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泉州七中2014-2015学年度高一(上)期末考数学试卷(WORD解析版)


泉州七中 2014-2015 学年度上学期高一年期末考数学试卷 一、选择题(每小题 5 分)
1. 已知全集 U ? {0,1,2,3,4}, A ? {1,2,3}, B ? {0,2} 则 A ? (CU B) 等于( D ) A. { 1,2,3,4} B. { 0,1,2,3 } C. { 1,2 } D. { 1,3 }

2. 已知 a ? (2,3),b ? (1,1) 则 a ? b ? ( A ) A. (1,2) B. (3,4) C. (1,1) D. (-1,-2)

3. 函数 f ( x) ? log2 x ? 2 x ? 1的零点落在区间( C ) A. ( , )

1 1 8 4

B. ( , )

1 1 4 2

C. ( ,1)

1 2

D. (1,2)

4. f (cos x) ? cos 2 x, 那么 f (sin150?) 的值为 ( C ) C. ?

A. -1

B. 1

1 2

D.

3 2


5. 若 a ? (2,1),b ? (3,4), 则向量 a 在向量 b 方向上的投影为( B A. 2 5 B. 2 C.

5

D. 10

6. 已知函数 f ( x) ? 2 sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ?1 的最大值是( B ). A. 1 B. 2 C. 2 3 D.

3 ?1
( D )

7. 已知单位向量 a, b ,满足 a ? b ,则函数 ( xa ? b)2 ( x ? R) A. 即是奇函数又是偶函数 C. 是奇函数 8. 已知函数 f ( x) ? 2 cos( 2 x ? B. 既不是奇函数也不是偶函数 D. 是偶函数

?
6

), ( x ? R) 给出下面四个命题,
②函数 f ( x) 的图像关于点 (

①函数 f ( x) 的最小正周期为 2?

?
6

,0) 对称

③函数 f ( x) 的图像可由 y ? 2 cos 2 x 的图像向左平移 ④函数 f ( x ? A. ①②

?
6

? 个单位得到 6

) 是奇函数,以上正确的命题是( C )
C. ②④ D. ②③
第 1 页

B. ③④

9. tan20? ? tan40? ? 3 tan20? tan40? 的值为( C



A. 1

B.

3 3

C.

3

D. ? 3

10. 如图所示,A、B、C 是圆 O 上的三点,CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于圆 O 外的 点 D,若 OC ? mOA ? nOB ,则 m+n 的取值范围是 ( B A. (?1,0) B. (??,?1) C. (1,??) D. (0,1) )

11. 已 知 函 数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的 图 像 的 一 条 对 称 轴 是 x ?

?
4

,若不等式

a sin 2 x ? cos x ? t ? 0 对 x ? [ ?
A. (??,1] B. (??,2]

? ?

, ] 恒成立,则 t 的取值范围是( 3 2
C. (1,??) D. (0,1)

A )

12. 定义两实数间的一种新运算“*” : x ? y ? lg(10 ? 10 ) , x、y ? R. 对任意实数 a, b, c
x y

给出如下结论: ① (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) ;② a ? b ? b ? a ; ③ (a ? b) ? c ? (a ? c) ? (b ? c) 其中正确的个数是( D ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

二、填空题(每题 4 分)
13. 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足: f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 4 x ? 1 , 则 f( )?

9 4

2

.

14. 已知 tan x ? 2 ,则 tan 2 x ?

?

4 3

.

第 2 页

15. 已知 OA, OB 是两个单位向量, 且 OA? OB ? 0 , 若点 C 在 ?AOB 内, 且 ?AOC =30°, 若 OC ? mOA ? nOB(m, n ? R) ,则

m ? n

3

.

16. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在 (0,1) ,此时圆上一点 P 的位置在 (0,0) ,圆在 x 轴上沿正向滚动,当圆滚动到圆心位于 (2,1) 时, OP 的坐标为 ( 2-sin2 , 1-cos2 ) .

三、解答题(共 74 分)
17.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x, x ? R (1)求 f (

?
12

) 的值

(2)试写出一个函数 g ( x ), 使得 g ( x) f ( x) ? cos 2 x, 并求 g ( x) 的单调区间。

第 3 页

17. 解析:

f ( x) ? sin x ? cos x ? 2 sin(x ? ) 4

?

? ? ? ? 6 (1) f ( ) ? 2 sin( ? ) ? 2 sin ? 12 12 4 3 2 (2) ? g ( x) f ( x) ? cos 2 x
? g ( x) ? cos 2 x cos2 x ? sin 2 x (cos x ? sin x)(cosx ? sin x) ? ? f ( x) sin x ? cos x cos x ? sin x

? cos x ? sin x ? ?(sin x ? cos x) ? ? 2 sin(x ? ) 4

?

