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立体几何解题方法技巧


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专题六

立体几何解题方法技巧

一、内容提 要: 立体几何需要我们去解决的问题概括起来就是三个方面,证明位置关系、求距离和求 角;具体内容见下表: 提 要 位 置 关 立 体 几 何 系 距 离 角 度 两条异面直线的距离、点到平面的距离、直线到 平面的距离、两个平面的距离 两条异面直线的距离、 点

到平 面的距离 主 要 内 容 重 点 内 容

两条异面直线相互垂直、直线与平面平行、直 两条异面直线相互垂直、 直线 线与平面斜交、 直线与平面垂直、 两个平面斜交、 与平面平行、直线与平面垂 两个平面相互垂直 直、两个平面相互垂直

两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、 两条异面直线所成的角、 直线 二面角 和平面所成的角、二面角

二、主要解题方法: (一)位置关系 1、两条异面直线相互垂直 证明方法:○ 1 证明两条异面直线所成角为 90?;○ 2 证明两条异面直线的方向量相互垂直 2、直线和平面相互平行 证明方法:○ 1 证明直线和这个平面内的一条直线相互平行;○ 2 证明这条直线的方向量和 这个平面内的一个向量相互平行; 3 证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂 ○ 直。 3、直线和平面垂直 证明方法:○ 1 证明直线和平面内两条相交直线都垂直,○ 2 证明直线的方向量与这个平面 内不共线的两个向量都垂直;○ 3 证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。 4、平面和平面相互垂直 证明方法: 1 证明这两个平面所成二面角的平面角为 90?; 2 证明一个平面内的一条直线垂 ○ ○ 直于另外一个平面;○ 3 证明两个平面的法向量相互垂直。 (二)求距离 求距离的重点在点到平面的距离,直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点 到平面的距离,一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

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1、两条异面直线的距离 求法:○ 1 如果知道两条 异面直线的公垂线,那么就转化成求公垂线段的长度,线段长度的 求法也可以用向量来帮助解决,求线段 AB 的长度,可以利用

AB ? ( AM ? MN ? NB ) 2 来 帮 助 解 决 , 但 是 前 提 条 件 是 我 们 要 知

2

AM , MN, NB 的模和每两个向量所成的角。○ 2 利用公式 d ?

| AB · n| |n|
(其中 A、

B 分别为两条异面直线上的一点, n 为这两条异面直线的法向量) 2、点到平面的距离 求法:○ 1 “一找二证三求”,三步都必须要清楚地写出来。○ 2 等体积法。○ 3 向量法,利用

公式 d

?

| AB · n| |n|

(其中 A 为已知点, B 为这个平面内的任意一点,n 这个平面的法向量)

(三)求角 1、两条异面直线所成的角 求法:○ 1 先通过其中一条直线或者两条直线的平移,找出这两条异面 直线所成的角,然后 通过解三角形去求得;○ 2 通过两条异面直线的方向量所成的角来求得,但是注意到 异面直线所成角得范围是 (0, 要注意转化成相应的锐角。 2、直线和平面所成的角 求法:○ 1 “一找二证三求”,三步都必须要清楚地写出来。○ 2 向量法,先求直线的方向量 于平面的法向量所成的角 α ,那么所要求的角为 3、平面与平面所成的角 求法:○ 1 “一找二证三求”,找出这个二面角的平面角,然后再来证明我们找出来的这个 角是我们要求的二面角的平面角,最后就通过解三角形来求。 ○ 2 通过射影面积来求

?
2

] ,向量所成的角范围是 [0, ? ] ,如果求出的是钝角,

?
2

? ? 或? ?

?
2

cos? ?

S 射影 S原

(在其中一个平面内找出一个三角形,然后找这个三角形在另外一个平面

的射影, 那么这个三角形的射影面积与原三角形面积之比即为 cosα , 注意到我们要求的角 为 α 或 π -α ) ;○ 3 向量法,先求两个平面的法向量所成的角为 α ,那么这两个平面所成

2

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的二面角的平面角为 α 或 π -α 。 我们现在来解决立体几何的有关问题的时候,注意到向量知识的应用,如果可以比较 容易建立坐标系,找出各点的坐标,那么剩下的问题基本上就可以解决了,如果建立坐标 系不好做的话,有时求距离、角的时候也可以用向量,运用向量不是很方便的时候,就用 传统的方法了! 三、注意的问题: 1、我们现在提倡用向量来解决立体几何的有关问题,但是当运用向量不是很方便的时候, 传统的解法我们也要能够运用自如。 2、我们如果是通过解三 角形去求角、距离的时候,做到“一找二证三求”,解题的过程中 一定要出现这样一句话,“∠α 是我们所要求的角”、“线段 AB 的长度就是我们所要 求的距离”等等。让人看起来一目了然。 3、用向量来求两条异面直线所成角时,若求出 cosα =x,则这两条异面直线所成的角为 α =a rccos|x| 4、在求直线与平面所成的角的时候,法向量与直线方向量所成的角或者法向量与直线的方 向量所成角的补交与我们所要求的角互余,所以要 角,就用

?
2

? ? 或? ?

