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2015-2016学年高中数学 本册综合测试 北师大版选修2-2


选修 2-2 综合测试
时间 120 分钟,满分 150 分. 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1+2i 1.计算: 2=( ?1-i? 1 A.-1- i 2 1 C.1+ i 2 [答案] B [解析] 1+2i 1+2i 1+2i i?1+2i? 1 = =-1+ i. 2= 2= ?1-i? 1-2i+i -2i 2 2 ) 1 B.-1+ i 2 1 D.1- i 2

2.用反证法证明命题“若 a,b∈N,ab 能被 3 整除,那么 a,b 中至少有一个能被 3 整除”,假设应为( ) B.a,b 都不能被 3 整除 D.a 不能被 3 整除

A.a,b 都能被 3 整除 C.a,b 不都能被 3 整除 [答案] B

[解析] “至少有一个”的否定为“一个也没有”. 3.用数学归纳法证明 1 +2 +?+(n-1) +n +(n-1) +?+2 +1 = 从 n=k 到 n=k+1 时,等式左边应添加的式子是( A.(k-1) +2k C.(k+1) [答案] B [解析] 当 n=k 时,左边=1 +2 +?+(k-1) +k +(k-1) +?+2 +1 ,当 n=k +1 时,左边=1 +2 +?+(k-1) +k +(k+1) +k +(k-1) +?+2 +1 ,∴从 n=k 到
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

n?2n2+1?
3



)
2 2

B.(k+1) +k

1 2 D. (k+1)[2(k+1) +1] 3

n=k+1,左边应添加的式子为(k+1)2+k2.
4.已知函数 f(x)= 1 ,则 y=f(x)的图象大致为( ln?x+1?-x )

[答案] B [解析] 当 x=1 时,y= 1 <0,排除 A;当 x=0 时,y 不存在,排除 D;当 x 从 ln 2-1

负方向无限趋近于 0 时,y 趋近于-∞,排除 C.故选 B. 5.已知{bn}为等比数列,b5=2,则 b1b2b3?b9=2 .若{an}为等差数列,a5=2,则{an} 的类似结论为( )
9 9

A.a1a2a3?a9=2

B.a1+a2+?+a9=2

9

C.a1a2?a9=2×9 [答案] D

D.a1+a2+?+a9=2×9

[解析] 由等差数列的性质知,a1+a9=a2+a8=?=2a5,故 D 成立. 6.做直线运动的质点在任意位置 x 处,所受的力 F(x)=1-e ,则质点从 x1=0,沿 x 轴运动到 x2=1 处,力 F(x)所做的功是( A.e C.2e [答案] B 1 1 -x -x 1 -x 1 [解析] 由 W=?1(1-e )dx=?11dx-?1e dx=x|0+e |0=1+ -1= . e e ? ? ?
0 0 0 -x

) 1 B. e 1 D. 2e

7.已知复数(x-2)+yi(x,y∈R)对应向量的模为 3,则 的最大值是( A. 3 2 B. 3 3

y x

)

C. 3 [答案] C

1 D. 2

[解析] 由|(x-2)+yi|= 3,得(x-2) +y =3, 此方程表示如图所示的圆 C,

2

2

则 的最大值为切线 OP 的斜率. π 由|CP|= 3,|OC|=2,得∠COP= , 3 ∴切线 OP 的斜率为 3,故选 C. 8. 设函数 f(x)在 R 上可导, 其导函数为 f′(x), 且函数 f(x)在 x=-2 处取得极小值, 则函数 y=xf′(x)的图像可能是( )

y x

[答案] C [解析] 本题考查导数的应用,函数的图象. 由 f(x)在 x=-2 处取极小值知 f′(-2)=0 且在-2 的左侧 f′(x)<0,而-2 的右侧

f′(x)>0,所以 C 项合适.
函数、导数、不等式结合命题,对学生应用函数能力提出了较高要求. 9.观察下列的图形中小正方形的个数, 则第 6 个图中有________个小正方形, 第 n 个图 中有________个小正方形( )

?n+1??n+2? A.28, 2 C.28, 2 [答案] A [解析]

?n+1??n+2? B.14, 2 D.12,

n

n2+n
2

根据规律知第 6 个图形中有 1+2+3+4+5+6+7=28.

