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2016-2017学年辽宁省六校协作体高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版)


2016-2017 学年辽宁省六校协作体高三(上)期中数学试卷(理科)
一、选择题(本题共有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. ) 1. (5 分)已知 R 是实数集, ,则 N∩?RM=( )

A. (1,2) B.[0,2] C.? D.[1,2] 3 2 2. (5 分)命题“? x0∈R,x ﹣x +1>0”的否定是( ) 3 2 3 2 A.? x∈R,x ﹣x +1≤0 B.? x0∈R,x ﹣x +1<0 3 2 3 2 C.? x0∈R,x ﹣x +1≤0 D.不存在 x∈R,x ﹣x +1>0 3. (5 分)i 是虚数单位,若复数 z 满足 z(1+i)=1﹣i,则复数 z 的实部与虚部的和是( A.0 B.﹣1 C.1 D.2 4. (5 分)在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线, =(2,4) , =(1,3) ,则



等于(



A. (2,4) B. (3,5) C. (﹣3,﹣5) D. (﹣2,﹣4)

5. (5 分)设 P 是不等式组

表示的平面区域内的任意一点,向量 =(1,1) , =(2,1) ,

若 A.4

=λ +μ (λ,μ 为实数) ,则 λ﹣μ 的最大值为( B.3 C.﹣1 D.﹣2



6. (5 分)若

,则 cosα+sinα 的值为(



A.

B.

C.

D.

7. (5 分) 一个几何体的三视图如图所示, 其中正视图和侧视图是腰长为 4 的两个全等的等腰直角三角形. 若 该几何体的体积为 V,并且可以用 n 个这样的几何体拼成一个棱长为 4 的正方体,则 V,n 的值是( )

A.V=32,n=2

B.

C.

D.V=16,n=4 ) )

8. (5 分)已知等差数列{an}满足 a3+a13﹣a8=2,则{an}的前 15 项和 S15=( A.10 B.15 C.30 D.60 9. (5 分)等比数列{an}中,a3=6,前三项和 S3= A.1 B.﹣ C.1 或﹣ D.﹣1 或﹣ 4xdx,则公比 q 的值为(

1页

10. (5 分)已知 x>0,由不等式 x+ ≥2
*

=2,x+

=

≥3

=3,…,可以推出

结论:x+

≥n+1(n∈N ) ,则 a=(
2 n



A.2n B.3n C.n D.n 2 11. (5 分)对正整数 n,有抛物线 y =2(2n﹣1)x,过 P(2n,0)任作直线 l 交抛物线于 An,Bn 两点, 设数列{an}中,a1=﹣4,且 an= A.4n B.﹣4n C.2n(n+1)
2

(其中 n>1,n∈N) ,则数列{an}的前 n 项和 Tn=( D.﹣2n(n+1)



12. (5 分) 已知二次函数 f (x) =ax +bx+c 的导数 f( ′ x) , f( ′ 0) >0, 且f (x) 的值域为[0, +∞) , 则 的最小值为( A.3 B. ) C .2 D.

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分) 13. (5 分)设曲线 y= 14. (5 分)若 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a= .
2



(2x+k)dx=2,则 k 的值为
3

15. (5 分)已知 α、β 是三次函数 f(x)= x + ax +2bx(a,b∈R)的两个极值点,且 α∈(0,1) ,β ∈(1,2) ,则 的取值范围是 . 和4 ,

16. (5 分) 连接球面上两点的线段称为球的弦, 半径为 4 的球的两条弦 AB、 CD 的长度分别为 2 M、N 分别是 AB、CD 的中点,两条弦的两端都在球面上运动,有下面四个命题: ①弦 AB、CD 可能相交于点 M; ②弦 AB、CD 可能相交于点 N; ③MN 的最大值是 5; ④MN 的最小值是 1; 其中所有正确命题的序号为 . 三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 2 2 17. (10 分)已知函数 f(x)=(sinx+cosx) +2cos x. (1)求 f( )的值;

(2)求 f(x)的递减区间. 18. (12 分)在△ABC 中,A、B、C 的对边分别是 a,b,c,且 bcosB 是 acosC,ccosA 的等差中项. (1)求∠B 的大小; (2)若 a+c= ,求△ABC 的面积. * 19. (12 分)已知数列{an}的首项 a1=2,且 an=2an﹣1﹣1(n∈N ,N≥2) (1)求证:数列{an﹣1}为等比数列;并求数列{an}的通项公式; (2)求数列{n?an﹣n}的前 n 项和 Sn.