?
2

,若求出的角为锐

?
2

? ? ,若求出的钝角,就用 ? ?

?
2



5、求平面与平面所成角的时,若用第○ 2 、○ 3 种方法,先要去判断这个二面角的平面角是钝 角还是锐 角,然后再根据我们所作出的判断去取舍。 【专题训练】 1、已知三棱锥 P—ABC 中 PB⊥底面 ABC, ?BCA ? 90? , PB=BC=CA=a,E 是 PC 的中点,点 F 在 PA 上,且 3PF=FA. (1)求证:平面 PAC⊥PBC; (2)求平面 BEF 与底面 ABC 所成角(用一个反三角函数值表示).

2、如图,四棱锥 P—ABCD 的底面是正方形,PA⊥底面 ABCD,PA=AD=2,点 M、N 分别在棱 PD、 PC 上,且 PC⊥平面 AMN. (1)求证:AM⊥PD; (2)求二面角 P—AM—N 的大小; (3)求直线 CD 与平面 AMN 所成角的大小.

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3、如图,平面 ABCD⊥平面 ABEF,ABCD 是正方形,ABEF 是矩形,且 AF ? EF 的中点, (1)求证平面 AGC⊥平面 BGC; (2)求 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值. (3)求二面角 B—AC—G 的大小.

1 AD ? a, G 是 2

4、如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是棱 A1 D1 的中 点, H 为平面 EDB 内一点, HC1 ? { 2m , ? 2m , ? m } (m ? 0) 。 (1)证明 HC1 ? 平面 EDB ; (2)求 BC1 与平面 EDB 所成的角; (3)若正方体的棱长为 a ,求三棱锥 A ? EDB 的体积。
A1 H D A x B C y E B1 z D1
?? ?

C1

4

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在 Rt?BCM中, HO ?

1 5 a ,在 Rt ?EHO 中,....EH ? a 2 10

? tan ?EOH ?

EH ? 5 HO

即平面 BEF 与底面 ABC 所成二面角的大小为 arctan 5 若利用面积射影法,指出△HDB 是△EFB 在底面 ABC 上的射影,并计算出其面积

S 射影 ?

1 2 a ????7 分 16

计算出 S ?EFB ?

6 2 a 16

cos? ?

S 射影 S ?EFB

?

1 6
6 6

即平面 BEF 与底面 ABC 所成二面角的大小为 arccos 2、 (1)证明:∵ABCD 是正方形,∴CD⊥AD, ∵PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥CD. ∴CD⊥平面 PAD ∵AM ? 平面 PAD,∴CD⊥AM. ∵PC⊥平面 AMN,∴PC⊥AM. ∴AM⊥平面 PCD. ∴AM⊥PD. (2)解:∵AM⊥平面 PCD(已证). ∴AM⊥PM,AM⊥NM. ∴∠PMN 为二 面角 P-AM-N 的平面角.

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∵PN⊥平面 AMN,∴PN⊥NM. 在直角△PCD 中,CD=2,PD=2 2 ,∴PC=2 3 . ∵PA=AD,AM⊥PD,∴M 为 PD 的中点,PM=

1 PD= 2 2

由 Rt△PMN∽Rt△PCD,得 ∴ MN ? CD ? PM .
PC
? cos(?PMN) ? MN CD 2 3 3 ? ? ? . ? ?PMN ? arccos . PM PC 2 3 3 3

即二面角 P—AM—N 的大小为 arccos 3 . 3

3、 (1)证明:正方形 ABCD ? CB ? AB ∵面 ABCD⊥面 ABEF 且 交于 AB, ∴CB⊥面 ABEF ∵AG,GB ? 面 ABEF, ∴CB⊥AG,CB⊥BG 又 AD=2a,AF= a,ABEF 是矩形,G 是 EF 的中点, ∴AG=BG= 2a ,AB=2a, AB =AG +BG ,∴AG⊥BG ∵CG∩BG=B ∴AG⊥平面 CBG 而 AG ? 面
2 2 2

AGC, 故平面 AGC⊥平面 BGC (2)解:如图,由(Ⅰ)知面 AGC⊥面 BGC,且交于 GC,在平面 BGC 内作 BH⊥GC,垂 足为 H,则 BH⊥平面 AGC, ∴∠BGH 是 GB 与平面 AGC 所成的角 ∴在 Rt△CBG 中 BH ?

BC ? BG ? CG

BC ? BG BC 2 ? BG 2

?

2 3 a 3

又 BG= 2a ,

∴ sin ?BGH ?

BH 6 ? BG 3
作 BO⊥AC,垂足为 O,连结 HO,则 HO⊥AC, 在 Rt?ABC中, BO ?
?BOH ? arcsin 6 3

(3)由(Ⅱ)知,BH⊥面 AGC

∴ ?BOH 为二面角 B—AC—G 的平面角 在 Rt△BOH 中, sin ?BOH ? BH ? 6 BO 3 即二面角 B—AC—G 的大小为 arcsin 6 3

2a

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