当前位置:首页 >> 数学 >>

1.2.2 函数的表示法(1)


http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e12.com.cn
1.2.2 函数的表示法 整体设计 教学分析 课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法:解析法,图象法,列表法.函数的不 同表示方法能丰富对函数的认识,帮助理解抽象的函数概念.特别是在信息技术环境下,可以 使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现,使学生通过函数的

学习更好地体会数形结 合这种重要的数学思想方法.因此,在研究函数时,要充分发挥图象的直观作用.在研究图象时, 又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性.课本将映射作为函数的一种推广,这与传统的处 理方式有了逻辑顺序上的变化.这样处理,主要是想较好地衔接初中的学习,让学生将更多的 精力集中理解函数的概念,同时,也体现了从特殊到一般的思维过程. 三维目标 1.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法),会根据不同实际情境选择合适的方 法表示函数,树立应用数形结合的思想. 2.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用,提高应用函数解决实际问题的能力,增 加学习数学的兴趣. 3.会用描点法画一些简单函数的图象,培养学生应用函数的图象解决问题的能力. 4.了解映射的概念及表示方法,会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射,感受对应关 系在刻画函数和映射概念中的作用,提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识. 重点难点 教学重点:函数的三种表示方法,分段函数和映射的概念. 教学难点:分段函数的表示及其图象,映射概念的理解;运用集合两种常用表示——列举法与 描述法. 课时安排 3 课时 教学过程 第 1 课时 导入新课 思路 1.语言是沟通人与人之间的联系的,同样的祝福又有着不同的表示方法.例如,简体中文 中的“生日快乐! ”用繁体中文为:生日快樂! 英文为:Happy Birthday! 法文是 Bon Anniversaire! 德文是 Alles Gute Zum Geburtstag!西班牙中称 iFeliz CumpleaRos!印度尼西亚文是 Selamat Ulang Tahun! 荷兰文的生日快乐为 Van Harte Gefeliciteerd met jeverj aardag! 在俄语中则是 С днем рождения!……那么对于函数,又有什么不同的表示方法呢?引出课题:函数的表示法. 思路 2.我们前面已经学习了函数的定义,函数的定义域的求法,函数值的求法,两个函数是否 相同的判定方法,那么函数的表示方法常用的有哪些呢?这节课我们就来研究这个问题(板 书课题). 推进新课 新知探究 提出问题 初中学过的三种表示法:解析法、图象法和列表法各是怎样表示函数的? 讨论结果: (1)解析法:用数学表达式表示两个变量之间的函数关系,这种表示方法叫做解析法, 这个数学表达式叫做函数的解析式. (2)图象法:以自变量 x 的取值为横坐标,对应的函数值 y 为纵坐标,在平面直角坐标系中描出各 个点,这些点构成了函数的图象,这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法. (3)列表法:列一个两行多列的表格,第一行是自变量的取值,第二行是对应的函数值,这种用表

中鸿智业信息技术有限公司

http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e12.com.cn
格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法. 应用示例 思路 1 1.某种笔记本的单价是 5 元,买 x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要 y 元,试用三种表示法表示函数 y=f(x). 活动:学生思考函数的表示法的规定.注意本例的设问,此处“y=f(x)”有三种含义,它可以是解 析表达式,可以是图象,也可以是对应值表.本题的定义域是有限集,且仅有 5 个元素. 解:这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}, 用解析法可将函数 y=f(x)表示为 y=5x,x∈{1,2,3,4,5}. 用列表法可将函数 y=f(x)表示为 笔记本数 x 钱数 y 1 5 2 10 3 15 4 20 5 25

用图象法可将函数 y=f(x)表示为图 1-2-2-1.

