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2013年高考数学一轮复习单元测试(配最新高考+模拟)第八章 立体几何1


2013 届高考数学(理)一轮复习单元测试 第八章立体几何

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题中只有一项符合题目要 求) 1、 (2012 福建理)一个几何体的三视图形状都相同,大小均等,那么这个几何体不可以是 ( ) A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 2、 【2012 吉林市期末质检】一个正方体的展开图如图所示,A、B、C、D 为原正方体的顶点,
A C D B

则在原来的正方体中 A. AB // CD C. AB ? CD B. AB 与 CD 相交 D. AB 与 CD 所成的角为 60 ?

3 . 2012 上 海 ) 已 知 空 间 三 条 直 线 l、 m 、 n . 若 l 与 m 异 面 , 且 l 与 n 异 面 , 则 ( ( ) A. m 与 n 异面. B. m 与 n 相交. C. m 与 n 平行. D. m 与 n 异面、相交、平行均有可能. 4. (2012 广东理)(立体几何)某几何体的三视图如图 1 所示, 它的体积为 A. 1 2 ? B. 45? C. 57 ? D. 8 1? 5 . 【2012 海南嘉积中学期末理】正四棱锥 S - A B C D 的侧棱 长为 2 , 底面边长为 3 ,E 为 S A 中点, 则异面直线 B E 与 S C 所成的角是( A、30° ) C、60°
用心 爱心 专心





B、45°

D、90°
1

6、 【2012 宁德质检理】若 ? , ? , ? 是三个互不重合的平面, l 是一条直线,则下列命题中正 确的是 ( )

A.若 ? ? ? , l ? ? , 则 l / / ? B.若 l ? ? , l / / ? , 则 ? ? ? C.若 l 与 ? , ? 的所成角相等,则 ? / / ? D.若 l 上有两个点到α 的距离相等,则 l / / ? 7、 【2012 黑龙江绥化市一模理】如图,在三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中,侧棱垂直于底面,底面 是 边 长 为 2 的 正 三 角 形 , 侧 棱 长 为 3 , 则 B B 1 与 平 面 A B1 C 1 所 成 的 角 为 (
B1



A1

C1

B

A

C

A.

?
6

B.

?
4

C.

?
3

D.

?
2

8、 (2012 北京理)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是 A. 28 ? 6 5 B. 30 ? 6 5 C. 56 ? 12 5 D. 6 0 ? 1 2 5





9、 【2012 浙江瑞安期末质检理】一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为





用心 爱心 专心

2

A.

5 3 3

B.

4 3 3

C.

5 3 6

D. 3 )

10.圆台上、下底面面积分别是 π 、4π ,侧面积是 6π ,这个圆台的体积是( 2 3 7 3 7 3 A、 π B、2 3π C、 π D、 π 3 6 3

11、 (2012 陕西理) 如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 , C A ? C C 1 ? 2 C B , 则直线 B C 1 与直线 A B1 夹角的余弦值为 ( )

12、 (2012 江西理)如图,已知正四棱锥 S-ABCD 所有棱长都为 1,点 E 是侧棱 SC 上一动点, 过点 E 垂直于 SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分.记 SE=x(0<x<1),截面下面部分 的体积为 V(x),则函数 y=V(x)的图像大致为

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13、 【2012 山东青岛市期末】已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为 1 、 2 、 3 , 则这个长方体的外接球的表面积为 .

14、 【2012 厦门期末质检理】某型号冰淇淋上半部分是半球,下关部分是圆锥,其正视图如

用心 爱心 专心

3

图所示,则该型号冰淇淋的体积等于



15、 【2012 粤西北九校联考理】某几何体的三视图如图所示,则它的体积是___

16. 2012 辽宁理) ( . 已知正三棱锥 P ? ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3 的求面上,若 PA,PB,PC 两两互相垂直,则球心到截面 ABC 的距离为________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) (2012 广东理) 如图 5 所示,在四棱锥 P ? A B C D 中,底面 ABC D 为 矩形, P A ? 平面 A B C D ,点 E 在线段 P C 上, P C ? 平面 BD E . (Ⅰ)证明: B D ? 平面 P A C ; (Ⅱ)若 P A ? 1 , A D ? 2 ,求二面角 B ? P C ? A 的正切值.

