ab ? 1 ≤ 1 ; ? 1 ,所以 h≤ 1 (当且仅当 a ? 4b 时取等号) 2 b a a 2 ? 4b2 a ? 4b 2 a ? 4b 4 b a b a

? y ? kx ? 1, 1 x ? 1 ,由 ? 2 14. 设 AB 的方程为: y ? kx ? 1(k ? 0) ,则 AC 的方程为: y ? ? 得 ?x 2 k ? a2 ? y ? 1 ?
2 2 ( 1 a2 k 2 ) x2? 2a2 k ? ,解得 xB ? ?2a2 k2 , 用“ ? 1 ”替换“ k ”得 xC ? 2a k 2 , ? x 0 2 k 1? a k a ?k
2 2 故 AB ? 2a 2k 2 ? 1 ? k 2,AC ? 2a k 2 ? 1 ? 12 , 2 1? a k a ?k k

所以 S?ABC

2a 4 k ? 1 2a 4 k (1 ? k 2 ) k 1 AB ? AC ? , ? ? 2 2 2 2 2 (1 ? a k )(a ? k ) a 2 k 2 ? 1 ? a 4 ? 1 k2

?

?

?

?

令 t ? k ? 1 ≥2 ,则 S?ABC ? k

2 3 2a 4 ≤ 2a (当且仅当 t ? a ? 1 ? 2 时等号成立) , a (a 2 ? 1) 2 a ? 1 a 2t ? t

3 由 2a ? 27 得 (a ? 3)(8a2 ? 3a ? 9) ? 0 解得 a ? 3, a ? 3 ? 297 (舍去) 或 ,所以 a ? 3 . 16 a ?1 8

15.命题立意:本题主要考查三角函数的图像与性质、两角和与差的正、余弦公式,考查运 算求解 能力. (1)易得 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 sin 2 x ? cos x 2 ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 cos 2 x 2 2 2

?

?

? 3 s i nx 2 ?

c o ? 1 = 2sin 2 x ? π ? 1 , 分) xs2 (5 2 6 2

?

?

所以 f ( x) 周期 π ,值域为 ? ? 3 ,5 ? ; 分) (7 ? ? 2 2? ? (2)由 f ( x0 ) ? 2sin 2 x0 ? π ? 1 ? 0 得 sin 2 x0 ? π ? ? 1 ? 0 , 分) (9 6 2 6 4

?

?

?

?

又由 0≤x0 ≤ π 得 - π ≤2x0 - π ≤ 5π , 2 6 6 6

? ? 此时, sin 2 x ? sin ?? 2 x ? π ? ? π ? ? sin ? 2 x ? π ? cos π ? cos ? 2 x ? π ? sin π ? 6 6 6 6 6 6? ? ?
15 所以 - π ≤2 x0 - π ≤0, cos 2 x0 ? π ? 故 , (11 分) 6 4 6 6
0 0
0 0

? ? 1 ? 3 ? 1 5 1 ? 1 5? ? 4 2 4 2 8

3 (14 分) .

16.命题立意:本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查空间想象、推理论 证能力. 解: (1)连结 AC ,交 BD 于点 O ,连结 OC ? , 菱形 ABCD 中, CO ? BD , 因三角形 BCD 沿 BD 折起,所以 C ?O ? BD , A 故 ?C?OC 为二面角 C—BD— C ? 的平面角, 分) (5 易得 C ?O ? CO ? 3 ,而 CC ? ? 3 , 2 2 所以 ?C?OC ? ? ,二面角 C—BD— C ? 的大小为 ? ; 分) (7 ? ? (2)当 a 变化时,线段 CC ? 的中点E总满足A C ? //平面BED,下证之: (9分) 因为 E,O 分别为线段 CC ? ,AC 的中点, 又 AC ? ? 平面 BED, OE ? 平面 BED, 所以 OE // AC ? , (11 分) B (第 16 题图) O D

C?
E C

所以 A C ? //平面 BED. (14 分)

17.命题立意:本题主要考查求双曲线、直线、圆等基础知识,考查运算求解与探究能力. 解 :( 1 ) 设 A ( x1,y1 ) , 则 B(2 ? x1,4 ? y1 ) ,
? 2 y12 ? x1 ? 2 ? 1, ? ? 2 ?(2 ? x )2 ? (4 ? y1 ) ? 1, 1 ? ? 2
? x1 =-1, ? x1 ? 3, 解得 ? 或? 即 A、B 的坐标为 ?1 0 、 3 4 , ( ,) (,) ? y1 ? 0 ? y1 ? 4,

代 入 双 曲 线 x2 ?

y2 ?1 得 2

所以 AB : y ? x ?1, CD : y ? ?x ? 3 ; 分) (7 (2)A、B、C、D 四点共圆,下证之:(9 分) 证明:由 y ? ?x ? 3 与 x2 ?
y2 ? 1 联立方程组可得 2

C、D 的坐标为 ?3 ? 2 5, ? 2 5 、 ?3 ? 2 5, ? 2 5 , (11 分) 6 6

?

? ?

?

