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湖北省襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中联考2014-2015学年高二上学期期


湖北省襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中联考 2014-2015 学年高二 上学期期中数学试卷(文科)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知 A?B,A?C,B={1,2,3,5},C={0,2,4,8},则 A 可以是() A.{1,2} B.{2,4} C.{2} D.{4} 2. (5 分)等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列{an}前 9 项的和 S9 等于() A.99 B.66 C.297 D.144 3. (5 分)有如下四个游戏盘,撒一粒黄豆,若落在阴影部分,就可以中奖,若希望中奖的 机会最大,则应该选择的游戏是()

A.

B.

C.

D.

4. (5 分)要得到函数 y=sinx 的图象,只需将函数 y=cos(x﹣ A.向右平移 C. 向左平移 个单位 个单位 B. 向右平移 D.向左平移

)的图象()

个单位 个单位

5. (5 分)直线 2(m﹣1)x﹣3y+1=0 与直线 mx+(m+1)y﹣3=0 平行,则 m=() A. B.﹣2 C. ﹣ 或 3 D. 或﹣2

6. (5 分)设 a,b 为两个不重合的平面,l,m,n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 a∥b,l⊥a,则 l⊥b;②若 m⊥a,n⊥a,m∥b,n∥b,则 a∥b;③若 l∥a,l⊥b, 则 a⊥b;④若 m、n 是异面直线,m∥a,n∥a,且 l⊥m,l⊥n,则 l⊥a. 其中真命题的序号是() A.①③④ B.①②③ C.①③ D.②④ 7. (5 分)已知 x 与 y 之间的一组数据如下表,根据表中提供的数据,求出 y 关于 x 的线性 回归方程为 x y 3 2.5 4 3 5 4 ,那么 b 的值为() 6 4.5

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A.0.5

B.0.6

C.0.7

D.0.8

8. (5 分)函数 y=

(0<φ<

)的图象如图,则

() A.k= ,ω= ,φ= C. k=﹣ ,ω=2,φ= B. k= ,ω= ,φ= D.k=﹣2,ω=2,φ=

9. (5 分)当曲线 y=1﹣ 值范围是()

与直线 kx﹣y﹣3k+3=0 有两个相异的交点时,实数 k 的取

A. (0, ]

(0, D.

) B. ( ,2] C.

分析: 先根据 A?B,A?C 可知 A?(B∩C) ,然后求出 B∩C,最后求出所求满足条件的 A,最后得到结论. 解答: 解:∵A?B,A?C, ∴A?(B∩C) ∵B={1,2,3,5},C={0,2,4,8}, ∴B∩C={2} 而 A?(B∩C)则 A={2}或? 故选 C 点评: 本题主要考查了集合的包含关系判断及应用, 以及函数子集的运算, 同时考查了分 析问题的能力,属于集合的基础题. 2. (5 分)等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列{an}前 9 项的和 S9 等于() A.99 B.66 C.297 D.144 考点: 等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 已知两式相加结合等差数列的性质可得(a1+a9)=22,整体代入求和公式可得. 解答: 解:∵a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27, ∴两式相加可得(a1+a9)+(a4+a6)+(a3+a7)=3(a1+a9)=39+27=66,解之可得(a1+a9) =22,
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故 S9=

=

=99,

故选:A. 点评: 本题考查等差数列的性质和求和公式,得出(a1+a9)=22 是解决问题的关键,属中 档题. 3. (5 分)有如下四个游戏盘,撒一粒黄豆,若落在阴影部分,就可以中奖,若希望中奖的 机会最大,则应该选择的游戏是()

A.

B.

C.

D.

考点: 几何概型. 专题: 计算题. 分析: 根据题意, 分析可得中奖的概率为图形中阴影部分的面积与总面积的比值; 进而依 次计算选项的游戏盘中奖的概率, A 游戏盘的中奖概率为 ,B 游戏盘的中奖概率为 ,C 游戏盘的中奖概率为

,D 游戏盘的中奖概率为

,比较可得答案.