图 1-2-2-1 点评:本题主要考查函数的三种表示法.解析法的特点是:简明、全面地概括了变量间的关系; 可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值,便于用解析式来研究函数的性质, 还有利于我们求函数的值域;图象法的特点是:直观形象地表示自变量的变化,相应的函数值 变化的趋势,有利于我们通过图象来研究函数的某些性质,图象法在生产和生活中有许多应用, 如企业生产图,股市走势图等;列表法的特点是:不需要计算就可以直接看出与自变量的值对 应的函数值,列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用,如银行利率表、列车时刻表等等. 但是并不是所有的函数都能用解析法表示,只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时, 这样的函数才可能有解析式,否则写不出解析式,也就不能用解析法表示.例如:张丹的年龄 n(n∈N*)每取一个值,那么他的身高 y(单位:cm)总有唯一确定的值与之对应,因此身高 y 是年 龄 n 的函数 y=f(n),但是这个函数的解析式不存在,函数 y=f(n)不能用解析法来表示. 注意:①函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等; ②解析法:必须注明函数的定义域,否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定 义域; ③图象法:根据实际情境来决定是否连线; ④列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征. 变式训练 1.已知函数 f(x)在[-1,2]上的图象如图 1-2-2-2 所示,求 f(x)的解析式.

中鸿智业信息技术有限公司

http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e12.com.cn

图 1-2-2-2 解: 观察图象,知此函数是分段函数,并且在每段上均是一次函数,利用待定系数法求出解析式 为: 当-1≤x≤0 时,f(x)=x+1;
? x ? 1, ? 1 ? x ? 0 , ? 当 0<x<2 时,f(x)= ? ,则有 f(x)= ? 1 2 ? ? x ,0 ? x ? 2 . ? 2

x

2.2007 山东青岛第一次调研,理 13 已知 2f(x)+f(-x)=3x+2,则 f(x)=________. 分析:由题意得 ?
? 2f(x) ? f(-x) ? 3x ? 2, ? 2f(-x) ? f(x) ? -3x ? 2,

把 f(x)和 f(-x)看成未知数,解方程即得. 答案:3x+
2 3

2.下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表: 第一次 王伟 张城 赵磊 班平均分 98 90 68 88.2 第二次 87 76 65 78.3 第三次 91 88 73 85.4 第四次 92 75 72 80.3 第五次 88 86 75 75.7 第六次 95 80 82 82.6

请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析. 活动:学生思考做学情分析,具体要分析什么?怎么分析?借助什么工具?本题利用表格给 出了四个函数,它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分.由于表 格区分三位同学的成绩高低不直观,故采用图象法来表示.做学情分析,具体要分析学习成绩 是否稳定,成绩变化趋势. 解:把“成绩”y 看成“测试序号”x 的函数,用图象法表示函数 y=f(x),如图 1-2-2-3 所示.

中鸿智业信息技术有限公司

http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e12.com.cn

图 1-2-2-3 由图 1-2-2-3 可看到: 王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分,学习情况比较稳定而且成绩优秀; 张城同学的数学成绩不稳定,总是在班级平均分水平上下波动,而且波动幅度较大; 赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势,表明他的数学成绩稳步提高. 点评:本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力,以及应用函数解决实 际问题的能力.通过本题可见,图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势. 注意: 本例为了研究学生的学习情况,将离散的点用虚线连接,这样便于研究成绩的变化特点. 变式训练 1.函数 y=x2-4x+6,x∈[1,5)的值域是_________. 分析:画出函数的图象,图象上所有点的纵坐标的取值范围就是函数的值域. 答案: [2,11) 2.将长为 a 的铁丝折成矩形,求矩形面积 y 关于一边长 x 的函数关系式,并求定义域和值域,作 出函数的图象. 分析:解此题的关键是先把实际问题转化成数学问题,即把面积 y 表示为 x 的函数,用数学的方 法解决,然后再回到实际中去. 解:设矩形一边长为 x,则另一边长为
? x ? 0, ? a - 2x ? 0,
a 2

1 2

(a-2x),则面积 y=
a 2

1 2

(a-2x)x=-x2+

1 2

ax.

又?