其 中 cos x ? sin x ? 2 sin(x ? ) ? 0, 即 x ? ? k? , k ? Z , 即x ? ? ? k? , k ? Z 4 4 4 综 上 , g ( x) ? ? 2 sin(x ? ), 其 中 x ? ? ? k? , k ? Z 4 4 ? ? ? 3? ? 令 ? ? 2k? ? x ? ? ? 2k? , k ? Z, 得 ? ? 2k? ? x ? ? 2k?,k ? Z 2 4 2 4 4 3? ? ? g ( x)的 单 调 递 减 区 间 为 [? ? 2k? , ? 2k? ], k ? Z 4 4 ? ? 3? ? 5? 令 ? 2k? ? x ? ? ? 2k? , k ? Z, 得 ? 2k? ? x ? ? 2k?,k ? Z 2 4 2 4 4 ? 5? ? g ( x)的 单 调 递 增 区 间 为 [ ? 2k? , ? 2k? ], k ? Z 4 4

?

?

?

?

?

第 4 页

18.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2x 2 ? 4x ? a, g ( x) ? loga x(a ? 0且a ? 1) (1)若函数 f ( x) 在 [?1,2m] 上不具有单调性,求实数 m 的取值范围; (2)若 f (1) ? g (1) ①求实数 a 的值; ② 设 t1 ? 18.解析

1 f ( x), t 2 ? g ( x), t3 ? 2 x ,当 x ? (0,1) 时,试比较 t1 ,t 2 , t3 的大小. 2

(1) f ( x ) ? 2 x 2 ? 4 x ? a, 对 称 轴 为 x ?1 1 ?当2m ? 1, 即m ? 时 , 2 f ( x)在[?1,2m]上 不 具 有 单 调 性 1 即m ? ( ,??) 2

( 2) ?)f (1) ? ?2 ? a, g (1) ? 0, ?由f (1) ? g (1), 得a?2 II ) f ( x) ? 2 x 2 ? 4 x ? 2, g ( x) ? log2 x 1 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1) 2 2 t 2 ? g ( x) ? log2 x t1 ? t3 ? 2 x
由图形可得 t3 ? t1 ? t2

第 5 页

j 的夹角分别为 19.(本题满分 12 分)如图,在同一平面内,向量 a 与单位向量 i、
30°、90°,已知 | a | = 2 3 (1)用

i , j 作为基底表示向量 a
i j ,求 | b | 及 a 与 b 的夹角 ? 的值。

(2)若向量 b = +

a
j

19. 解析:

i
j
3 ?3 2

(1)设a = m i ? n

m i ? m ? a cos30? ? 2 3 ? n j ? n ? a sin 30? ? 2 3 ? ? a ? 3i ? 3 j

1 ? 3 2

(2)b ? i ? j ,

i ? j ? i ? j ? cos ? i, j ?? cos120? ? ?

1 2

1 b ? (i ? j ) 2 ? | i |2 ?2i ? j ? | j |2 ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 1 2

a ? b ? (3i ? 3 j ) ? (i ? j ) ? 3 | i |2 ?(3 ? 3 ) ? i ? j ? 3 | j |2 ?

3? 3 2

3? 3 a ?b 3 ?1 ? cos ? a, b ?? ? 2 ? 4 | a | ? | b | 2 3 ?1

第 6 页

20.(本题满分 12 分)已知 O 为坐标原点,对于函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ,称向量

OM ? (a, b) 为函数 f ( x) 的亲密向量,同时称函数 f ( x) 为向量 OM 的亲密函数。
(1)设函数 g ( x) ? cos(2? ? x) ? 2 sin(? ? x) ,试求 g ( x) 的亲密向量 OM 的模; (2)若 a ? ( ,

1 3 ), ON 与 a 同向共线, | ON |? 2 ,记 ON 的亲密函数为 h( x) ,求使得 2 2

关于 x 的方程 h( x) ? t ? 0 在 [0,

?
2

] 内恒有两个不相等实数根的实数 t 的取值范围。

20. 解析:

(1) g ( x) ? cos x ? 2 sin x, 亲 密 向 量 OM ? ( 1,2) | O M|? 12 ? 2 2 ? 5
(2) 1 3 设ON ? ? a ? ( ?, ?) 2 2 2 1 3 ? ON ? ?2 ? ?2 ? 2, 又 ?O N 与a同 向 4 4 2 6 ? ? ? 2, 即 ON ? ( , ) 2 2 2 6 ? h( x ) ? sin x ? cos x 2 2 2 ? ? (sin x ? 3 cos x) ? sin(x ? ) 2 3 h( x)在x ? [0, ]的 大 致 函 数 图 像 如 图 2
∴关于 x 的方程 h( x) ? t ? 0 在 [0, 有两个不相等实数根 得 t ?[

?