?n+1??n+2? 第 n 个图形中有 1+2+?+(n+1)= . 2 10.给出定义:若函数 f(x)在 D 上可导,即 f′(x)存在,且导函数 f′(x)在 D 上也可 导, 则称 f(x)在 D 上存在二阶导函数, 记 f″(x)=(f′(x))′, 若 f″(x)<0 在 D 上恒成立, π 则称 f(x)在 D 上为凸函数.以下四个函数在(0, )上不是凸函数的是( 2 A.f(x)=sinx+cosx C.f(x)=-x +2x-1 [答案] D [解析] 若 f(x)=sinx+cosx,则 f″(x)=-sinx-cosx, π 在 x∈(0, )上,恒有 f″(x)<0; 2 1 π 若 f(x)=lnx-2x,则 f″(x)=- 2,在 x∈(0, )上,恒有 f″(x)<0; x 2 π 3 若 f(x)=-x +2x-1,则 f″(x)=-6x,在 x∈(0, )上,恒有 f″(x)<0; 2 若 f(x)=-xe ,则 f″(x)=2e -xe =(2-x)e . π 在 x∈(0, )上,恒有 f″(x)>0,故选 D. 2 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 1+i 2 11.(2014·北京理,9)复数( ) =________. 1-i [答案] -1 1+i ?1+i? 2i [解析] 复数 = = =i, 1-i ?1-i??1+i? 2 1+i 2 2 故( ) =i =-1. 1-i 12.用数学归纳法证明 3
1) 4n+1 2 -x -x -x -x 3

)

B.f(x)=lnx-2x D.f(x)=-xe
-x

+5

2n+1

能被 14 整除时,当 n=k+1 时,对于 3

4(k+1)+1

+5

2(k+

+1 应变形为________. [答案] 3 ·3
4 4k+1

+5 ·5
4k+1

2

2k+1

[解析] n=k 时,3

+5

2k+1

能被 14 整除,因此,我们需要将 n=k+1 时的式子构造 +5
2(k+1)+1

为能利用 n=k 的假设的形式.3 3 (3
4 4k+1

4(k+1)+1

=3 ·3

4

4k+1

+5 ·5

2

2k+1

+3 ·5

4

2k+1

-3 ·5

4

2k+1



+5

2k+1

)+(5 -3 )5

2

4

2k+1

,便可得证.

→ 1 → → 13.在△ABC 中,D 是 BC 的中点,则AD= (AB+AC),将命题类比到四面体中去,得到 2 一个类比命题:____________________________________________________________ ________________________________________________________________________.

→ 1 → → → [答案] 在四面体 A-BCD 中,G 为△BCD 的重心,则AG= (AB+AC+AD) 3 14.已知函数 f(x)=x -ax +3ax+1 在区间(-∞,+∞)内既有极大值,又有极小值, 则实数 a 的取值范围是________________. [答案] (-∞,0)∪(9,+∞) [ 解析 ] 4×3×3a>0, 解得 a<0 或 a>9. 15.如图为函数 f(x)的图像,f′(x)为函数 f(x)的导函数,则 不等式 x·f′(x)<0 的解集为________. [答案] (-3,-1)∪(0,1) [解析] x·f′(x)<0??
? ?x>0, ?f′?x?<0, ?
3 2

由题意得 y′= 3x - 2ax + 3a = 0 有两个不同的实根,故 Δ = ( - 2a) -

2

2

或?

? ?x<0, ?f′?x?>0. ?

∵(-3,-1)是 f(x)的递增区间, ∴f′(x)>0 的解集为(-3,-1). ∵(0,1)是 f(x)的递减区间, ∴f′(x)<0 的解集为(0,1). 故不等式的解集为(-3,-1)∪(0,1). 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,前 4 题每题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分) 16.(2015·山东青岛)已知复数 z1=i(1-i) . (1)求|z1|. (2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值. [解析] (1)|z1|=|i(1-i) |=|i|·|i-1| =2 2. (2)如图所示,由|z|=1 可知,z 在复平面内对应的点的轨迹是 半径为 1,圆心为 O(0,0)的圆.而 z1 对应着坐标系中的点 Z1(2,- 2),所以|z-z1|的最大值可以看成是点 Z1(2,-2)到圆上的点的距 离的最大值.由图知|z-z1|max=|z1|+r(r 为圆的半径)=2 2+1. 17.设函数 f(x)=kx -3x +1(k≥0). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)的极小值大于 0,求 k 的取值范围. [解析] (1)当 k=0 时,f(x)=-3x +1, ∴f(x)的单调增区间为(-∞,0),单调减区间为(0,+∞). 2 2 当 k>0 时,f′(x)=3kx -6x=3kx(x- ).
2 3 2 3 3 3

k

2 ∴f(x)的单调增区间为(-∞,0),( ,+∞),

k

2 单调减区间为(0, ).

k

(2)当 k=0 时,函数 f(x)不存在极小值. 当 k>0 时,由(1)知 f(x)的极小值为

f( )= 2- 2 +1>0,即 k2>4, k k k
又 k>0,∴k 的取值范围为(2,+∞). 18.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: ①sin 13°+cos 17°-sin13°cos17°; ②sin 15°+cos 15°-sin15°cos15°; ③sin 18°+cos 12°-sin18°cos12°; ④sin (-18°)+cos 48°-sin(-18°)cos48°; ⑤sin (-25°)+cos 55°-sin(-25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. [解析] 解法一: (1)选择(2)式,计算如下: sin 15°+cos 15°-sin15°cos15° 1 =1- sin30° 2 1 3 =1- = . 4 4 3 2 2 (2)三角恒等式为 sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α )= . 4 证明如下: sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α ) =sin α +(cos30°cosα +sin30°sinα ) -sinα (cos30°cosα +sin30°sinα ) 3 3 1 3 1 2 2 2 2 =sin α + cos α + sinα cosα + sin α - sinα cosα - sin α 4 2 4 2 2 3 2 3 3 2 = sin α + cos α = . 4 4 4 解法二: (1)同解法一.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