用心 爱心 专心

4

18.(本小题满分 12 分) (2012 天津理)如图,在四棱锥 P ? A B C D 中, P A 丄平面
A B C D , A C 丄 A D , A B 丄 B C , ? A B C = 45 , P A = A D = 2 , A C =1 .
0

(Ⅰ)证明 P C 丄 A D ; (Ⅱ)求二面角 A ? P C ? D 的正弦值; (Ⅲ)设 E 为棱 P A 上的点,满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 3 0 ,求 AE 的长.
0

19.(本小题满分 12 分) 【广东省惠州市 2012 届高三一模(四调)考试(理数) 】 已知四棱锥 P-ABCD 的三视图如下图所示,E 是侧棱 PC 上的动点. (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)是否不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE?证明你的结论; (3)若点 E 为 PC 的中点,求二面角 D-AE-B 的大小.

用心 爱心 专心

5

20.(本小题满分 12 分) (安徽省“江南十校”2012 年 3 月高三联考理科) 如图,在多面体 ABCDEFG 中, 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, 平面 ABG、 平面 ADF、 平面 CDE 都与平面 ABCD 垂直,且Δ ABG, Δ ADF, Δ CDE 都是正三角形. (I) 求证: AC// EF ; (II) 求多面体 ABCDEFG 的体积.

21.(本小题满分 12 分) 18.(江西省六校 2012 届高三联考理科)如图所示的多面体,它的 正视图为直角三角形,侧视图为正三角形,俯视图为正方形(尺寸如图所示) 为 VB 的中 ,E 点.[来 (1)求证:VD∥平面 EAC; (2)求二面角 A—VB—D 的余弦值.

22. (本小题满分 12 分)(2012 湖北理)如图 1, ? A C B )
用心 爱心 专心

? 45

?

, B C ? 3 ,过动点 A 作 A D

? BC

,
6

垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B,连接 AB,沿 A D 将△ A B D 折起,使 ? B D C 所示). (Ⅰ)当 B D 的长为多少时,三棱锥 A ? BC D 的体积最大; (Ⅱ)当三棱锥 A ?
BCD

? 90

?

(如图 2

的体积最大时,设点 E , M 分别为棱 B C , A C 的中点,试在
BM

棱 C D 上确定一点 N ,使得 E N ? A

,并求 E N 与平面 B M N 所成角的大小. A M

B

D 图1

C B

D

. · E

C

图2

祥细答案 一、选择题 1. 【答案】D 【解析】分别比较 A、B、C 的三视图不符合条件,D 的正视图、侧视图是矩形,而府视 图是圆,符合 2、 【答案】D 【解析】将平面展开图还原成几何体,易知 AB 与 CD 所成的角为 60 ? ,选 D。 3、 【答案】D 4. 答案:C 解析: 该几何体下部分是半径为 3,高为 5 的圆柱,体积为 V ? ? ? 3 2 ? 5 ? 45? ,上部分是半 径为 3,高为 4 的圆锥,体积为 V ? 5、 【答案】C 【 解 析 】 取 AC 中 点 F, E F ?
co s ? B E F ? 1 2 , ? BEF ? 60 .
0

1 3

? ? ? 3 ? 4 ? 1 2 ? ,所以体积为 57 ? .
2

2 2

, BF ?

6 2

, AE ?

2 , ?AEF 中 , 由 余 弦 定 理 得

6、 【答案】B 【解析】若 l ? ? , l / / ? , 则 ? ? ? ,此推理符合平面与平面垂直的判定; 7、 【答案】A 【解析】利用等积法求 B 到平面 AB 1 C 1 的距离 d 。 V A ? BB
sin ? ? 1 2 ,? ?
1C 1

? V B ? AB 1C 1 ,求出 d ?

3 2



?
6
用心 爱心 专心 7

8、 【答案】B 【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥,本题所求表面积为三棱锥四个面 的 面 积 之 和 . 利 用 垂 直 关 系 和 三 角 形 面 积 公 式 , 可 得: S 底 ? 1 0, S 后 ? 1 0, S 右 ? 1 0, S 左 ? 6 5 ,因此该几何体表面积 S ? 3 0 ? 6 5 ,故选 B. 9、 【答案】A 【解析】几何体可以拼接成高为 2 的正三棱柱, V ?
3 4 ?2 ?2?
2

1 3

?1?

3 ?

5 3 3

10、答案 D 解析 上底半径 r=1, 下底半径 R=2.∵S 侧=6π , 设母线长为 l, π (1+2)·l=6π , 则 1 7 3 2 2 ∴l=2,∴高 h= l -? R-r? = 3,∴V= π · 3(1+1×2+2×2)= π .故选 D. 3 3 11、 【答案】A 解析:不妨设 C A ? C C 1 ? 2 C B ? 2 ,则 A B1 = (- 2, 2,1), C 1 B = (0, - 2,1) ,
???? ???? ???? ???? A B1 ×C 1 B (- 2 ) ? 0 co s < A B1 , C 1 B > = ???? ???? = A B1 C 1 B
5 5

????