2页

20. (12 分)如图,三角形 ABC 和梯形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB⊥BC,AF⊥AC,AF 是线段 BF 上一点,AB=AF=BC=2. (Ⅰ)当 GB=GF 时,求证:EG∥平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 E﹣BF﹣A 的余弦值; (Ⅲ)是否存在点 G 满足 BF⊥平面 AEG?并说明理由.

2CE,G

21. (12 分)已知函数 f(x)=x ﹣2|x﹣a|. (1)若函数 y=f(x)为偶函数,求 a 的值; (2)若 a= ,求函数 y=f(x)的单调递增区间; (3)当 a>0 时,若对任意的 x∈(0,+∞) ,不等式 f(x﹣1)≤2f(x)恒成立,求实数 a 的取值范围. 22. (12 分)已知函数 f(x)=1n(x﹣1)﹣k(x﹣1)+1 (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)≤0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (3)证明: 且 n>1)

2

3页

2016-2017 学年辽宁省六校协作体高三 (上) 期中数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本题共有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. ) 1. (5 分) (2016?广元三模)已知 R 是实数集, A. (1,2) B.[0,2] C .? D.[1,2] ,则 N∩?RM=( )

【分析】先化简 2 个集合 M、N 到最简形式求出 M,N,依照补集的定义求出 CRM,再按照交集的定义求 出 N∩CRM. 【解答】解:∵M={x| <1}={x|x<0,或 x>2},N={y|y= }={y|y≥0 },

故有 N∩CRM={y|y≥0 }∩{x|x<0,或 x>2}=[0,+∞)∩( (﹣∞,0)∪(2,+∞) ) =[0,2], 故选 B. 【点评】本题考查函数的值域求法,不等式的解法,以及求 2 个集合的补集和交集的方法. 2. (5 分) (2014?海淀区校级模拟)命题“? x0∈R,x ﹣x +1>0”的否定是( ) 3 2 3 2 A.? x∈R,x ﹣x +1≤0 B.? x0∈R,x ﹣x +1<0 3 2 3 2 C.? x0∈R,x ﹣x +1≤0 D.不存在 x∈R,x ﹣x +1>0 【分析】特称命题“? x0∈M,p(x)”的否定为全称命题“? x∈M,¬p(x)”. 3 2 3 2 【解答】解:特称命题“? x0∈R,x ﹣x +1>0”的否定是“? x∈R,x ﹣x +1≤0”. 故选 A. 【点评】本题考查特称命题的否定形式,要注意存在量词“? ”应相应变为全称量词“? ”. 3. (5 分) (2012?湖南一模) i 是虚数单位, 若复数 z 满足 z (1+i) =1﹣i, 则复数 z 的实部与虚部的和是 ( ) A.0 B.﹣1 C.1 D.2 【分析】根据所给的等式整理出复数 z 的表示形式,进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭 复数,得到最简形式,看出复数的实部和虚部,得到两者的和. 【解答】解:∵复数 z 满足 z(1+i)=1﹣i, ∴z= =
3 2

∴复数 z 的实部与虚部分别是 0,﹣1 ∴复数 z 的实部与虚部的和是﹣1 故选 B. 【点评】本题考查复数的代数形式的除法运算,本题解题的关键是整理出最简形式,看出复数的实部和虚 部,本题是一个基础题.

4. (5 分) (2015?安康三模)在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线, 等于( )

=(2,4) ,

=(1,3) ,则

A. (2,4) B. (3,5) C. (﹣3,﹣5) D. (﹣2,﹣4) 【分析】利用平行四边形对边平行相等,结合向量的运算法则,求解即可.
4页

【解答】解:∵ ∴ =

, =(﹣3,﹣5) .

故选:C. 【点评】本题考查向量的基本运算,向量的坐标求法,考查计算能力.