由三点 A、B、C 可先确定一个圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 6)2 ? 40 ①, (13 分)

经检验 D ?3 ? 2 5, ? 2 5 适合①式,所以 A、B、C、D 四点共圆. (15 分) 6 (注:本题亦可以利用圆的几何性质判断四点共圆) 18.命题立意:本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力,考查运算求解能力. 解: (1)设文科阅卷人数为 x ,且 x? N* ,
? 269 ? 3 ,x≤119.246, ? x 则阅卷时间为 f ( x) ? ? (5 分) ? 475 ? 4 ,x ? 119.246, ? 400 ? x

?

?

而 f (119) ? 6.782,f (120) ? 6.786,故 f (119) ? f (120) , 答:当文、理科阅卷人数分别是 119,281 时,全省阅卷时间最省; 分) (8
269 ? 3 ? 119 ? 1 ? 4 ? 3 3 ? 7.343 , (2)文科阅卷时间为: 4 ? (11 分) 99 475 ? 4.5 ? 281 ? 1 ? 4 ? 4.5 4.5 ? 7.367 , 理科阅卷时间为: 4 ? (14 分) 301

答:全省阅卷时间最短为 7.367 天. (15 分)

19.命题立意:本题主要考查利用导数研究三次函数的图像与性质等基础知识,考查灵活运 用数形 结合、化归与转化思想进行运算求解、推理论证的综合能力. 解: (1)设 f ?(x) ? a(x ?1)(x ?1) , 则可设 f ( x) ? a
y 2

?

x3 ? x ? c ,其中 c 为常数. 3
?1
?2

?

因为 f ( x) 的极大值与极小值之和为 0, 所以 f (?1) ? f (1) ? 0 ,即 c ? 0 , 由 f (?2) ? 2 得 a ? ?3 , 所以 f ( x) ? 3x ? x3 ; 分) (5 (2)由(1)得 f ( x) ? 3x ? x3 ,且 f ?(x) ? ?3(x ?1)(x ?1) 列表:
x

2

O 1
?2

x

(第 19 题图)

(?2, ?1)
?


?1

(?1,1)
+ ↗

1

(1, 2)
?


y?
y

0 极小值 ? 2

0 极大值 2

由题意得, 三次函数在开区间上存在的最大值与最小值必为极值 (如图) 分) , (7 又 f (?2) ? 2 ,故 f (2) ? ?2 , 解得 7≤m ? 8 ; (10 分) (3)题设等价与 a(3 ? b2 ) ? b(3 ? c2 ) ? c(3 ? a2 ) ,且 a,b,c ? 0, 所以 a,b,c 均小于 3 . 假设在 a,b,c 中有两个不等,不妨设 a ? b,则 a ? b 或 a ? b. 若 a ? b,则由 a(3 ? b2 ) ? b(3 ? c2 ) 得 3 ? b2 ? 3 ? c2 即 b ? c , 又由 b(3 ? c2 ) ? c(3 ? a2 ) 得 c ? a. 于是 a ? b ? c ? a,出现矛盾. 同理,若 a ? b,也必出现出矛盾. 故假设不成立,所以 a ? b ? c . (16 分) 20.命题立意:本题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式等基础知识,考 查灵活 运用基本量进行探索求解、推理分析能力. 解: (1)n ? 1 时,由 1 ?
4 ? (1 ? p ) 2 得 p ? 0 或 2, 分) (2 3 4 ? Sn 2 , 3 4 ? (1 ? a2 ) 2 ,解得 a2 ? 0 或 a2 ? ? 1 , 3 2

所以 1 ? 9 ? m≤2 ,且 ?2≤m ? 9 ? ?1 ,

若 p ? 0 时, Tn ?

当 n ? 2 时, 1 ? a2 2 ?

而 an ? 0 ,所以 p ? 0 不符合题意,故 p ? 2; 分) (5 (2)当 p ? 2 时, Tn ? 4 ? 1 (2 ? Sn )2 ①,则 Tn?1 ? 4 ? 1 (2 ? Sn?1 )2 ②, 3 3 3 3 ② ? ①并化简得 3an ?1 ? 4 ? Sn ?1 ? Sn ③,则 3an ? 2 ? 4 ? Sn ? 2 ? Sn ?1 ④, ④ ? ③得 an?2 ? 1 an?1 ( n ?N? ) ,又易得 a2 ? 1 a1 , 2 2
1 (10 分) 所以数列{an}是等比数列,且 an ? n ?1 ; 2 1 1 (3)充分性:若 x ? 1,y ? 2,由 an ? n ?1 知 an , 2x an?1 , 2 y an ? 2 依次为 n ?1 , 2 , 2 2 2n
4 , 2 n ?1 1 4 满足 2 ? 2 ? n ?1 ? n ?1 ,即 an,2xan?1,2yan?2 成等差数列; (12 分) n 2 2 2

1 必要性: 假设 an ,2x an?1 ,2 y an ? 2 成等差数列, 其中 x、 均为整数, an ? n ?1 , y 又 2
1 1 所以 2 ? 2 x ? 1n ? n ?1 ? 2 y ? n ?1 , 2 2 2