得 0<x<
1 16

,即定义域为(0,
1 16

).

由于 y=-(x ?

a 4

)2+

a2≤

a2,
1 16

如图 1-2-2-4 所示,结合函数的图象得值域为(0,

a2].

中鸿智业信息技术有限公司

http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e12.com.cn

图 1-2-2-4 3.2007 山东高考样题,文 8 向高为 H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量 V 与水深 h 的函数 关系的图象如图 1-2-2-5 所示,那么水瓶的形状是( )

图 1-2-2-5 图 1-2-2-6 分析:要求由水瓶的形状识别容积 V 和高度 h 的函数关系,突出了对思维能力的考查. 观察图象,根据图象的特点发现:取水深 h=
H 2

,注水量 V′>

V0 2

,

即水深为一半时,实际注水量大于水瓶总水量的一半. A 中 V′< 答案:B 思路 2 1.2007 宁夏银川一模,理 14 已知 f( 活动: 学生思考函数的解析式表达的含义.设
1? x 1? x 1? x 1? x
1? x 1? x

V0 2

,C、D 中 V′=

V0 2

,故排除 A、C、D.

)=

1? x 1? x

2 2

,则 f(x)=________.

=t,利用换元法,转化为求 f(t).利用整体思想把

看成一个整体,即可得函数的解析式.要注意函数 f(t)与 f(x)是同一个函数.

分析: 可设
1? x 1? x

=t,则有 x=
1? ( 1? t 1? t 1? t ) )
2

1? t 1? t

,

所以 f(t)=
1? (

=
2

2t 1? t
2

,

所以 f(x)= 答案:

1? t 2x
2

1? x
2

.

2x 1? x

变式训练

中鸿智业信息技术有限公司

http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e12.com.cn
课本 P26 练习 1. 点评:本题主要考查函数的解析式.已知 f[g(x)]=φ(x),求 f(x)的解析式时,通常用换元法,其 步骤是:①设 g(x)=t;②把 t 看成常数,解关于 x 的方程 g(x)=t 得 x=h(t);③将 x=h(t)代入 φ(x),得 函数 f(t)的解析式;④再用 x 替换 f(t)的解析式中的 t 得函数 f(x)的解析式. 其实求函数的解析式方法很多,例如方程法:对于已知等式中出现两个不同变量的函数关系式, 依据这两个变量的关系,重新建立关于这两个变量的不同等式,利用整体思想,把 f(x)和另一个 函数看成未知数,解方程组得函数 f(x)的解析式.类似于解二元一次方程组,故称为方程法.待 定系数法:已知函数的模型求其解析式时,常用待定系数法. 2.已知函数 f(x)=
3x ? 7 x ? 2

.

(1)画出函数 f(x)的图象; (2)观察图象写出函数的定义域和值域. 活动:学生思考函数图象的画法.利用变换法画函数 f(x)的图象,利用图象法写出函数的定义 域和值域.形如函数 y= 得到,因此函数 y= 解:(1)y= 将 y=
1 x 3x ? 7 x ? 2 ax ? b cx ? d

(c≠0,a2+b2≠0)的图象均可由反比例函数 y=

k x

的图象经过平移

ax ? b cx ? d

(c≠0,a2+b2≠0)的图象形状是双曲线. =
1 x? 2

=

3x ? 6 ? 1 x?2

.
1 x? 2

的图象向左平移两个单位得 y=

的图象,再向上平移三个单位得 y=

1 x? 2

+3 的

图象. 图象如图 1-2-2-7 所示.