8

12

3 2 2 (2)三角恒等式为 sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α )= . 4 证明如下: sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α ) = 1-cos2α 1+cos?60°-2α ? + -sinα (cos30°cosα +sin30°sinα ) 2 2
2 2

1 1 1 1 3 1 2 = - cos2α + + (cos60°cos2α +sin60°sin2α )- sinα cosα - sin α 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 1 = - cos2α + + cos2α + sin2α - sin2α - (1-cos2α ) 2 2 2 4 4 4 4 1 1 1 3 =1- cos2α - + cos2α = . 4 4 4 4 1 2 19.设 a>0 且 a≠1,函数 f(x)= x -(a+1)x+alnx. 2 (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在(3,f(3))处切线的斜率; (2)求函数 f(x)的极值点. [解析] (1)由已知得 x>0. 2 2 当 a=2 时,f′(x)=x-3+ ,f′(3)= , x 3 2 所以曲线 y=f(x)在(3,f(3))处切线的斜率为 . 3 (2)f′(x)=x-(a+1)+ =

a x

x2-?a+1?x+a ?x-1??x-a? = . x x

由 f′(x)=0,得 x=1 或 x=A. ①当 0<a<1 时, 当 x∈(0,a)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(a,1)时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 此时 x=a 时 f(x)的极大值点,x=1 是 f(x)的极小值点. ②当 a>1 时, 当 x∈(0,1)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(1,a)时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 此时 x=1 是 f(x)的极大值点,x=a 是 f(x)的极小值点. 综上,当 0<a<1 时,x=a 是 f(x)的极大值点,x=1 是 f(x)的极小值点;

当 a>1 时,x=1 是 f(x)的极大值点,x=a 是 f(x)的极小值点. 20.(2014·广东理)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 Sn=2nan+1-3n -4n,n∈N ,且
2 *

S3=15.
(1)求 a1,a2,a3 的值; (2)求数列{an}的通项公式. [解析] (1)a1=S1=2a2-3×1 -4×1=2a2-7①
2

a1+a2=S2=4a3-3×22-4×2=4(S3-a1-a2)-20=4(15-a1-a2)-20,
∴a1+a2=8② 联立①②解得?
? ?a1=3 ?a2=5 ?

,∴a3=S3-a1-a2=15-8=7,

综上 a1=3,a2=5,a3=7. (2)由(1)猜想 an=2n+1,以下用数学归纳法证明: ①由(1)知,当 n=1 时,a1=3=2×1+1,猜想成立; ②假设当 n=k 时,猜想成立,即 ak=2k+1, 2k-1 6k+1 则当 n=k+1 时,ak+1= ak+ 2k 2k = = 2k-1 1 ·(2k+1)+3+ 2k 2k 4k -1 1 +3+ 2k 2k
2

=2k+3=2(k+1)+1 这就是说 n=k+1 时,猜想也成立,从而对一切 n∈N ,an=2n+1. 21.如图,某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的顶点 A,B 及
*

CD 的中点 P 处,已知 AB=20 km,CB=10 km,为了处理三家工厂的污
水,现要在矩形 ABCD 的区域上(含边界),且与 A,B 等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道 AO,BO,OP,设排污管道的总长为 y km. (1)设∠BAO=θ rad,将 y 表示成 θ 的函数关系式; (2)确定污水处理厂的位置,使三条排污管道的总长度最小. [解析] (1)延长 PO 交 AB 于点 Q, 则 PQ 垂直平分 AB.若∠BAO=θ rad, 则 OA= cos∠BAO = 10 10 ,故 OB= . cosθ cosθ 10 10 又 OP=10-10tanθ ,所以 y=OA+OB+OP= + +10-10tanθ . cosθ cosθ 20-10sinθ π 故所求函数关系式为 y= +10(0≤θ ≤ ). cosθ 4

AQ

(2)y′ -10cos θ ·cos θ -?20-10sin θ ??-sin θ ? 2 cos θ = 10?2sin θ -1? . 2 cos θ



1 令 y′=0,得 sin θ = . 2 π π 因为 0≤θ ≤ ,所以 θ = . 4 6 π π π 当 θ ∈[0, )时,y′<0,则 y 是关于 θ 的减函数;当 θ ∈( , ]时,y′>0,则 6 6 4

y 是关于 θ 的增函数,
1 20-10× 2 π 所以当 θ = 时,ymin= +10=(10 3+10). 6 3 2 10 3 故当点 O 位于线段 AB 的中垂线上,且距离 AB 边 km 处时,三条排污管道的总长度 3 最小.


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