解答: 解:根据题意,分析可得中奖的概率为图形中阴影部分的面积与总面积的比值; 对于 A、设正方形边长为 1,其面积为 1,则阴影部分三角形的面积为 3× 故 A 游戏盘的中奖概率为 , 对于 B、分析可得圆被 6 等分,阴影部分占其中 2 份,则 B 游戏盘的中奖概率为 = , 对于 C、设图中圆的半径为 r,则圆的面积为 π?r ,正方形边长为 2r,其面积为(2r) , 故 C 游戏盘的中奖概率为
2 2 2

( )= ;

2


2 2

对于 D、设图中圆的半径为 r,则圆的面积为 π?r ,等腰直角三角形的面积为 2× ×r =r ,

故 D 游戏盘的中奖概率为



比较可得,A 游戏盘的中奖概率最大; 故选 A. 点评: 本题主要考查几何概型的计算, 关键是根据图形, 正确计算出总面积与阴影部分的 面积.

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4. (5 分)要得到函数 y=sinx 的图象,只需将函数 y=cos(x﹣ A.向右平移 C. 向左平移 个单位 个单位 B. 向右平移 D.向左平移

)的图象()

个单位 个单位

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由于函数 y=sinx=cos(x﹣ 论. 解答: 解:由于函数 y=sinx=cos(x﹣ 平移 可得 )的图象, ) ,故只需将函数 的图象象右 ) ,再根据 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结

函数 y=cos(x﹣

故选 A. 点评: 本题主要考查诱导公式的应用,利用了 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,统一这 两个三角函数的名称,是解题的关键,属于中档题. 5. (5 分)直线 2(m﹣1)x﹣3y+1=0 与直线 mx+(m+1)y﹣3=0 平行,则 m=() A. B.﹣2 C. ﹣ 或 3 D. 或﹣2

考点: 专题: 分析: 解答: ∴

直线的一般式方程与直线的平行关系. 直线与圆. 利用直线与直线平行的性质求解. 解:∵直线 2(m﹣1)x﹣3y+1=0 与直线 mx+(m+1)y﹣3=0 平行, ,

解得 m= 或 m=﹣2. 故选:D. 点评: 本题考查实数值的求法, 是基础题, 解题时要注意直线与直线平行的性质的合理运 用. 6. (5 分)设 a,b 为两个不重合的平面,l,m,n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 a∥b,l⊥a,则 l⊥b;②若 m⊥a,n⊥a,m∥b,n∥b,则 a∥b;③若 l∥a,l⊥b, 则 a⊥b;④若 m、n 是异面直线,m∥a,n∥a,且 l⊥m,l⊥n,则 l⊥a. 其中真命题的序号是() A.①③④ B.①②③ C.①③ D.②④

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考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题. 分析: 结合直线与直线位置关系,直线与平面的位置关系,对选项逐一判断即可. 解答: 解:①若 a∥b,l⊥a,则 l⊥b,是正确的; ②若 m⊥a,n⊥a,m∥b,n∥b,则 a∥b,是错误的;应该是 a⊥b ③若 l∥a,l⊥b,则 a⊥b;是正确的; ④若 m、n 是异面直线,m∥a,n∥a,且 l⊥m,l⊥n,则 l⊥a.是正确的. 故选 A. 点评: 本题考查直线与直线、 直线与平面之间的平行和垂直关系的判定, 对所学定理的应 用,是基础题. 7. (5 分)已知 x 与 y 之间的一组数据如下表,根据表中提供的数据,求出 y 关于 x 的线性 回归方程为 x y 3 2.5 4 3 5 4 ,那么 b 的值为() 6 4.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8

A.0.5

考点: 线性回归方程. 专题: 概率与统计. 分析: 先计算平均数,然后根据线性回归方程恒过样本中心点,即可得到结论. 解答: 解:由题意, = 代入线性回归方程 =4.5, = =3.5

,可得 3.5=b×4.5+0.35,解得 b=0.7

故选 C. 点评: 本题考查线性回归方程, 考查学生的计算能力, 利用线性回归方程恒过样本中心点 是解题的关键,属于基础题.

8. (5 分)函数 y=

(0<φ<

)的图象如图,则

() A.k= ,ω= ,φ= C. k=﹣ ,ω=2,φ= B. k= ,ω= ,φ= D.k=﹣2,ω=2,φ=

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考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 用待定系数法求出 k 的值,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值,可得函数 的解析式. 解答: 解:把(﹣2,0)代入 y=kx+1,求得 k= . 再根据 ? = ﹣ =π,可得 ω= . +φ=π,求得 φ= ,

再根据五点法作图可得 ×

故选:A. 点评: 本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,属于基础题. 9. (5 分)当曲线 y=1﹣ 值范围是() A. (0, ) B. ( ,2] C. (0, ] D. ∪ 与直线 kx﹣y﹣3k+3=0 有两个相异的交点时,实数 k 的取

不等式组

表示的平面区域是一个三角形及其内部,

且当直线 x+y=a 过直线 y=x 与直线 2x+y=2 的交点时,a= . 所以 a 的取值范围是:0<a≤1 或 a≥ 故答案为: .