图 1-2-2-7 (2)观察函数的图象图 1-2-2-7, 可知图象上所有点的横坐标的取值范围是(-∞,-2)∪(-2,+∞), 图象上所有点的纵坐标的取值范围是(-∞,3)∪(3,+∞). 则函数的定义域是(-∞,-2)∪(-2,+∞),值域是(-∞,3)∪(3,+∞). 点评:本题主要考查函数的定义域、值域和图象.画不熟悉的函数的图象,可以变形成由基本 函数,利用变换法画出图象,但要注意变形过程是否等价,注意 x,y 的变化范围.因此必须熟记基 本初等函数的图象,如:正、 反比例函数,一次、 二次函数的图象,在变换函数的解析式中运用了 转化和分类讨论的思想. 求函数值域的方法: ①图象法,借助于函数值域的几何意义,利用函数的图象求值域; ②观察法,对于解析式比较简单的函数,利用常见的结论如 x2≥0,|x|≥0,x≥0 等观察出函数的值 域; ③换元法,利用换元法转化为求常见函数如二次函数的值域等.

中鸿智业信息技术有限公司

http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e12.com.cn
注意:讨论函数的值域要先考虑函数的定义域,本例中(1)如果忽视函数的定义域,那么会错误 地得函数值域为[-1,+∞).避免此类错误的方法是研究函数时要遵守定义域优先的原则. 变式训练 求下列函数的值域:(1)y=x2-2x(-1≤x≤2);(2)y=x4+1. 分析:本题主要考查函数的值域及其求法.(1)借助于函数值域的几何意义,利用函数的图象求 值域;(2)观察得 x4≥0,得函数的值域,也可以利用换元法转化为求二次函数的值域. (1)解: (图象法)在平面直角坐标系中画出二次函数 y=x2-2x(-1≤x≤2)的图象,如图 1-2-2-8 所示:

图 1-2-2-8 函数 y=x -2x(-1≤x≤2)的图象上所有点的纵坐标的取值范围就是函数的值域,观察图象知函数 的值域是[-1,3]. (2)解法一:(观察法)函数的定义域是 R,则 x4≥0,有 x4+1≥1,即函数 y=x4+1 的值域是[1,+∞). 解法二:(换元法)函数的定义域是 R,设 x2=t,则 t≥0,则有 y=t2+1.利用图象可求得当 t≥0 时,二 次函数 y=t2+1 的值域是[1,+∞),即函数 y=x4+1 的值域是[1,+∞). 3.车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有 3 500 辆次,其中电动车保管费是每辆一次 0.5 元,自行车保管费是每次一辆 0.3 元. (1)若设自行车停放的辆次数为 x,总的保管费收入为 y 元,试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)若估计前来停放的 3 500 辆次自行车中,电动车的辆次不小于 25%,但不大于 40%,试求该保 管站这个星期日收入保管费总数的范围. 活动:让学生审清题意读懂题.求解析式时不要忘记函数的定义域,要考虑自变量的取值必须 使解析式有意义.然后再根据解析式列不等式求解.总的保管费=自行车保管费+电动车保管 费. 解:(1)由题意得 y=0.3x+0.5(3500-x)=-0.2x+1750,x∈N*且 0≤x≤3500. (2)若电动车的辆次不小于 25%,但不大于 40%, 则 3500× (1-40%)≤x≤3 500×(1-25%), 即 2100≤x≤2 625, 画出函数 y=-0.2x+1750(2 100≤x≤2 625)的图象,可得 函数 y=-0.2x+1750(2100≤x≤2625)的值域是[1225,1330], 即收入在 1225 元至 1330 元之间. 点评:本题主要考查函数的解析式和值域,以及应用函数知识解决实际问题的能力.解函数应 用题的步骤是①审清题意读懂题;②恰当设未知数;③列出函数解析式,并指明定义域;④转化 为函数问题,并解决函数问题;⑤将数学问题的答案还原为实际答案. 变式训练 2007 山东实验中学级第一次诊断性测试,文 13 水池有 2 个进水口,1 个出水口,每个水口进出 水的速度如图 1-2-2-9 甲、 乙所示.某天 0 点到 6 点,该水池的蓄水量如图 1-2-2-9 丙所示(至少 打开一个水口).
2