????

2? ( 9? 5

2) + 1 1

= -

5 5

, 直 线 B C1 与 直 线

A B1 夹角为锐角,所以余弦值为

,选 A.

12、 【答案】A 【解析】(定性法)当 0 ? x ? 速度越来越快;当
1 2

1 2

时,随着 x 的增大,观察图形可知, V ? x ? 单调递减,且递减的

? x ? 1 时,随着 x 的增大,观察图形可知, V

? x ? 单调递减,且递减的速度

越来越慢;再观察各选项中的图象,发现只有 A 图象符合.故选 A.

二、填空题 13、 【答案】 14 ? 【 解 析 】 因 长 方 体 对 角 线 长 为 2r ?
S ? 4? r ? 1 4? .
2

1? 4 ? 9 ?

14 , 所 以 其 外 接 球 的 表 面 积

14、 【答案】 54 ? 【解析】冰淇淋上半部分是半球,下关部分是圆锥 V= ? ? 3 ?
3

2 3

1 3

? ? 3 ? 1 2 ? 5 4?
2

15、 【答案】 8 ?

2? 3

用心 爱心 专心

8

【解析】由几何体三视图知:几何体是正方体挖去一个圆锥, V ? 8 ?
3 3

1 3

? ?2

16、 【答案】

【解析】因为在正三棱锥 P ? ABC 中,PA,PB,PC 两两互相垂 直,所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分,(如 图所示),此正方体内接于球,正方体的体对角线为球的直径, 球心为正方体对角线的中点. 球 心 到 截 面 ABC 的 距 离 为 球 的 半 径 减 去 正 三 棱 锥
P ? ABC 在面 ABC 上的高.已知球的半径为 3 ,所以正方体

的棱长为 2,可求得正三棱锥 P ? ABC 在面 ABC 上的高为

2 3 3

,所以球心到截面 ABC 的距离

为 3?

2 3 3

?

3 3

三、解答题 17、解析:(Ⅰ)因为 P C ? 平面 B D E , B D ? 平面 B D E ,所以 P C ? B D .又因为 P A ? 平面 A B C D , B D ? 平面 A B C D ,所以 P A ? B D .而 P C ? P A ? P , P C ? 平面 P A C , P A ? 平面 P A C ,所以 B D ? 平面 P A C . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 B D ? 平面 P A C ,而 A C ? 平面 P A C ,所以 B D ? A C ,而 A B C D 为矩 形,所以 ABC D 为正方形,于是 AB ? AD ? 2 . 法 1:以 A 点为原点, A B 、A D 、A P 为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系 A ? BD P . 则 P ? 0, 0,1 ? 、 C ? 2, 2, 0 ? 、 B ? 2, 0, 0 ? 、 D ? 0, 2, 0 ? ,于 是 B C ? ? 0, 2, 0 ? , P B ? ? 2, 0, ? 1 ? . 设平面 P B C 的一 个 法 向 量 为 n1 ?
???? ??? ?

? x, y, z ?

???? ? n1 ? B C ? 0 ? ,则 ? ,从而 ??? ? ? n1 ? P B ? 0 ?

?2 y ? 0 ,令 x ? 1 ,得 n 1 ? ? 1, 0, 2 ? .而平面 P A C 的 ? ?2x ? z ? 0

0 ? 一 个 法 向 量 为 n 2 ? B D ? ? ? 2 , 2 ?, . 所 以 二 面 角 B ? P C
n1 ? n 2 n1 n 2 2 5?2 2 10 10

????

A 余 弦 值 为 的

co s ? n 1 , n 2 ? ?

=

?

,于是二面角 B ? P C ? A 的正切值为 3.

法 2:设 A C 与 B D 交于点 O ,连接 O E .因为 P C ? 平面 B D E , O E ? 平面 B D E , B E ? 平面 B D E ,所以 P C ? O E , P C ? B E ,于是 ? O E B 就是二面角 B ? P C ? A 的平面角.又 因为 B D ? 平面 P A C , O E ? 平面 P A C ,所以 ? O E B 是直角三角形.由 ? O E C ∽ ? P A C

用心 爱心 专心

9

可得

OE OC

?

PA PC

,而 A B ? A D ? 2 ,所以 A C ? 2 2 , O C ?
? OC ? 1 3 ? 2 ? 2 3

2 ,而 P A ? 1 ,所以 P C ? 3 ,

于是 O E ?
OB OE ? 3.

