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宁夏银川一中2015届高三上学期第五次月考试题 数学(理) Word版含答案


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银川一中 2015 届高三年级第五次月考

数 学 试 卷(理)
命题人:吕良俊

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 A ? ?x | x ? 3?, B ? ? x |

? ?

x ?1 ? ? 0? ,则 A B = 4? x ?

A. ?
2.已知 z 是纯虚数,

B.

? 3, 4?

C . ? ?2,1?

D.

? 4. ? ??

z?2 是实数,那么 z 等于 1-i
B .i

A .2i

C .-i

D .-2i

( 1, ? ?) 3.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx, 则“ f (2) ? 0 ”是“函数 f ( x) 在 单调递增”的
A . 充分条件 B . 充分不必要条件
D .既不充分也不必要条件

C . 必要不充分条件
4.某三棱锥的三视图如图所示, 该三梭锥的表面积是

4

A . 28+6 B . 30+6

5 5 5 5

2 正视图

3

4 侧视图

C . 56+ 12
D . 60+12

俯视图

5.已知实数, m ,9 构成一个等比数列,则圆锥曲线
A. 30 6

x2 ? y 2 ? 1 的离心率为 m
5 D. 或7 6

B. 7

C.

30 或 7 6

6.函数 y ?

x , x ? (?? ,0) ? (0, ? ) 的图象可能是下列图象中的 sin x

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? y?x ? 7.设 m ? 1, 在约束条件 ? y ? m x 下,目标函数 z ? x ? my 的最大值小于 2,则 m 的取值范 ?x ? y ? 1 ?
围为

A . 1,1 ? 2

?

?
)

B . 1 ? 2 ,??

?

?

C . ?1,3?

D . ?3,???

8.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b , c ,已知 a ? 2 3, c ? 2 2 ,1 ? 则 ?C ? (

tan A 2c ? . b tan B

A . 30?

B . 135?

C . 45? 或 135?

D . 45?

9.若正四面体 ABCD 的顶点 A, B, C 分别在两两垂直的三条射线 Ox , Oy , Oz 上,则在下 列命题中,错误 的为 .. A . OA ? OB ? OC ;

B .直线 OB ∥平面 ACD ;
?

C .直线 AD 与 OB 所成的角是 45 ;
2

D .二面角 D ? OB ? A 为 45?

10 .在平面直角坐标系 xOy 中,已知向 量 OA 与 OB 关 于 y 轴 对称 , 向 量 a ? (1,0) , 点

A( x, y ) 满足不等式 OA ? a ? AB ? 0 ,则 x ? y 的取值范围
A .[

1? 2 1? 2 ] , 2 2

B .[ 1 ? 2 ,1 ? 2 ]

C .[ ?

2 2 , ] 2 2

D .[ ? 2,2 ]

11.设抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点为 F ,过点 M ( 3 ,0)的直线与抛物线相交于 A, B 两点,与 抛物线的准线相交于点 C , BF ?

S 5 ,则 ?BCF 与 ?AC F 的面积之比 ?BCF ? 2 S ?ACF
C.
3 4
D.

A.

1 2

B.

2 3

4 5

12.已知两条直线 l1 : y ? m 和 l2 : y ?

8 (m ? 0) , l1 与函数 y ? log2 x 的图像从左至右 2m ? 1
b a

相交于点 A, B , l2 与函数 y ? log2 x 的图像从左至右相交于 C , D .记线段 AC 和 BD 在

x 轴上的投影长度分别为 a , b ,当 m 变化时, 的最小值为
A .2 2 B .4 2

C .6 2

D .8 2

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知直线 l 过原点,且点 A( 3,1) 到直线 l 的距离为 1,则直线 l 的斜率 k = . .

? ?? 4 ? 14.设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 cos ( 2? ? ) 的值为 6? 5 6 ?

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15 .以抛物线 y 2 ? 20x 的焦点为圆心,且与双曲线 方程为 .

x y ? ? 1 的两条渐近线都相切的圆的 16 9

2

2

16.对于实数 a 和 b ,定义运算“*”: a ? b ? ?

2 ? ?a ? ab, a ? b ,设 f ( x) ? (2 x ? 1) ? ( x ? 1) ,且 2 ? b ? ab , a ? b ?