5. (5 分) (2014?鹰潭二模)设 P 是不等式组

表示的平面区域内的任意一点,向量 =(1,

1) , =(2,1) ,若 A.4 B.3

=λ +μ (λ,μ 为实数) ,则 λ﹣μ 的最大值为(



C.﹣1 D.﹣2 ,由此代入题中的不等式组,可得关于 λ、μ 的

【分析】根据向量线性运算的坐标公式,得到

不等式组.作出不等式组表示的平面区域,利用数形结合即可得到结论. 【解答】解:∵向量 =(1,1) , =(2,1) ,若 =λ +μ (λ,μ∈R) ,

∴P(x,y)满足

,代入不等式组组







设 λ=x,μ=y,则不等式等价为



作出不等式组表示的平面区域(阴影部分) , 设 z=λ﹣μ=x﹣y, 即 y=x﹣z,平移直线 y=x﹣z, 则当直线 y=x﹣z 经过点 B 时,直线的截距最小,此时 z 最大, 由 ,解得 ,即 B(3,﹣1) ,

此时 z=x﹣y=3﹣(﹣1)=3+1=4, 即 λ﹣μ 的最大值为 4, 故选:A.

5页

【点评】本题主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,将条件转换为关于 λ、μ 的不等式组是解决本题的关键.

6. (5 分) (2007?海南)若

,则 cosα+sinα 的值为(



A.

B.

C.

D.

【分析】题目的条件和结论都是三角函数式,第一感觉是先整理条件,用二倍角公式和两角差的正弦公式, 约分后恰好是要求的结论. 【解答】解:∵ ,





故选 C 【点评】本题解法巧妙,能解的原因是要密切注意各公式间的内在联系,熟练地掌握这些公式的正用、逆 用以及某些公式变形后的应用. 7. (5 分) (2016?呼伦贝尔一模)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为 4 的两个 全等的等腰直角三角形.若该几何体的体积为 V,并且可以用 n 个这样的几何体拼成一个棱长为 4 的正方 体,则 V,n 的值是( )

A.V=32,n=2

B.

C.

D.V=16,n=4

【分析】由三视图可知,几何体为底面是正方形的四棱锥,再根据公式求解即可. 【解答】解:由三视图可知,几何体为底面是正方形的四棱锥, 所以 V= ,

6页

边长为 4 的正方体 V=64,所以 n=3. 故选 B 【点评】本题考查学生的空间想象能力,是基础题. 8. (5 分) (2012?自贡一模)已知等差数列{an}满足 a3+a13﹣a8=2,则{an}的前 15 项和 S15=( ) A.10 B.15 C.30 D.60 【分析】把已知等式左边的前两项利用等差数列的性质变形,可求出 a8 的值,然后把所求的式子先利用等 差数列的前 n 项和公式表示出来,再利用等差数列的性质化简,将 a8 的值代入即可求出值. 【解答】解:∵a3+a13﹣a8=2,且等差数列{an}, ∴2a8﹣a8=a8=2, ∴S15= =15a8=30.

故选 C 【点评】此题考查了等差数列的前 n 项和公式,以及等差数列的性质,熟练掌握公式及性质是解本题的关 键. 9. (5 分) (2012?宿州一模)等比数列{an}中,a3=6,前三项和 S3= A.1 B.﹣ C.1 或﹣ D.﹣1 或﹣ 4xdx,则公比 q 的值为( )

【分析】根据题意,直接找出被积函数 4x 的原函数,直接计算在区间[0,3]上的定积分即可得 S3,再结 合等比数列的性质求得公比 q 的值即可. 3 【解答】解:∵S3=∫0 4xdx=18, ∴ ? 2q ﹣q﹣1=0 ? q=1 或 ,
2

故选 C. 【点评】本题考查等比数列的前 n 项和、定积分的基本运算,求定积分关键是找出被积函数的原函数,本 题属于基础题. 10. (5 分) (2011?临沂二模)已知 x>0,由不等式 x+ ≥2
*

=2,x+

=



3 A.2n

=3,…,可以推出结论:x+ B.3n C .n
2

≥n+1(n∈N ) ,则 a=(



D.n

n

【分析】根据题意,分析给出的等式,类比对 x+ 不等式的性质,可得 × ×…× ×

变形,先将其变形为 x+

= + +…+ +

,再结合

为定值,解可得答案.