PA PC

,而 O B ?

2 ,于是二面角 B ? P C ? A 的正切值为

18、解:(1)以 A D , A C , A P 为 x , y , z 正半轴方向,建立空间直角左边系 A ? xyz

???? ???? ??? ?

???? ? ???? ? ???? ? A D ?n 6 co s ? A D , n ? ? ???? ? ? ? sin ? A D , n ? ? 6 AD n
30 6

30 6

得:二面角 A ? P C ? D 的正弦值为
??? ?

(3)设 A E ? h ? [0, 2] ;则 A E ? (0, 0, 2) , B E ? ( , ?
??? ???? ? ??? ???? ? B E ?C D co s ? B E , C D ? ? ??? ???? ? ? BE CD

??? ?

1

1 2

???? , h ), C D ? ( 2, ? 1, 0 )
10 10
10 10

2
3 10 ? 20h
2

?

3 2

? h ?

即 AE ?

19、解:(1)由三视图可知,四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, 侧棱 PC⊥底面 ABCD,且 PC=2. ∴V P ? ABCD ?
1 3 S A B C D ?P C ? 1 3 ?1? 2 ? 2

2 ,即四棱锥 P-ABCD 的体积为 . 3 3

(2)不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE. 证明如下:连结 AC,∵ABCD 是正方形,∴BD⊥AC. ∵PC⊥底面 ABCD,且 BD? 平面 ABCD,∴BD⊥PC. 又∵AC∩PC=C,∴BD⊥平面 PAC. ∵不论点 E 在何位置,都有 AE? 平面 PAC. ∴不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE. (3)解法 1:在平面 DAE 内过点 D 作 DF⊥AE 于 F,连结 BF.
用心 爱心 专心 10

∵AD=AB=1,DE=BE= 12+12= 2,AE=AE= 3, ∴Rt△ADE≌Rt△ABE, 从而△ADF≌△ABF,∴BF⊥AE. ∴∠DFB 为二面角 D-AE-B 的平面角. AD·DE 1× 2 6 6 在 Rt△ADE 中,DF= = = , ∴BF= . AE 3 3 3 又 BD= 2,在△DFB 中,由余弦定理得 cos∠DFB=
DF ? BF
2 2

? BD

2

2DF ? BF

? ?

1 2



2π ∴∠DFB= , 3 2π 即二面角 D-AE-B 的大小为 . 3 解法 2:如图,以点 C 为原点,CD,CB,CP 所在的直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标 系.则 D(1,0,0),A(1,1,0),B(0,1,0),E(0,0,1), 从而=(0,1,0),=(-1,0,1),=(1,0,0),=(0,-1,1). 设平面 ADE 和平面 ABE 的法向量分别为
?? ?? ? n 1 ? ? x1 , y 1 , z 1 ? , n 2 ? ? x 2 , y 2 , z 2 ?
?? ??? ? ?? ? n1 ? D A ? 0 y1 ? 0 ? ? ? ? 由 ? ?? ???? ,取 n1 ? ? 1, 0,1 ? ? ? x1 ? z 1 ? 0 ? n1 ? D E ? 0 ? ?? ??? ? ? ?? ? ? n2 ? B A ? 0 x2 ? 0 ? ? ? ? 由 ? ?? ??? ,取 n 2 ? ? 0, ? 1, ? 1 ? 分 ? ? ? ? y2 ? z2 ? 0 ? n2 ? B E ? 0 ? ?? ?? ? n1 ? n 2 设二面角 D-AE-B 的平面角为 θ ,则 co s ? ? ?? ?? ? ? n1 ? n 2

?1 2? 2

? ?

1 2



2π 2π ∴θ = ,即二面角 D-AE-B 的大小为 3 3 20、解: (Ⅰ) 证明:方法一,如图,分别取 AD、CD 的中点 P、Q,连接 FP,EQ. ∵△ ADF 和△ CDE 是为 2 的正三角形, ∴FP⊥AD,EQ⊥CD,且 FP=EQ= 3 . 又∵平面 ADF 、平面 CDE 都与平面 ABCD 垂直, ∴FP⊥平面 ABCD , EQ⊥平面 ABCD ,∴FP∥QE 且 FP=EQ,
用心 爱心 专心 11

∴四边形 EQPF 是平行四边形,∴EF∥PQ. ∵ PQ 是 ? A C D 的中位线,∴PQ∥AC, ∴ EF∥AC 方法二,以 A 点作为坐标原点,以 AB 所在直线为 x 轴, AD 所在直线为 y 轴, 以 过点 A 垂直于 xOy 平 面的直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系, 如图所示. 根 据 题 意 可 得 ,