关于 x 的方程为 f ( x) ? m(m ? R) 恰有三个互不相等的实数根 x1 , x2 , x3 ,则 x1 x2 x3 的取 值范围是_________________. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

2 ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x . 2 4
?
2 ) ? g ( x ) , 且 当 x ? [0,

(Ⅰ )求函数 f ( x ) 的最小正周期; ( Ⅱ ) 设 函 数 g ( x) 对 任 意 x ? R , 有 g ( x ?

?
2

] 时,

1 ? f ( x) ,求函数 g ( x) 在 [?? , 0] 上的解析式. 2 18. (本小题满分 12 分) g ( x) ?
已知 {a n } 是等差数列,其前 n 项和为 S n , {bn } 是等比数列,且

a1 ? b1 ? 2, a 4 ? b4 ? 27 , S 4 ? b4 ? 10 .
(Ⅰ )求数列 {a n } 与 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)记 Tn ? a n b1 ? a n ?1b2 ? ? ? a1bn , n ? N * ,证明: Tn ? 12 ? ?2a n ? 10bn ( n ? N * ). 19. (本小题满分 12 分) 如图,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直, AD ? CD , AB ∥ CD ,

AB ? AD ?

1 CD ? 2 ,点 M 在线段 EC 上. 2 (I)当点 M 为 EC 中点时,求证: BM ∥平面 ADEF ; (II)当平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角

6 时,求三棱锥 M ? BDE 的体积. 6 20.(本小题满分 12 分)
的余弦值为 椭圆 线x ? ?

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的焦点在 x 轴上, 其右顶点关于直线 x ? y ? 4 ? 0 的对称点在直 4 b2

a2 上. c a2 于点 C. 设 O 为坐 c

(I)求椭圆的方程; (II)过椭圆左焦点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点,交直线 x ? ? 标原点,且 OA ? OC ? 2OB, 求△OAB 的面积. 21.(本小题满分 12 分)
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已 知 函 数 f ( x) ? ?

?? x ? ax ? bx, ( x ? 1)
3 2

? c ln x, ( x ? 1)

的 图 像 在 点 (?2, f (?2)) 处 的 切 线 方 程 为

16x ? y ? 20 ? 0 .
(I)求实数 a , b 的值及函数 f ( x) 在区间 [?1,2] 上的最大值; (II)曲线 y ? f ( x) 上存在两点 M 、 N ,使得 ?MON 是以坐标原点 O 为直角顶点的直 角三角形,且斜边 MN 的中点在 y 轴上,求实数 c 的取值范围. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, ⊙ O 是△ ABC 的外接圆,D 是⌒ AC 的中点,BD 交 AC 于 E. (Ⅰ)求证: DC 2 ? DE ? DB ; (Ⅱ)若 CD ? 2 3 ,O 到 AC 的距离为 1,求⊙O 的半径 r . 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 O. C E A D B

? ?x ? t 平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) , ? ? y ? 3t
以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线
C 的极坐标方程为 ? 2 cos 2 ? ? ? 2 sin2 ? ? 2? sin? ? 3 ? 0 .

(Ⅰ)求直线 l 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,求 | AB | . 24.(本小题满分 l0 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) ?| x ? 2 | ? | x ? 1 | . (Ⅰ)求证: ? 3 ? f ( x ) ? 3 ; (Ⅱ)解不等式 f ( x ) ? x 2 ? 2 x .

银川一中 2015 届高三年级第五次月考 数学试卷(理)答案
一、 题号 答案 二、 选择题: 1 2 B D 3 C 4 B 5 C 6 C 7 A 8 D 9 B 10 B 11 A 12 D

填空题: 14.

13.0 或 3 ;

24 ; 25

15. ( x ? 5) ? y ? 9 ;16. (
2 2

1? 3 ,0) . 16

三、解答题: 17.(本小题满分 12 分) 【解】 (I) f ( x) ?

2 ? 1 1 1 cos(2 x ? ) ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) 2 4 2 2 2

?

1 1 ? sin 2 x , 2 2

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? 函数 f ( x) 的最小正周期 T ? 2? ? ? 2 ? 1 1 (2)当 x ? [0, ] 时, g ( x) ? ? f ( x) ? sin 2 x 2 2 2
当 x ? [?

