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函数的定义域与值域的常用方法1


函数的解析式、定义域与值域的常用方法
一、求函数解析式 1、直接法: 例 1. 已知函数 y=f(x)满足 xy<0,4x2-9y2=36,求该函数解析式。 解:由 4x2-9y2=36 可解得:

? 2 x2 ? 9 ,x ? 3 ?? 2 x2 ? 9 ? 3 y?? ?? 3 ? 2 x2 ? 9 , x ? ?3 ? 3 ?
2、待定系数法: 例 2. 已知在一定条件下,某段河流的水流量 y 与该段河流的平均深度 x 成反比,又测得该 段河流某段平均水深为 2m 时,水流量为 340m3/s,试求该段河流水流量与平均深度的函数关 系式。

y?
解:设

k x ,代入 x,y 的值可求得反比例系数 k=780m3/s,故所求函数关系式为

y?

780 ,x ?0 x 。

3、换元法:

x ? 1 x2 ? x ? 1 f( )? x x2 例 3. 已知 ,试求 f ( x) 。
t?
解:设

x ?1 1 x? 2 x ,则 t ? 1 ,代入条件式可得: f (t ) ? t ? t ? 1 ,t≠1。故得:

f ( x) ? x 2 ? x ? 1, x ? 1 。

4、构造方程组法:

1 f ( x) ? 2 f ( ) ? 3 x 2 ? 4 x ? 5 x 例 4. (1)已知 ,试求 f ( x) ;
(2)已知 f ( x) ? 2 f (? x) ? 3x ? 4 x ? 5 ,试求 f ( x) ;
2

1

1 1 1 1 f ( ) ? 2 f ( x) ? 3 2 ? 4 ? 5 x x x 解: (1)由条件式,以 x 代 x,则得 ,与条件式联立,消
?1? 2 8 4x 5 f? ? f ? x ? ? 2 ? ? x2 ? ? x ? ,则得: x 3x 3 3。 去 ?
(2)由条件式,以-x 代 x 则得: f (? x) ? 2 f ( x) ? 3x ? 4 x ? 5 ,与条件式联立,消去
2

f ??x?

,则得:

f ? x ? ? x2 ? 4x ?

5 3。

5、实际问题中的函数解析式: 例 5. 动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 B 出发,顺次经过 C、D 再到 A 停止。设 x 表示 P 行驶的路程,y 表示 PA 的长,求 y 关于 x 的函数。

解:由题意知:当 x∈[0,1]时:y=x;
2 y? 当 x∈(1,2)时: y ? x ? 1 ;当 x∈(2,3)时:

?3 ? x ?

2

?1



故综上所述,有

? x, x ? ? 0,1? ? ? y ? ? x 2 ? 1, x ? (1, 2] ? 2 ? ? 3 ? x ? ? 1, x ? (2,3] ?
二、求函数定义域 1、由函数解析式求函数定义域:

y ? x?2?
例 6. 求

x?3 x ?4

的定义域。

2

?x ? 2 ? 0 ? ? ? x ? 4 ,从而解得:x>-2 且 x≠±4.故所求定义域为: 解:由题意知: ?
{x|x>-2 且 x≠±4}。

2、求分段函数的定义域:对各个区间求并集。 例 7. 已知函数由下表给出,求其定义域 X Y 1 22 2 3 3 14 4 35 5 -6 6 17

解:{1,2,3,4,5,6}。

3、求与复合函数有关的定义域:

例8 已知f ( x) ? x ? 3, g ( x) ?

x x ? 4x ? 3
2

, 求y ? f ( g ( x))的定义域. x ?3 ?

由f ( x) ? x ? 3 ? x ? 3 ? g ( x) ? 3 ?
解: 又由于 x2-4x+3>0 **

x ? 4x ? 3
2

联立*、**两式可解得:

9?3 3 9?3 3 ? x ? 1或3 ? x ? 4 4 ? 9?3 3? ? 9?3 3 ? 故所求定义域为 ? x | ? x ? 1或3 ? x ? ? 4 4 ? ? ? ?
例 9. 若函数 f(2x)的定义域是[-1,1] ,求 f(log2x)的定义域。 解:由 f(2x)的定义域是[-1,1]可知:2 1≤2x≤2,所以 f(x)的定义域为[2 1,2] ,
- 故 log2x∈[2 1,2] ,解得 2 ? x ? 4 ,故定义域为 ? - -

? 2, 4? ?。

4、求解含参数的函数的定义域: 例 10. 求函数 f ( x) ?

ax ? 1 的定义域。

解:若 a ? 0 ,则 x∈R;若 a ? 0 ,则

x??
3

1 1 x?? a ;若 a ? 0 ,则 a;

故所求函数的定义域:当 a ? 0 时为 R,当 a ? 0 时为 ? x | x ? ? ? ,当 a ? 0 时为

? ?