A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),E(1,2, 3 ), F(0,1, 3 ),G(1,0, 3 ). ∴ AC =(2,2,0) FE =(1,1,0),则 AC = 2 FE , , ∴ AC ∥ FE ,即有 AC ∥ FE
? V 三棱柱 ? V 四棱锥 ? 2 3 ? 2 3 3 ? 8 3 3

(Ⅱ) V 多面体

ABCDEFG

ABG ? CDE

F ? ADEG

21、解:(1)由正视图可得:平面 VAB⊥平面 ABCD,连接 BD 交 AC 于 O 点,连 EO,由已知可 得 BO=OD,VE=EB ∴ VD∥EO 又 VD ? 平面 EAC,EO ? 平面 EAC ∴ VD∥平面 EAC (2)设 AB 的中点为 P,则由题意可知 VP⊥平面 ABCD, 建立如图所示坐标系 设 n =(x,y,z)是平面 VBD 法向量,
BD =(-2,2,0)

VB ? (1, 0 , ? 3 )

PO ? ( 0 ,1, 0 )

由 n ? BD , n ? VB ∴?
?? 2 x ? 2 y ? 0 ?x ? 3z ? 0

∴ n ? ( 3 , 3 ,1)

用心 爱心 专心

12

∴二面角 A—VB—D 的余弦值 cos ? ?

n ? PO | n | ? | PO |

?

21 7

22、(Ⅰ)解法 1:在如图 1 所示的△ A B C 中,设 B D
?

? x (0 ? x ? 3)

,则 C D ? 3 ? x .

由 A D ? B C , ? A C B ? 4 5 知,△ A D C 为等腰直角三角形,所以 AD ? C D ? 3 ? x . 由折起前 A D ? B C 知,折起后(如图 2), A D ? D C , A D ? B D ,且 B D ? D C ? D , 所以 A D
V A ? BCD ?
?

平面 B C D .又 ? B D C
A D ? S ?BCD ? 1 3
3

? 90

?

,所以 S ? B C D
1 12

?

1 2

BD ? CD ?

1 2

x (3 ? x )

.于是

1 3

(3 ? x ) ?

1 2

x (3 ? x ) ?

? 2 x (3 ? x )(3 ? x )

?

1 ? 2 x ? (3 ? x ) ? (3 ? x ) ? 2 ? ? 3 12 ? 3 ? ?

,

当且仅当 2 x ? 3 ? x ,即 x ? 1 时,等号成立, 故当 x ? 1 ,即 B D ? 1 时, 三棱锥 A ? B C D 的体积最大. 解法 2: 同解法 1,得 V A ? B C D ? 令
f (x) ? 1 6
3 2

1 3

A D ? S ?BCD ?

1 3

(3 ? x ) ?
1 2

1 2

x (3 ? x ) ?

1 6

( x ? 6 x ? 9 x)
3 2

.
?1.

(x ? 6 x ? 9 x)

,由

f ?( x ) ?

( x ? 1)( x ? 3) ? 0 ,且 0 ? x ? 3

,解得 x

当 x ? (0, 1) 时, f ?( x ) ? 0 ;当 x ? (1, 3) 时, 所以当 x ? 1 时, f ( x ) 取得最大值.

f ?( x ) ? 0

.

故当 B D ? 1 时, 三棱锥 A ? B C D 的体积最大. (Ⅱ)解:以 D 为原点,建立如图 a 所示的空间直角坐标系 D 由(Ⅰ)知,当三棱锥 A ? B C D 的体积最大时, B D 于是可得 D (0, 且 BM
???? ?

? xyz

. .
1 2 , 1, 0 )

? 1 , AD ? CD ? 2

0, 0)

, B (1,

0, 0 ) , C (0, 2 , 0)

, A (0,

0, 2 )

,M

(0, 1, 1)

,E(

,

? ( ? 1, 1, 1) .

得?

? y ? 2 x, ? z ? ? x.

可取 n

? (1, 2, ? 1)

.
???? 1 2 1 2

设 E N 与平面 B M N 所成角的大小为 ? ,则由 E N

? (?

,?

, 0 ) , n ? (1, 2, ? 1)

,可得

用心 爱心 专心

13

1 ???? | ? ?1| n ? EN 3 2 ???? ? sin ? ? co s(9 0 ? ? ) ? ? 2 | n | ? | EN | 2 6? 2
?

,即 ?

? 60

?

.

故 E N 与平面 B M N 所成角的大小为 6 0 ? .

用心 爱心 专心

14


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