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点评: 本题考查的是简单线性规划问题. 在解答的过程当中成分体现了数形结合的思想和 构成三角形的相关知识. 特别是对线性规划中的区域边界考查得到了充分的体现. 值得同学 们体会反思. 17. (5 分)已知函数 f(x)=3x ﹣1 在区间(0,1)上有唯一零点 x0,如果用“二分法”求这 个零点(精确度 ε=0.05)的近似值,那么将区间(0,1)等分的次数至少是 5,此时并规定 只要零点的存在区间(a,b)满足|a﹣b|<ε 时,用 作为零点的近似值,那么求得 x0= .
2

考点: 二分法求方程的近似解. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系满足 <精确度确定.

解答: 解:开区间(0,1)的长度等于 1,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半, 经过 n 此操作后, 区间长度变为
n

,故有
5

≤0.05,

即 2 >20,因为 2 =32,所以 n=5. 故计算 5 次就可满足要求, 所以将区间(0,1)等分的次数至多是 5 次. 因为 f( )<0,所以第一次得到区间为( ,1) ; 因为 f( )>0,所以第二次得到区间为( 因为 f( )>0,所以第三次得到区间为( 因为 f( 因为 f( )<0,所以第四次得到区间为( )>0,所以第五次得到区间为( ) ; ) ; ) ; ) ;

所以函数零点为 故答案为:



点评: 本题考查了二分法求方程的根; 在用二分法求方程的近似解时, 精确度与区间长度 和计算次数之间存在紧密的联系,可以根据其中两个量求得另一个.设须计算 n 次,则 n 满足 <精确度即可.

三.解答题:本大题共 5 小题,共 65 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

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18. (12 分)已知向量 =(sinωx,cosωx) , =(cosωx, = ? ﹣ 的最小正周期为 π.

cosωx) , (ω>0) ,函数 f(x)

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调增区间; 2 2 2 (Ⅱ)如果△ ABC 的三边 a、b、c 所对的角分别为 A,B,C,且满足 b +c =a ﹣ f(A)的值.

bc,求

考点: 余弦定理;平面向量数量积的运算;两角和与差的正弦函数. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)利用平面向量的数量积运算法则列出 f(x)解析式,利用两角和与差的正 弦函数公式化为一个角的正弦函数,根据已知最小正周期求出 ω 的值,确定出函数解析式, 利用正弦函数的单调性即可确定出函数 f(x)的单调增区间; (Ⅱ)利用余弦定理表示出 cosA,把已知等式变形后代入求出 cosA 的值,确定出 A 的度 数,即可求出 f(A)的值. 解答: 解: (Ⅰ) f (x) =sinωxcosωx+ ∵f(x)的最小正周期为 π,且 ω>0 ∴ =π,∴ω=1, ) , ≤ +2kπ,k∈Z,得到﹣
2 2 2

cos ωx﹣

2

= sin2ωx+

cos2ωx=sin (2ωx+

) ,

∴f(x)=sin(2x+ 令﹣ +2kπ≤2x+
2 2 2

+kπ≤x≤

+kπ,k∈Z,

则 f(x)的增区间为,k∈Z; (Ⅱ)∵b +c =a ﹣ 由余弦定理得:cosA= ∴在△ ABC 中,A= ∴f(A)=sin(2× + , )=sin2π=0. bc,∴b +c ﹣a =﹣ = bc, =﹣ ,

点评: 此题考查了余弦定理,平面向量的数量积运算,正弦函数的定义域与值域,以及正 弦函数的单调性,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 19. (12 分)对某校 2014-2015 学年高一年级学生参加社区服务次数统计,随机抽去了 M 名 学生作为样本,得到这 M 名学生参加社区服务的次数,根据此数据作出了频数与频率的统 计表如下: 分组 频数 频率 (1)求出表中 M,r,m,n 的值; (2)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人,求至少一人参 加社区服务次数在区间
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又 AF⊥CD,CD∩DE=D ∴AF⊥平面 CDE(6 分) 又 BP∥AF, ∴BP⊥平面 CDE 又∵BP 平面 BCE ∴平面 BCE⊥平面 CDE(8 分) (3)此多面体是以 C 为顶点,以四边形 ABED 为底边的四棱锥, 等边三角形 AD 边上的高就是四棱锥的高 (12 分)