) ? [0, ] 2 2 ? 1 ? 1 g ( x) ? g ( x ? ) ? sin 2( x ? ) ? ? sin 2 x 2 2 2 2 2

?

, 0] 时, ( x ?

?

?

当 x ? [?? , ?

) 时, ( x ? ? ) ? [0, ) 2 1 1 g ( x) ? g ( x ? ? ) ? sin 2( x ? ? ) ? sin 2 x 2 2 2

?

?

? ? 1 ? sin 2 x( ? ? x ? 0) ? 2 2 。 ? g ( x) 在 [?? , 0] 上的解析式为 g ( x) ? ? ? 1 ? ? sin 2 x( ?? ? x ? ) ? ? 2 2
18.(本小题满分 12 分)

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19. (本小题满分 12 分) 解: (1)以直线 DA 、 DC 、 DE 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间 直角坐标系,则 A( 2,0,0) , B( 2,2,0) C (0,4,0) , E (0,0,2) ,所以 M (0,2,1) . ∴ BM ? (?2,0,1) ————————2 分 又, OC ? (0,4,0) 是平面 ADEF 的一个法向量. ∵ BM ? OC ? 0 即 BM ? OC ∴ BM ∥平面 ADEF ——————4 分 (2)设 M ( x , y, z ) ,则 EM ? ( x, y, z ? 2) , 又 EC ? (0,4,?2) 设 EM ? ? EC(0 ? ? ? 1 ,则, x ? 0, y ? 4? , z ? 2 ? 2? 即 M (0,4? ,2 ? 2? ) .——6 分 设 n ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 BDM 的一个法向量,则

OB ? n ? 2 x1 ? 2 y1 ? 0 OM ? n ? 4?y1 ? (2 ? 2? )z1 ? 0 2? 2? 取 x1 ? 1 得 y1 ? ?1, z1 ? 即 n ? (1,?1, ) 1? ? 1? ? 又由题设, OA ? (2,0,0) 是平面 ABF 的一个法向量,——————8 分

6 4? 2 (1 ? ? ) 即点 M 为 EC 中点,此时, S ?DEM ? 2 , AD 为三棱锥 B ? DEM 的高, 1 4 ∴ VM ? BDE ? VB? DEM ? ? 2 ? 2 ? ————————————12 分 3 3 20.(本小题满分 12 分) 解: (1)椭圆的右顶点为(2,0) , 2 2?
2



| cos ? OA, n ?|?

OA ? n | OA | ? | n |

?

2

?

6

?? ?

1 ————10 分 2

设(2,0)关于直线 x ? y ? 4 ? 0 的对称点为( x0 , y 0 ) ,

? x0 ? 2 y 0 ? ? 4 ? 0, ? 2 ? 2 则? ………………4 分 y 0 ? ? ?1, ? x ? 2 ? 0
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解得 x0 ? ?4, 所以 则b ?

a 4 ? , c ? 1, c c

2

3 ,所求椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 4 3 --------------------------6 分

(2)设 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C(?4, y3 ), 由?

?3x 2 ? 4 y 2 ? 14, 得(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0, ? y ? k ( x ? 1),
? 8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? , …………② …………①, 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

所以 x1 ? x 2 ?

因为 OA ? OC ? 2OB, 即 ( x1 , y1 ) ? (?4, y2 ) ? 2( x2 , y2 ) , 所以 2 x2 ? x1 ? ?4 ……③……………………6 分 由①③得 x 2 ? 代入②得, ?

4 ? 8k 2 4 , x1 ? . 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

4 ? 8k 2 4 4k 2 ? 12 ? ? ,整理得 4k 4 ? k 2 ? 5 ? 0, …………8 分 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4 k 3 ? 4k 1 7 5 2 所以 k ? , 所以 x1 ? , x 2 ? ? , ……………………10 分 2 4 4
5 时,△OAB 的面积. 2 1 9 3 3 5. ……12 分 5, y2 ? ? 5 , 所以 S ?OAB ? | OF | ? | y1 ? y 2 |? 此时, y1 ? 2 16 4 8
由于对称性,只需求 k ?

21.(本小题满分 12 分)
3 2 当 x ? 1 时, f ( x) ? ? x ? x

此时 f ( x) 在 [ ?1, 2] 上的最大值为 f (?1) ? 2 ; 当 c ? 0 时, f ( x) ? c ? ln x 在 [1, 2] 上单调递增,且 f (2) ? c ? ln 2 .