【解答】解:根据题意,分析所给等式的变形过程可得,先对左式变形,再利用基本不等式化简.消去根 号,得到右式;

7页

对于给出的等式,x+ 要先将左式 x+ 在 + +…+ +

≥n+1, = + +…+ + ,

变形为 x+

中,前 n 个分式分母都是 n, 为定值,可得 a=n ,
n

要用基本不等式,必有 × ×…× ×

故选 D. 【点评】本题考查归纳推理,需要注意不等式左右两边的变化规律,并要结合基本不等式进行分析. 11. (5 分) (2016 秋?辽宁期中)对正整数 n,有抛物线 y =2(2n﹣1)x,过 P(2n,0)任作直线 l 交抛物 线于 An,Bn 两点,设数列{an}中,a1=﹣4,且 an= (其中 n>1,n∈N) ,则数列{an}的前 n 项和
2

Tn=( ) A.4n B.﹣4n C.2n(n+1) D.﹣2n(n+1) 2 【分析】设直线方程为 x=ty+2n,代入抛物线方程得 y ﹣2(2n﹣1)ty﹣4n(2n﹣1)=0,设 An(xn1,yn1) , B (xn2, yn2) , 则 = (t +1) yn1yn22nt (yn1+yn2) +4n , 由此利用根与系数的关系能求出数列{
2 2

}

的前 n 项和为﹣2n(n+1) . 【解答】解:设直线方程为 x=ty+2n, 2 代入抛物线方程得 y ﹣2(2n﹣1)ty﹣4n(2n﹣1)=0, 设 An(xn1,yn1) ,B(xn2,yn2) , 则
2

=xn1xn2+yn1yn2
2

=(t +1)yn1yn22nt(yn1+yn2)+4n ,①, 由根与系数的关系得 yn1+yn2=2(2n﹣1)t,yn1yn2=﹣4n(2n﹣1) , 代入①式得 =﹣4n(2n﹣1)t +4n =4n﹣4n ,
2 2 2



(n>1,n∈N) ,

故数列{

}的前 n 项和为﹣2n(n+1) .

故选:D. 【点评】本题考查数列的前 n 项和的求法,解题时要认真审题,解题时要注意抛物线性质、根与系数的关 系的合理运用. 12. (5 分) (2016?张掖模拟)已知二次函数 f(x)=ax +bx+c 的导数 f′(x) ,f′(0)>0,且 f(x)的值域 为[0,+∞) ,则 A.3 B. C .2 的最小值为( D. )
2

8页

【分析】由 f(x)的值域为[0,+∞) ,可得对于任意实数 x,f(x)≥0 成立求出 a 的范围及 a,b c 的关系, 求出 f(1)及 f′(0) ,作比后放缩去掉 c,通分后利用基本不等式求最值. 【解答】解:∵f(x)的值域为[0,+∞) , 即 f(x)≥0 恒成立, ∴ ,

∴c=



又 f′(x)=2ax+b, ∴f′(0)=b>0,f(1)=a+b+c.



=1+
2 2

=1+

=1+

≥1+

=2.

当且仅当 4a =b 时,“=”成立. 即 的最小值为 2

故选:C. 【点评】本题考查了函数恒成立问题,考查了导数的运算,训练了利用基本不等式求最值,关键是通过放 缩转化为含有两个变量的代数式,是中档题. 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分) 13. (5 分) (2016?延安校级模拟)设曲线 y= 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a= ﹣

2 . 【分析】求出原函数的导函数,得到函数在 x=3 时的导数值,由该导数值与直线的斜率乘积等于﹣1 得答 案. 【解答】解:∵y= ,





∴ ∵曲线 y= ∴

. 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,

×(﹣a)=﹣1,即 a=﹣2.

故答案为:﹣2. 【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,过曲线上某点处的切线的斜率,就是函数 在该点处的导数值,是中档题. 14. (5 分) (2016 秋?辽宁期中)若 (2x+k)dx=2,则 k 的值为 1 .

【分析】根据积分公式直接计算即可得到结论. 【解答】解: (2x+k)dx=(x +kx)|
2

=1+k=2,
9页

解得 k=1, 故答案为:1 【点评】本题主要考查积分的计算,要求熟练掌握常见函数的积分公式,比较基础.
3 2

15. (5 分) (2010?盐湖区校级模拟)已知 α、β 是三次函数 f(x)= x + ax +2bx(a,b∈R)的两个极 值点,且 α∈(0,1) ,β∈(1,2) ,则 的取值范围是 .

【分析】求出导函数,据韦达定理求出 α,β 与 a,b 的关系,据 α,β 的范围求出 a,b 的范围,画出关于 a,b 的不等式组的可行域,由图数形结合求出 【解答】解:f′(x)=x +ax+2b ∵α,β 是 f(x)的极值点, 所以 α,β 是 x +ax+2b=0 的两个根 ∴α+β=﹣a,αβ=2b ∵α∈(0,1) ,β∈(1,2) , ∴1<α+β<3,0<αβ<2 ∴1<﹣a<3,0<2b<2 ∴
2 2

的范围.