点评: 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定, 棱锥的体积, 直线与平面平行的判定, 其中熟练掌握空间直线与平面平行、垂直的判定、性质、定义及几何特征,建立良好的空间 想像能力是解答本题的关键. 21. (14 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn+ an=1(n∈N ) . (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=log4(1﹣Sn+1) (n∈N ) ,Tn= 的最小的正整数 n 的值. 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)利用“n=1 时,a1=S1,当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1”即可转化为等比数列,利用 等比数列的通项公式即可得出; (Ⅱ)利用对数的运算性质、“裂项求和”即可得出. 解答: 解: (Ⅰ)当 n=1 时, .
+ +

+

+…+

,求使 Tn>

成立

当 n≥2 时,



. ∴数列{an}是以 为首项, 为公比的等比数列. 故 (Ⅱ)由(1)知 ∴ ∴ = = . (n∈N ) . , .
*

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∴ , ∴ 故使 , 成立的最小的正整数 n 的值 n=2013.

点评: 本题考查了等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题. 22. (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1:x +y ﹣6x+4y+9=0,圆 C2: (x+m) + 2 2 (y+m+5) =2m +8m+10(m∈R,且 m≠﹣3) . (Ⅰ)若 m=5 时,试求圆 C1 与圆 C2 的交点个数; (Ⅱ)设 P 为坐标轴上的点,满足:过点 P 分别作圆 C1 与圆 C2 的一条切线,切点分别为 T1、T2,使得 PT1=PT2,试求出所有满足条件的点 P 的坐标; (Ⅲ)若斜率为 k 的直线 l 平分圆 C1,且满足直线 l 与圆 C2 总相交,求直线 l 斜率 k 的范 围. 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 直线与圆. 分析: (1)若 m=5 时,求得两个圆的圆心距大于半径之差而小于半径之和,可得两圆相 交,从而得到交点个数为 2 个. (2)设点 P 的坐标为(x0,y0) ,圆 C1 与圆 C2 的半径分别为 r1、r2,由题意得 ,化简得 x0+y0+1=0,根据 P 为坐标轴上的点,求得点 P 的坐 标. (3)设直线 l 的方程为:y+2=k(x﹣3) ,根据圆心 C2(﹣m,﹣m﹣5)到直线 l 的距离小 于圆 C2 的半径,化简可得 .记 ,求得 y 的最小值
2 2 2

为 1,可得

,从而求得 k 的范围.
2 2 2

解答: 解: (1)若 m=5 时,圆 C1 即: (x﹣3) +(y+2) =4,圆 C2: (x+5) +(y+10)
2

=100,圆心距



∴两圆相交,交点个数为 2 个. (2)设点 P 的坐标为(x0,y0) ,圆 C1 与圆 C2 的半径分别为 r1、r2,由题意得 , 即

,化简得 x0+y0+1=0,
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因为 P 为坐标轴上的点,所以点 P 的坐标为(0,﹣1)或(﹣1,0) . (3)依题意可知,直线 l 经过点 C1 (3,﹣2) ,设直线 l 的方程为:y+2=k(x﹣3) ,化简 得 kx﹣y﹣3k﹣2=0, 则圆心 C2(﹣m,﹣m﹣5)到直线 l 的距离为 ,又圆 C2 的半径为

, 所以, “直线 l 与圆 C2 总相交”等价于“?m∈R, 且 m≠﹣3,





①”.



,整理得(y﹣2)m +2(3y﹣4)m+9y﹣10=0,

2

当 y=2 时,m=﹣2; 2 当 y≠2 时,判别式△ = ﹣4(y﹣2) (9y﹣10)≥0,解得 y≥1. 综上得 ,m≠﹣3 的最小值为 1,

所以,①式等价于

,等价于 k>0.

点评: 本题主要考查圆和圆的位置关系的判定, 点到直线的距离公式的应用, 体现了转化 的数学思想,属于基础题.

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