中鸿智业信息技术有限公司

http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e12.com.cn

图 1-2-2-9 给出以下三个论断: ①0 点到 3 点只进水不出水; ②3 点到 4 点不进水只出水; ③4 点到 6 点不进水不出水; 其中一定正确的论断是( ) A.① B.①② C.①③ D.①②③ 分析:由图 1229 甲可看出,如果进水口与出水口同时打开,每个进水口的速度为出水口速度的 一半,即 v 进水=
1 2

v 出水;由图丙可看出在 0 点到 3 点之间蓄水量以速度 2 匀速增加,所以在此时

间段内一定是两个进水口均打开,出水口关闭,故①正确.由图丙可看出在 3 点到 4 点之间蓄水 量以速度 1 匀速减少,所以在此时间段内一定是一个进水口打开,出水口打开,故②不正确.由 图丙可看出在 4 点到 6 点之间蓄水量不变,所以在此时间段内一定是两个进水口打开,出水口 打开,或者两个进水口关闭,出水口关闭,故③不正确.综上所述论断仅有①正确. 答案:A 知能训练 课本 P23 练习 2、3. 【补充练习】 1.等腰三角形的周长是 20,底边长 y 是一腰长 x 的函数,则( ) A.y=10-x(0<x≤10) B.y=10-x(0<x<10) C.y=20-2x(5≤x≤10) D.y=20-2x(5<x<10) 分析:根据等腰三角形的周长列出函数解析式. ∵2x+y=20,∴y=20-2x.则 20-2x>0.∴x<10.由构成三角形的条件(两边之和大于第三边)可知 2x>20-2x,得 x>5,所以函数的定义域为{x|5<x<10}.所以 y=20-2x(5<x<10). 答案:D 2.2007 北京四中第一次统测,文 4 定义在 R 上的函数 y=f(x)的值域为[a,b],则 y=f(x+1)的值域 为( ) A.[a,b] B.[a+1,b+1] C.[a-1,b-1] D.无法确定 分析:将函数 y=f(x)的图象向左平移一个单位得函数 y=f(x+1)的图象,由于定义域均是 R,则这 两个函数图象上点的纵坐标的取值范围相同,所以 y=f(x+1)的值域也是[a,b]. 答案:A 3.2006 陕西高考,文 2 函数 f(x)= A.(0,1) B.(0,1]
1 1? x
2

(x∈R)的值域是( C.[0,1)
1 1? x

) D.[0,1]
2

分析:(观察法)定义域是 R,由于 x2≥0,则 1+x2≥1,从而 0< 答案:B 拓展提升

≤1.

中鸿智业信息技术有限公司

http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e12.com.cn
问题:变换法画函数的图象都有哪些? 解答:变换法画函数的图象有三类: 1.平移变换: (1)将函数 y=f(x)的图象向左平移 a(a>0)个单位得函数 y=f(x+a)的图象; (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 a(a>0)个单位得函数 y=f(x-a)的图象; (3)将函数 y=f(x)的图象向上平移 b(b>0)个单位得函数 y=f(x)+b 的图象; (4)将函数 y=f(x)的图象向下平移 b(b>0)个单位得函数 y=f(x)-b 的图象. 简记为“左加(+)右减(-),上加(+)下减(-)”. 2.对称变换: (1)函数 y=f(x)与函数 y=f(-x)的图象关于直线 x=0 即 y 轴对称; (2)函数 y=f(x)与函数 y=-f(x)的图象关于直线 x=0 即 x 轴对称; (3)函数 y=f(x)与函数 y=-f(-x)的图象关于原点对称. 3.翻折变换: (1)函数 y=|f(x)|的图象可以将函数 y=f(x)的图象位于 x 轴下方部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方,去 掉原 x 轴下方部分,并保留 y=f(x)的 x 轴上方部分即可得到. (2)函数 y=f(|x|)的图象可以将函数 y=f(x)的图象 y 轴右边部分翻折到 y 轴左边替代原 y 轴左 边部分并保留 y=f(x)在 y 轴右边部分图象即可得到. 函数的图象是对函数关系的一种直观、形象的表示,可以直观地显示出函数的变化状况及其 特性,它是研究函数性质时的重要参考,也是运用数形结合思想研究和运用函数性质的基础. 另一方面,函数的一些特性又能指导作图,函数与图象是同一事物的两个方面,是函数的不同 表现形式.函数的图象可以比喻成人的相片,观察函数的图象可以解决研究其性质,当然,也可 以由函数的性质确定函数图象的特点.借助函数的图象来解决函数问题,函数的图象问题是高 考的热点之一,应引起重视. 课堂小结 本节课学习了:函数的三种表示方法,在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函 数. 作业 课本 P24 习题 1.2A 组 7、8、9. 设计感想 本节教学设计容量较大,尽量借助于信息技术来完成.本节的设计重点是函数的三种表示方法, 提出了表示法的应用,特别是用图象法求函数的值域,并对求函数值域的方法进行了总结以满 足高考的要求. (设计者:张新军)

