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2014届高三数学一轮突破单元检测训练:三角函数(通用版)


2014 届高三数学一轮突破单元检测训练:三角函数
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.把 ? 885 ? 化为 k ? 360 ? ? ? (0 ? ? ? ? 360 ? , k ? Z ) 的形式应是( A. ? )

5 ? 360 ? ? 15 ? 2

B. ? 2 ? 360 ? ? 165 ? D. ? 2 ? 360 ? ? 195 ?

C. ? 3 ? 360 ? ? 195 ? 【答案】C 2.函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x 是( A.最小正周期为 2π 的奇函数 C.最小正周期为π 的奇函数 【答案】D
?

) B. 最小正周期为 2π 的偶函数 D. 最小正周期为π 的偶函数

1 ? cos 2 x ? 8sin 2 x sin 2 x 3.当 0<x< 2 时,函数 f(x)= 的最小值为 (
A.2 【答案】C B.2 3 C.4

) D.4 3

4.直线 l1 与 l2 相交于点 A ,动点 B 、 C 分别在直线 l1 与 l2 上且异于点 A ,若 AB 与 AC 的 夹角为 60? , BC ? 2 3 ,则 ?ABC 的外接圆的面积为(

??? ?

????

??? ?

)

A. 2? B. 4? C. 8? D. 12? 【答案】B 5.在△ABC 中,已知 sin A cos B ? sin C ,那么△ABC 一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D.正三角形 【答案】A 6.一个角的度数是 405 o ,化为弧度数是( A. ) B. ?

83 ? 36

7 4

C.

13 ? 6

D.

9 ? 4

【答案】D 7.点A(x,y)是210°角终边上异于原点的一点,则

y 值为( x
3 3

)

A. 3

B. -

3

C.

D. -

3 3

【答案】C 8.下列诱导公式中错误的是(

)
1/6

A. tan(π ― ? )=―tan ? ; C. sin(π + ? )=― sin ? cos ?

B. cos (

?
2

+ ? ) = sin ? D. cos (π ― ? )=―

【答案】B 9.已知角 ? 的终边经过点 p(-3,4) ,则 sin ? 的值等于( A. ? 【答案】C 10.cos(-

) D. ?

3 5

B.

3 5
)

C.①

4 5

4 5

16 ? )的值等于( 3
B.-

A.

1 2

1 2
)

C.

3 2

D.-

3 2

【答案】B 11.与 610 角终边相同的角表示为( A. k ? 360 0 ? 270 0 C. k ? 360 0 ? 70 0

B. k ? 360 0 ? 230 0 D. k ? 360 0 ? 250 0

【答案】D 12.设扇形的周长为 6,面积为 2,则扇形的圆心角是(弧度)( ) A. 1 B. 4 C. ? D. 1 或 4 【答案】D 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13. ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边,若 a 2 ? c 2 ? 2b ,且

sin B ? 6 cos A ? sin C ,则 b 的值为____________.
【答案】3

y?
14.函数

sin x ? 3 cos x ? 4 的最大值为

2 6 ? 12 15 【答案】
15.已知角 ? 的终边上一点的坐标为 (sin 为 【答案】 .

5? 5? , cos ) ,则角 ? 的最小正值 6 6

2? 3

16.若角 ? 的终边经过点 P (1, 2) ,则 sin ? 的值为____________. ? 【答案】 ? 2 5 5
2 /6

三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.设 ?ABC 的内角 A , B , C 的对边长分别为 a , b , c ,且 b 2 ? ⑴求证: cos B ?

1 ac. 2

3 ; 4

⑵若 cos( A ? C ) ? cos B ? 1 ,求角 B 的大小. 【答案】⑴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ?

a2 ? c2 1 3 1 ? ? ac 整理得 cos B ? 2ac 4 4 2
1 1 ,又由 b 2 ? ac 2 2

⑵由 cos( A ? C ) ? cos B ? 1 可以得 sin A sin C ? 得 (sin B ) 2 ?