作出不等式组∴

的可行域

表示可行域中的点与(1,2)连线的斜率 有图知,当当点为(﹣3,1)和(﹣1,0)时分别为斜率的最小、最大值 所以此时两直线的斜率分别是 故答案为

【点评】本题考查函数在极值点处的值为 0;利用线性规划求函数的最值,关键是给目标函数几何意义.

10 页

16. (5 分) (2015 秋?绍兴校级期末)连接球面上两点的线段称为球的弦,半径为 4 的球的两条弦 AB、CD 的长度分别为 2 和 4 ,M、N 分别是 AB、CD 的中点,两条弦的两端都在球面上运动,有下面四个命 题: ①弦 AB、CD 可能相交于点 M; ②弦 AB、CD 可能相交于点 N; ③MN 的最大值是 5; ④MN 的最小值是 1; 其中所有正确命题的序号为 ①③④ . 【分析】根据题意,由球的弦与直径的关系,判定选项的正误,然后回答该题. 【解答】解:②错误.易求得 M、N 到球心 O 的距离分别为 3、2, 若两弦交于 N,则 OM⊥MN,Rt△OMN 中,有 OM<ON,矛盾. 分别取球 O 的两条弦 AB、CD 的中点 E、F,则 OE= ,OF= ,

即可以看做弦 AB、CD 分别是球半径为 3 和 2 的球的切线,且弦 AB 在半径为 2 的球的外部, 弦 AB 与 CD 只可能相交与 M 点,且 MN 的最大距离为 2+3=5,最小距离为 3﹣2=1,当 M、O、N 共线时 分别取最大值 5 最小值 1. 综上可得正确的命题的序号为①③④. 故答案为:①③④. 【点评】本题考查了球体的切线的性质及其空间位置关系问题,此类考题对空间想象能力的要求较高,考 生对与命题①②的正确性不能分析到位,是该题的错误率较高.本题考查球面距离及其计算,考查空间 想象能力,逻辑思维能力,是基础题. 三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 2 2 17. (10 分) (2015?南市区校级模拟)已知函数 f(x)=(sinx+cosx) +2cos x. (1)求 f( )的值;

(2)求 f(x)的递减区间. 【分析】 (1)首先利用三角关系式的恒等变换变形成正弦型函数,进一步求出函数的值. (2)根据(1)的结论,利用整体思想求单调区间. 【解答】解: (1)f(x)=1+2sinxcosx+2cos x=sin2x+cos2x+2= 所以: (2)令: (k∈Z) 所以 f(x)的单调减区间是 【点评】本题考查的知识要点:三角关系式的恒等变换变形成正弦型函数,进一步求出函数的值,利用整 体思想求单调区间. 18. (12 分) (2011 秋?南通期末)在△ABC 中,A、B、C 的对边分别是 a,b,c,且 bcosB 是 acosC,ccosA 的等差中项. (1)求∠B 的大小; (2)若 a+c= ,求△ABC 的面积.
11 页
2

+2= (k∈Z)

【分析】 (1) 利用等差中项的性质, 知 acosC+ccosA=2bcosB, 由正弦定理, 得 sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosB, 由此结合三角函数的性质能够求出∠B. (2)由(1)知 B= ,利用余弦定理得到 = ,再利用三角形面积公式 ,

能求出△ABC 的面积. 【解答】解: (1)∵bcosB 是 acosC,ccosA 的等差中项, ∴acosC+ccosA=2bcosB, 由正弦定理,得 sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosB, 即 sin(A+C)=2sinBcosB, ∵A+C=π﹣B,0<B<π, ∴sin(A+C)=sinB≠0, ∴cosB= ,B= .