:

?
2

] 内恒

3 ,1) 2

第 7 页

21.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 3 sin(

?
4

x) 在同一半

周期内的图像过点 O、 P、 Q, 其中 O 为坐标原点, P 为函数 f ( x) 图像的最高点,Q 为函数 f ( x) 的图像与 x 轴的正半轴的交点。 (1)试判断△OPQ 的形状,并说明理由; (2)若将△OPQ 绕原点 O 逆时针方向旋转角 ? (0 ? ? ? 定点 P '、Q' 恰好同时在曲线 y ? 实数 k 的值。 21. 解析:

?
2

) 时,

k ( x ? 0) 上(如图所示) ,求 x

(1) 令 x ? , 得x ? 2; 令 x ? ? , 得x ? 4 4 2 4 ? P点 坐 标 为 (2,2 3 ), Q点 坐 标 为 ( 4, 0)
2 2 ? OP ? 2 2 ? ( 2 3) ? 4, PQ ? (2 ? 4) 2 ? ( 2 3) ? 4, OQ ? 4

?

?

?

? ?OPQ为 等 边 三 角 形

(2)依 题 意 得 Q‘ ' (4 cos? ,4 sin ? ) 、 P ’ ' (4 cos(? ? ),4 sin(? ? )) 3 3 k ? P’ '、Q ‘ ' 在y ? 上 x ?16sin ? cos? ? 16sin(? ? ) cos(? ? ) 3 3 即sin 2? ? sin(2? ? ) 3 即2? ? ? ? ( 2? ?

?

?

?

?

?

?
3

) ,解 得? ?

?
6

? k ? 16sin ? cos? ? 8 sin 2? ? 8 sin

?
3

?4 3

第 8 页

22. (本题满分 14 分) 如图,某污水处理厂要再一个矩形污水处 理池 (ABCD) 的池底水平铺设污水净化管道 ( Rt?FHE ,

H

是直角顶点)来处理污水,管道越短,铺设管道的成本越低, 设计要求管道的接口 H 是 AB 的中点,E、F 分别落在线段 BC, AD 上,已知 AB=20 米,AD= 10 3 米,记 ?BHE ? ? 。 (1)试将污水净化管道的长度 L 表示为 ? 的函数,并写出定义 域; (2)若 sin ? ? cos? ?

?

3 ?1 , 求此时管道的长度 L ; 2

(3)问:当 ? 取何值时,铺设管道的成本最低?并求出此时管道的长度。 22. 解析:

(1) HB 10 ? cos? cos? AH 10 FH ? ? sin ? sin ? HE ? 100 100 10 ? ? 2 2 sin ? cos ? sin ? cos? 10 10 10 10(sin ? ? cos? ? 1) ? L ? HF ? HE ? EF ? ? ? ? sin ? cos? sin ? cos? sin ? cos? BC ? ? 由tan?CHB ? ? 3得?HBC ? , ?? ? ( 0, ) HB 3 3 ( 2) EF ? HF 2 ? HE 2 ? ? sin ? ? cos? ? 3 ?1 2 3 ?1 2 ? (sin ? ? cos? ) 2 ? ( ) 2 3?2 3 即 1 ? 2 sin ? cos? ? , 即sin ? cos? ? 2 4 3 ?1 10? ( ? 1) 10(sin ? ? cos? ? 1) 2 ? L ?? ? ? 20(1 ? 3 ) sin ? cos? 3 4
第 9 页

(3)第(2)小题似乎已经提示你怎么解决第(3)题了.╮(╯﹏╰)╭

令u ? sin ? ? cos? ? 2 sin(? ? ) 4 ? ? ? 7? ? 2 ? 由? ? (0, ), 得? ? ? ( , ), 得 sin(? ? ) ? ( ,1], 得 2 sin(? ? ) ? (1, 2 ] 3 4 4 12 4 2 4 ? u ? (1, 2 ]
2 ?u2 ? (sin ? ? cos?) ? 1 ? 2 sin ? cos?,

?

u 2 ?1 ? sin ? cos? ? , 又 u ? sin ? ? cos? 2 10 (sin ? ? cos? ? 1) 10(u ? 1) 20(u ? 1) ?L ? ? 2 ? , 且u ? (1, 2 ] u ?1 sin ? cos? u 2 ?1 2 20(u ? 1) 20(u ? 1) 20 ?L ? ? ? , u ? (1, 2 ] 2 u ?1 (u ? 1 ( ) u ? 1) u ? 1 20 ?当u ? 2时, Lmin ? ? 20( 2 ? 1) 2 ?1 此 时 u ? 2 sin(? ? ) ? 2, 解 得 ?? 4 4 ?当? ?

?

?

?

4

时 , 管 道 的 成 本 最 低 ;

此 时 管 道 的 长 度

L ? 20( 2 ? 1)

第 10 页


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