1 1 ? ,在三角形中有 sin B ? ,由⑴得 B 为锐角,所以有 B ? 4 2 3

sin( ? ? ) cos(2? ? ? ) tan( ?? ? 3? ) 2 18.已知 f (? ) ? , ? tan(? ? ? ) ? sin( ? ? ) 2 3? 1 (1)化简 f (? ) ; (2)若 ? 是第三象限的角,且 cos(? ? ) ? ,求 f (? ) 的值; 2 5 ? (3)若 ? ? ?1860 ,求 f (? ) 的值; cos ? cos ? (? tan ? ) 【答案】 (1) f (? ) ? ? ? cos ? tan ? ? cos ? 3? 1 (2)? cos(? ? ) ? ? sin ? ? sin ? ? ? 2 5 1 2 又 ?? 是第三象限的角, ? cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? ?? 6 25 5 2 ? f (? ) ? 6 5 (3)?? ? ?1860? ? ?6 ? 360? ? 300? 1 ? f (? ) ? f (?1860? ) ? ? cos(?1860? ) ? ? cos 60? ? ? 2
19.如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5 3 ? 3 海里的两个观测点,现位于 A 点北 偏东 60°,B 点北偏西 45°的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 75°且 与 B 点相距 15 6 海里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该 救援船到达 D 点需要多长时间?

?

?

?

3/6

【答案】在△ABD 中,由正弦定理:

5(3 ? 3) BD AB BD ? ? ? 0 0 0 1 sin ?ADB sin 30 sin(30 ? 45 ) 2

? 2 BD ?

20 3(1 ? 3) ? BD ? 5 6 2(1 ? 3)

在△CBD 中,由余弦定理: CD 2 ? BC 2 ? BD 2 ? 2 BC ? BD cos 600

? CD 2 ? (15 6) 2 ? (5 6) 2 ? 2(15 6) ? (5 6) cos 600 ? CD 2 ? 1350 ? 150 ? 450 ? 1050

? CD ? 5 42 (海里)
∴t ?

5 42 42 (小时) ? 30 6 42 小时 6

答:该救援船到达 D 点需要的时间为

20.在△ABC 中,A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 3acos A=ccos B+bcos C. (1)求 cos A 的值; 2 3 (2)若 a=1,cos B+cos C= ,求边 c 的值. 3 【答案】 (1)由 3acos A=ccos B+bcos C 和正弦定理得 1 3sin Acos A=sin Ccos B+sin Bcos C=sin(B+C), 3sin Acos A=sin A, 即 所以 cos A= . 3 2 3 2 3 (2)由 cos B+cos C= ,得 cos(π -A-C)+cos C= ,展开易得 cos C+ 2sin C 3 3 = 3? sin C= 6 a c 3 ,由正弦定理: = ? c= . 3 sin A sin C 2

4 3 21.已知角α 的终边经过点 P?5,-5?. ? ? (1)求 sin α 的值. π sin? -α ? ?2 ? tan(α -π ) (2)求 · 的值. sin(α +π ) cos(3π -α )

4/6

【答案】 (1)∵|OP|=1, ∴点 P 在单位圆上. 3 由正弦函数的定义得 sin α =- . 5 cos α tan α sin α 1 (2)原式= · = = , -sin α -cos α sin α ·cos α cos α 4 由余弦函数的定义得 cos α = . 5 5 故所求式子的值为 . 4 22.已知 A,B 是海面上位于东西方向(B 在 A 东)相距 5(3 ? 3) 海里的两个观察点,现 位于 A 点北偏东 450,B 点北偏西 600 的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏 西 600 且与 B 点相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即前往营救, 其航行速度为 30 海里∕ 小时,该救援船到达 D 的点需要多长时间?

【答案】由题意知 AB ? 5(3 ? 3) 海里,

?DBA ? 90? ? 60? ? 30?, ?DAB ? 90? ? 45? ? 45?,
∴ ?ADB ? 180? ? (45? ? 30?) ? 105? 在 ?DAB 中,由正弦定理得 ∴ DB ?

DB AB , ? sin ?DAB sin ?ADB

AB? ?DAB 5(3 ? 3)? 45? sin sin 5(3 ? 3)? 45? sin ? ? sin ?ADB sin105? sin 45? cos 60? ? cos 45? sin 60?

=

5 3( 3 ? 1) ? 10 3 (海里) 3 ?1 2

5/6

答:救援船到达 D 点需要 1 小时.

6/6


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