1? a?

1? ? ?x | x ? ? ? 。 a? ?
三、求函数的值域与最值 1、分离变量法

y?
例 11. 求函数

2x ? 3 x ? 1 的值域。

y?
解:

2 x ? 3 2 ? x ? 1? ? 1 1 1 ? ? 2? ?0 x ?1 x ?1 x ? 1 ,因为 x ? 1 ,故 y≠2,所以值域为{y|y≠2}。

2、配方法 例 12. 求函数 y=2x2+4x 的值域。 解:y=2x2+4x=2(x2+2x+1)-2=2(x+1)2-2≥-2,故值域为{y|y≥-2}。 3、判别式法 例 13. 求函数 y ?

x2 ? 2 x ? 3 的值域。 4 x2 ? 5x ? 6

y?
解:

x2 ? 2 x ? 3 4 x 2 ? 5 x ? 6 可变形为: (4y-1)x2+(5y-2)x+6y-3=0,由Δ ≥0 可解得:

? 26 ? 6 3 26 ? 6 3 ? y?? , ? 71 71 ? ? 。
4、单调性法 例 14. 求函数 y ?

?2 ? 3 ,x∈[4,5]的值域。 x

y?
解:由于函数

?2 5 13 ?3 x 为增函数,故当 x=4 时,ymin= 2 ;当 x=5 时,ymax= 5 ,所

? 5 13 ? ? , ? 以函数的值域为 ? 2 5 ? 。

4

5、换元法 例 15. 求函数 y ? 2 x ? 4 1 ? x 的值域。 解:令 t ? 1 ? x ? 0 ,则 y=-2t2+4t+2=-(t-1)2+4,t≥0,故所求值域为{y|y≤4}。

6、分段函数的值域:应为各区间段上值域的并集。

? x, x ? [1, 2] ? 2 例 16. 求函数 y ? ? x , x ? (2,3] 的值域。 ?2 x ? 1, x ? (3, 4] ?
解:当 x∈[1,2]时,y∈[1,2] ;当 x∈ ( 2,3]时,y∈ ( 4,9] ;当 x∈ ( 3,4]时, y∈ ( 5,7] 。综上所述,y∈[1,2]∪ ( 3,9] 。 7、图像法: 例 17 设 f(x)= ?

? x 2 , x ≥ 2, ? 若 f(g(x))的值域是[0,+∞),则函数 y=g(x)的值域是 x , x <1, ? ?
B.(-∞,-1]∪[0,+∞) D.[1,+∞)

(

)

A.(-∞,-1]∪[1,+∞) C.[0,+∞)

解:如图为 f(x)的图象,由图象知 f(x)的值域为(-1,+∞), 若 f(g(x))的值域是[0,+∞),只需 g(x)∈(-∞,-1]∪[0,+∞). 故选 B. 8、反函数法: 例 18 求函数 y ?

1 ? 2x 的值域。 1 ? 2x

解:由 y ?

1? y 1 ? 2x x 解得 2 ? , x 1? y 1? 2

∵ 2 ? 0 ,∴
x

1? y ? 0 ,∴ ?1 ? y ? 1 1? y

∴函数 y ?

1 ? 2x 的值域为 y ? (?1,1) 。 1 ? 2x

9、有界性求法:

5

例 19:求函数 y ?

x2 ?1 的值域。 x2 ? 1

解:由函数的解析式可以知道,函数的定义域为 R ,对函数进行变形可得

( y ? 1) x 2 ? ?( y ? 1) ,
∵ y ? 1 ,∴ x ? ?
2

y ?1 y ?1 ( x? R, y ? 1) ,∴ ? ? 0 ,∴ ?1 ? y ? 1 , y ?1 y ?1

x2 ?1 ∴函数 y ? 2 的值域为 { y | ?1 ? y ? 1} x ?1

6


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