中鸿智业信息技术有限公司


相关文章:
1.2.2函数的表示法教案
1.2.2函数的表示法教案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。§1.2.2 函数的表示法 一、教学目标: 1. 知识与技能 (1)明确函数的三种表示方法; (2)会根据不...
1.2.2(第1课时)函数的表示法(含答案)
1.2.2(第1课时)函数的表示法(含答案)_数学_高中教育_教育专区。课时提升卷...设 f(x)= (x-1)2+c, 由于点 (0,0) 在函数图象上 , ∴ f(0)=(0...
1.2.2函数的表示法(1)
1.2.2函数的表示法(1)_数学_高中教育_教育专区。1.2.2 函数的表示法(1) 1. 理解函数的三种不同的表示方法:列表法,图象法和解析法,并体会它们的优缺点;...
1.2.2函数的表示法(1)
1.2.2函数的表示法(1)_数学_高中教育_教育专区。1.2.2 函数的表示法(1)(一)教学目标 1.知识与技能 (1)了解函数的三种表示法的各自优点,掌握用三种不同...
1.2.2 函数的表示法(1)
1.2.2 函数的表示法(1) 教学目标:明确函数的三种表示方法(解析法、列表法、图像法) ,了解三种表示方法各 自的优点,在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的...
1.2.2 函数的表示法(1)
1.2.2 函数的表示法(1) 重庆市丰都实验中学 黄少华 学习目标:明确函数的三种表示方法,了解分段函数及简单应用,理解函数图象的翻折. 学习过程: 一、自主学习 1...
1.2.2函数的表示法
饶平二中 2010 学年度第一学期高一数学教案 课题 1.2.2 函数的表示法 课时 第 6(2 节)课时 教学目标 知识与 技能 (1)明确函数的三种表示方法; (2)会根据...
高中数学必修一1.2.2.1《函数的表示法》(1)导学案
高中数学必修一1.2.2.1《函数的表示法(1)导学案_数学_高中教育_教育专区。太姥山中学必修一导学案 1.2.2.1《函数的表示法(1)导学案班级 姓名 时间...
1.2.2 函数的表示法第一课时教案
1.2.2 函数的表示法第一课时教案_表格类模板_表格/模板_应用文书。1.2.2 ...掌握本 举例 已知二次函数满足 f (1) ? 0 , f ( ? 1) ? 2 , 且...
2.2.1-函数的表示法1
2.2.1-函数的表示法1_小学作文_小学教育_教育专区。2.2.1 函数的表示法 1 教学目的: 1.掌握函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法. 2.培养数形...
更多相关标签:
1.2.2函数的表示法ppt | 5.1函数与它的表示法 | 18.4 1 函数的表示法 | 函数的表示法ppt | 函数的表示法 | 函数的表示法教案 | 函数的表示法视频 | 函数的概念及表示法 |