(2)由 B=

,得

= ,

即 ∴ac=2, ∴





【点评】本题考查等差中项,正弦定理、余弦定理、三角形面积等公式的应用,解题时要认真审题,注意 三角函数恒等变换的灵活运用. 19. (12 分) (2016 秋?辽宁期中)已知数列{an}的首项 a1=2,且 an=2an﹣1﹣1(n∈N ,N≥2) (1)求证:数列{an﹣1}为等比数列;并求数列{an}的通项公式; (2)求数列{n?an﹣n}的前 n 项和 Sn. 【分析】 (1)已知通项公式变形,利用等比数列的性质判断得证,求出数列{an}的通项公式即可; (2)根据题意表示出数列{n?an﹣n}的前 n 项和 Sn,利用数列的递推式确定出 Sn 通项公式即可. 【解答】证明: (1)由 an=2an﹣1﹣1,得 an﹣1=2(an﹣1﹣1) , ∴数列{an﹣1}构成首项为 a1﹣1=1,公比 q=2 的等比数列, n﹣1 n﹣1 ∴an﹣1=2 ,即 an=2 +1; n﹣1 n﹣1 解: (2)∵nan﹣n=n?2 +n﹣n=n?2 , 0 1 2 n﹣1 ∴Sn=1?2 +2?2 +3?2 +…+n?2 ,①, 1 2 3 n 2Sn=1?2 +2?2 +3?2 +…+n?2 ,②, ②﹣①,得:Sn=﹣2 ﹣2 ﹣2 ﹣…﹣2
0 1 2 n﹣1 *

+n?2 =﹣

n

+n?2 =n?2 +1﹣2 =(n﹣1)2 +1.

n

n

n

n

【点评】此题考查了数列的求和,以及等比数列的通项公式,熟练掌握等比数列的通项公式是解本题的关 键. 20. (12 分) (2016?怀柔区模拟)如图,三角形 ABC 和梯形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB⊥BC,AF ⊥AC,AF 2CE,G 是线段 BF 上一点,AB=AF=BC=2.
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(Ⅰ)当 GB=GF 时,求证:EG∥平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 E﹣BF﹣A 的余弦值; (Ⅲ)是否存在点 G 满足 BF⊥平面 AEG?并说明理由.

【分析】 (Ⅰ)当 GB=GF 时,根据线面平行的判定定理即可证明 EG∥平面 ABC; (Ⅱ)建立空间直角坐标系,利用向量法即可求二面角 E﹣BF﹣A 的余弦值; (Ⅲ)根据线面垂直的判定定理和性质定理,建立条件关系即可得到结论. 【解答】解: (Ⅰ)取 AB 中点 D,连接 GD,CD, 又 GB=GF,所以 . 因为 ,所以 ,四边形 GDCE 是平行四边形, 所以 CD∥EG 因为 EG?平面 ABC,CD? 平面 ABC 所以 EG∥平面 ABC. (Ⅱ)因为平面 ABC⊥平面 ACEF,平面 ABC∩平面 ACEF=AC, 且 AF⊥AC,所以 AF⊥平面 ABC, 所以 AF⊥AB,AF⊥BC 因为 BC⊥AB,所以 BC⊥平面 ABF. 如图,以 A 为原点,建立空间直角坐标系 A﹣xyz. 则 F(0,0,2) ,B(2,0,0) ,C(2,2,0) ,E(2,2,1) , 是平面 ABF 的一个法向量.

设平面 BEF 的法向量 n=(x,y,z) ,则

,即

令 y=1,则 z=﹣2,x=﹣2,所以 n=(﹣2,1,﹣2) ,所以



由题知二面角 E﹣BF﹣A 为钝角,所以二面角 E﹣BF﹣A 的余弦值为 (Ⅲ)因为 所以不存在点 G 满足 BF⊥平面 AEG.



,所以 BF 与 AE 不垂直,

【点评】本题主要考查线面平行的判定以及空间二面角的计算,建立空间直角坐标系,利用向量法是解决 本题的关键.
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21. (12 分) (2016?赣州校级二模)已知函数 f(x)=x ﹣2|x﹣a|. (1)若函数 y=f(x)为偶函数,求 a 的值; (2)若 a= ,求函数 y=f(x)的单调递增区间; (3)当 a>0 时,若对任意的 x∈(0,+∞) ,不等式 f(x﹣1)≤2f(x)恒成立,求实数 a 的取值范围. 【分析】 (1)根据 f(﹣x)=f(x)恒成立,求得 a 的值.
2

2

(2)当 a= 时,f(x)=x ﹣2|x﹣a|=
2

,结合它的图象得到函数的单调增区间.