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2 2 ,所以当 c ? 时, ln 2 ln 2 f ( x) 在 [?1, 2] 上的最大值为 f (2) ? c ? ln 2 ; 2 当0 ? c≤ 时, f ( x) 在 [ ?1, 2] 上的最大值为 f (?1) ? 2 . ln 2 2 综上可知,当 c ≤ 时, f ( x) 在 [ ?1, 2] 上的最大值为 2 ; ln 2 2 当c ? 时, f ( x) 在 [ ?1, 2] 上的最大值为 c ? ln 2 . (8 分) ln 2 ?? x3 ? x 2 ,??( x ? 1) ( 2 ) f ( x) ? ? ,根据条件 M , N 的横坐标互为相反数,不妨设 ?c ln x,??( x ≥ 1)
令 c ? ln 2 ? 2 ,则 c ?

M (?t , t 3 ? t 2 ) , N (t , f (t )) , (t ? 0) . 若 t ? 1 ,则 f (t ) ? ?t 3 ? t 2 ,
由 ?MON 是直角得, OM ? ON ? 0 ,即 ?t 2 ? (t 3 ? t 2 )(?t 3 ? t 2 ) ? 0 , 即 t 4 ? t 2 ? 1 ? 0 .此时无解; (10 分) 若 t ≥ 1 ,则 f (t ) ? c ? ln t . 由于 MN 的中点在 y 轴上,且 ?MON ? 90 ,所以 N 点 能在 x 轴上,即 t ? 1 . 同理有 OM ? ON ? 0 ,即 ?t 2 ? (t 3 ? t 2 ) ? c ln t ? 0 , 由于函数 g (t ) ? 不 可

c?

1 . (t ? 1) ln t

1 (t ? 1) 的值域是 (0, ??) ,实数 c 的取值 范 围 是 (0, ??) 即 (t ? 1) ln t

为所求. 12 分 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 解: (I)证明:∵ ?ABD ? ?CBD , ?ABD ? ?ECD ∴ ?CBD ? ?ECD ,又 ?CDB ? ?EDC , ∴△ BCD ~△ CED ,∴ ∴CD 2 =DE·DB;

DE DC , ? DC DB

………………(5 分)

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)消去参数得直线 l 的直角坐标方程: y ? 3 x ---------2 分

? x ? ? cos ? ? 由? 代入得 ? sin? ? 3? cos? ? ? ? ( ? ? R) . y ? ? sin ? 3 ?
( 也可以是: ? ?

4? ( ? ? 0) )---------------------5 分 3 3 ? ? 2 cos 2 ? ? ? 2 sin2 ? ? 2? sin? ? 3 ? 0 ? (Ⅱ) ? 得 ? ? ? ? 3 ?

?

或? ?

? 2 ? 3? ? 3 ? 0 -----------------------------7 分
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设 A( ? 1 ,

?

) , B( ? 2 , ) , 3 3

?

则 | AB |?| ?1 ? ? 2 |? ( ?1 ? ? 2 ) 2 ? 4?1 ? 2 ? 15 .---------10 分 (若学生化成直角坐标方程求解,按步骤对应给分)

24.(本小题满分 l0 分)选修 4—5:不等式选讲 ( x ? ?1) ? 3 ? 解: (1) f ( x ) ? ?? 2 x ? 1 ( ?1 ? x ? 2) ,------------------3 分 ? ?3 ( x ? 2) ? 又当 ? 1 ? x ? 2 时, ? 3 ? ?2 x ? 1 ? 3 , ∴ ? 3 ? f ( x ) ? 3 -----------------------------------------------5 分 (2)当 x ? ? 1 时, x 2 ? 2 x ? 3 ? ?1 ? x ? 2 ? x ? 1 ; 当 ? 1 ? x ? 2 时, x 2 ? 2 x ? ?2 x ? 1 ? ?1 ? x ? 1 ? ?1 ? x ? 1 ; 当 x ? 2 时, x 2 ? 2 x ? ?3 ? x ? ? ;-------------------------8 分

综合上述,不等式的解集为: ?? 1,1? .-------------------------10 分

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