化简得 2x ? 2y?2 ? 1 显然 x ? y ? 2 ,设 k ? x ? ( y ? 2) , 因为 x、y 均为整数,所以当 k≥2 时, 2x ? 2y?2 ? 1 或 2x ? 2y?2 ? 1 , 故当 k ? 1 ,且当 x ? 1 ,且 y ? 2 ? 0 时上式成立,即证. (16 分) 21.A.命题立意:本题主要考查三角形、圆的有关知识,考查推理论证、运算求解能力. 解:连接 OD,则 OD⊥DC, 在 Rt△OED 中, OE ? 1 OB ? 1 OD, 2 2 所以∠ODE ? 30°, 分) (5 在 Rt△ODC 中,∠DCO ? 30°,由 DC ? 2 得 OD ? DCtan30°? 2 3 , 3 所以 BC ? 2 3 . (10 分) 3 B.命题立意:本题主要考查二阶矩阵的特征值与特征向量,考查运算求解能力. 解:由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知 ?
?b ? 3, b 解得 a ? 1, ? 3 .(10 分) ?b ? a ? 2, ? 1 2 ? ?1? ?1? (5 ? ?1? = b ?1? , 分) ?2 a ? ? ? ??

所以 ?

C.命题立意:本题主要考查参数方程,考查运算求解能力. 解:由 ? ?
? x ? 2 pt 2, ? y ? 2 pt, ?

( t 为参数, p 为正常数) ,消去参数 t 得 y 2 ? 2 px , 分) (8

将点 A(1 ? 2) 代入 y 2 ? 2 px 得 p ? 2 .(10 分) ,

D.命题立意:本题主要考查证明不等式的基本方法,考查推理论证能力. 证明:因为 a1,a2,a3 均为正数,且 a1 ? a2 ? a3 ? 1 ? 0 ,
1 所以 1 ? 1 ? 1 ? (a1 ? a2 ? a3 ) 1 ? 1 ? 1 ≥3 ? a1a2 a3 ? 3 ? 3 1 1 1 a1 a2 a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3

?

?

?

?

1 3

? 9 , 分) (8

当且仅当 a1 ? a2 ? a3 ? 1 时等号成立, 3

所以 1 ? 1 ? 1 ≥9 .(10 分) a1 a2 a3 22.命题立意:本题主要考查复合函数求导等知识,考查运算求解、推理论证能力. 证明:由 f ( x) ? 2(1 ? x)ln(1 ? x) ? x2 ? 2x 得 f ?(x) ? 2ln(1 ? x) ? 2x , 分) (2 令 g(x) ? 2ln(1 ? x) ? 2x ,则 g ?( x) ? 2 ? 2 ? ?2x , 1? x 1? x 当 ?1 ? x ? 0 时, g?(x) ? 0 , g(x) 在 (?1 0) 上为增函数; , 当 x>0 时, g?(x) ? 0 , g(x) 在 (0, ?) 上为减函数, ? 所以 g(x) 在 x=0 处取得极大值,且 g(0) ? 0 , 分) (6 故 f ?(x)≤0 (当且仅当 x ? 0 时取等号) , 所以函数 f ( x) 为 ?0, ?? 上的减函数, 分) (8 ? 则 f (x)≤f (0) ? 0 ,即 f ( x) 的最大值为 0. (10 分) 23.命题立意:本题主要考查组合数的性质、二项式定理,考查推理论证能力. (1)证明:左边 ? kCk ? k ? n 右边 ? n ?
n! n! , ? k !(n ? k )! (k ? 1)!(n ? k )!

(n ? 1)! n! , ? (k ? 1)!( n ? k )! ( k ?1)!( n ? k)!

k ?1 所以 kCk ? nCn?1 ; 分) (3 n

(2)证明:由题意得数列 a0 , a1 , a2 ,…为等差数列,且公差为 a1 ? a0 ? 0 .(5 分)
n 则 p( x) ? a0C0 (1 ? x)n ? a1C1 x(1 ? x)n?1 ? a2C2 x2 (1 ? x)n?2 ? ??? ? anCn xn n n n

? a0C0 (1 ? x)n ? ?a0 + (a1 ? a0 )?C1 x(1 ? x)n?1 ? ??? ? ?a0 + n(a1 ? a0 )?Cn xn n n n

n ? a0 ?C0 (1 ? x)n ? C1 x(1 ? x)n?1 ? ??? ? Cn xn ? ? (a1 ? a0 ) ?C1 x(1 ? x)n?1 + 2C2 x2 (1 ? x)n?2 ? ??? ? nCn xn ? n n n ? n ? ? n ?

? a0 ?(1 ? x) ? x? ? (a1 ? a0 )nx ?C0?1 (1 ? x)n?1 + C1 ?1x(1 ? x)n?2 ???? ? Cn?1xn?1 ? n n?1 ? n ?
n

? a0 ? (a1 ? a0 )nx ? x ? (1 ? x)?
? a0 ? (a1 ? a0 )nx ,

n ?1

所以对任意的正整数 n, p(x) 是关于 x 的一次式. (10 分)


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