(3)不等式即 4|x﹣a|﹣2|x﹣1﹣a|≤x +2x﹣1 (※) ,分类讨论,去掉绝对值,求得它的解集. 2 2 【解答】解: (1)任取∈R,则有 f(﹣x)=f(x)恒成立,即 x ﹣2|﹣x﹣a|=x ﹣2|x﹣a|恒成立, ∴|x+a|=|x﹣a|恒成立,∴平方得 2ax=﹣2ax 恒成立,∴a=0.
2

(2)当 a= 时,f(x)=x ﹣2|x﹣a|=



由函数的图象可知,函数的单调递增区间为(﹣1, ]、[1,+∞) . (3)不等式式 f(x﹣1)≤2f(x)化为(x﹣1) ﹣2|x﹣1﹣a|≤2x ﹣4|x﹣a|, 2 即:4|x﹣a|﹣2|x﹣1﹣a|≤x +2x﹣1 (※) , 对任意的 x∈(0,+∞)恒成立,因为 a>0,所以分如下情况讨论: 2 ①0≤x≤a 时,不等式(※)化为﹣4(x﹣a)+2[x﹣(1+a)]≤x +2x﹣1 恒成立, 2 即 x +4x+1﹣2a≥0 对 x∈[0,a]恒成立, 2 ∵g(x)=x +4x+1﹣2a 在[0,a]上单调递增, 只需 g(x)的最小值 g(0)=1﹣2a≥0,∴0<a≤ . ②当 a<x≤a+1 时,不等式(※)化为 4(x﹣a)+2[x﹣(1+a)]≤x +2x﹣1 恒成立, 2 即 x ﹣4x+1+16a≥0 对 x∈(a,1+a]恒成立恒成立, 由①知 0<a< ,∴h(x)=x ﹣4x+1+16a 在∈(a,1+a]上单调递减, ∴只需 h(x)的最小值 h(1+a)=a +4a﹣2≥0,∴a≤﹣2﹣ ∵ ﹣2< ,∴ ﹣2≤a≤ .
2 2 2 2 2 2

或 a≥

﹣2,

③当 x>a+1 时,不等式(※)化为 4(x﹣a)﹣2[x﹣(1+a)]≤x +2x﹣1 恒成立, 2 即 x +2a﹣3≥0 对 x∈(a+1,+∞)恒成立. 2 由于 m(x)=x +2a﹣3≥0,且 m(x)在[a+1,+∞)上单调递增, 2 ∴只需 m(x)的最小值 m(1+a)=a +4a﹣2≥0,∴a≤﹣2﹣ 或 a≥ ﹣2, 由②得: ﹣2≤a≤ . ﹣2≤a≤ .

综上所述,a 的取值范围是:

【点评】本题主要考查分段函数的应用,函数的奇偶性、单调性的应用,函数的恒成立问题,属于中档题. 22. (12 分) (2013?滨州一模)已知函数 f(x)=1n(x﹣1)﹣k(x﹣1)+1 (1)求函数 f(x)的单调区间;
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(2)若 f(x)≤0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (3)证明: 且 n>1) ,由此能求出 f(x)的

【分析】 (1)由 f(x)=1n(x﹣1)﹣k(x﹣1)+1,知 x>1, 单调区间.

(2)由 f(x)≤0 恒成立,知? x>1,ln(x﹣1)≤k(x﹣1)﹣1,故 k>0.f(x)max=f(1+ )=ln ≤ 0,由此能求出实数 k 的取值范围. (3)令 k=1,能够推导出 lnx≤x﹣1 对 x∈(0,+∞)恒成立.取 x=n ,得到 能够证明 【解答】解: (1)∵f(x)=1n(x﹣1)﹣k(x﹣1)+1, ∴x>1, ∵x>1,∴当 k≤0 时, , >0,f(x)在(1,+∞)上是增函数; 且 n>1) .
2

,n≥2,由此

当 k>0 时,f(x)在(1,1+ )上是增函数,在(1+ ,+∞)上为减函数. (2)∵f(x)≤0 恒成立, ∴? x>1,ln(x﹣1)﹣k(x1)+1≤0, ∴? x>1,ln(x﹣1)≤k(x﹣1)﹣1, ∴k>0. 由(1)知,f(x)max=f(1+ )=ln ≤0, 解得 k≥1. 故实数 k 的取值范围是[1,+∞) . (3)令 k=1,则由(2)知:ln(x﹣1)≤x﹣2 对 x∈(1,+∞)恒成立, 即 lnx≤x﹣1 对 x∈(0,+∞)恒成立. 2 2 取 x=n ,则 2lnn≤n ﹣1, 即 ∴ ,n≥2, 且 n>1) .

【点评】 本题考查函数的单调区间的求法, 考查满足条件的实数的取值范围的求法, 考查不等式的证明. 解 题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.

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