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人教版必修3第三章 3.3.1几何概型导学案(闵党生)(教师版)


阳新英才中学五环导学提纲

编号:SXTG-必修 3-33

编写:闵党生

审核:高二数学组

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3.3.1 几何概型 课前预习案
【学习目标】
1.了解几何概型与古典概型的区别. 2.理解几何概型的定义及其特点. 3.会用几何概型的概率计算公式求

几何概型的概率. 【自主学习】 知识梳理 1.几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例, 则称这样的概率模型 为几何概率模型,简称几何概型. 2.概率公式 P(A)= 构成事件A的区域长度?面积或体积? 时, 公式中分子和分母涉及的几何度量 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?

一定要对等.即若一个是长度,则另一个也是长度.一个若是面积,则另一个也必然是面积,同 样,一个若是体积,另一个也必然是体积. 想一想:几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗?

3.几何概型概率的适用情况和计算步骤 (1)适用情况: 几何概型用来计算事件发生的概率适用于有无限多个试验结果的情况, 每种结果的出现也要求必 须是等可能的.而且事件发生在一个有明确范围的区域中,其概率与构成该事件区域的长度(面 积或体积)成比例. (2)计算步骤: ①判断是否是几何概型,尤其是判断等可能性,比古典概型更难于判断.②计算基本事件空间与 事件 A 所含的基本事件对应的区域的几何度量(长度、面积或 体积).这是计算的难点. ③利用概率公式计算.

【知识迁移】 (2-3 个小题) 1.判断题 (1)几何概型也可以如下理解:对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几
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何区域内随机地取一点, 该区域中每一点被取到的机会都一样; 而一个随机事件的发生则理解为 恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点. 这里的区域可以是线段, 平面图形, 立体图形等. 用 这种方法处理随机试验,称为几何概型.( ) ) )

(2)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.(

1 (3)[2012·昆明模拟] 在线段[0,3]上任投一点,则此点坐标小于 1 的概率为 .( 3

2.[2012·辽宁卷] 在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC, CB 的长 ,则该矩形面积小于 32 cm 的概率为( A. 1 6 1 B. 3 2 C. 3 4 D. 5
2

)

(4-0)+(12-8) 2 2 则该矩形面积小于 32 cm 的概率 P(A)= = ,故选 C. 12 3 规律方法: 将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一 样, 而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点, 这样的概率模 型就可以用几何概型(长度比长度)来求解. 3.如图 A,B 两盏路灯之间的距离是 30 米,由于光线较暗,想在其间再随意安装两盏路灯 C、D, 问 A 与 C,B 与 D 之间的距离都不小于 10 米的概率是多少?

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课上互动研讨案
【课堂检测】 1.取一根长度为 3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得的两段长度都不小于 1 m 的概率 为多大?

2.一只海豚在水池中自由游弋,水池为长 30 m,宽 20 m 的长方形,求此刻海豚嘴尖离岸边不超 过 2 m 的概率.

总结规律、得出方法: 此类几何概型题,关键是要构造出随机事件对应的几何图形,利用图形的几何特征找出两个“面 积” ,套用几何概型公式,从而求得随机事件的概率.

【课上互动研讨】
探究一:一只蚂蚁在边长分别为 3,4,5 的三角形区域内随机爬行,则其恰在离三个顶点距离都 大于 1 的地方的概率为( )
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A.

π 12

π B.1- 12

π C.1- 6

π D.1- 3

探究二:已知正方体 ABCD -A1B1C1D1 的棱长为 a,在正方体内随机取一点 M. (1)求点 M 落在三棱锥 B1-A1BC1 内的概率;
[来源:学_科_网]

a (2)求点 M 与平面 ABCD 及平面 A1B1C1D1 的距离都大于 的概率; 3

总结规律、 提高升华: 这类题目一般需要分清题中的条件,提炼出几何体的形状,并找出总体积是多少.以及所求的事 件占有的几何体是什么几何体并计算出体积. 【当堂训练】 1.若在区间[0,8]上随机取一实数,则该实数在区间[3,6]上的概率是________.

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2.某校航模小组在一 个棱长为 6 m 的正方体房间试飞一种新型模型飞机,为保证模型飞机安全, 模型飞机在飞行过程中要始终保持与天花板、 地面和四周墙壁的距离均大于 1 m, 则模型飞机 “安 全飞行”的概率为__________. A. 1 27 1 B. 16 C. 3 8 8 D. 27

【小结与反馈】 几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式时,一定要注意其 适用条件:每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例.

课后拓展提升案
姓名_________小组_________ 1.下列概率模型中,几何概型的个数为 得分___________ ( ).

①从区间[-10,10]内任取出一个数,求取到 1 的概率; ②从区间[-10,10]内任取出一个数,求取到绝对值不大于 1 的数的概率; ③从区间[-10,10]内任取出一个整数,求取到大于 1 而小于 2 的数的概率; ④向一个边长为 4 cm 的正方形 ABCD 内投一点 P,求点 P 离中心不超过 1 cm 的概率. A.1 B.2 C.3 D.4 解析 ①不是几何概型,虽然区间[-10,10]有无限多个点,但取到“1”只是一个数字,不能构 成区域长度; ②是几何概型, 因为区间[-10,10]和[-1,1]上有无限多个数可取(满足无限性), 且在这两个区 间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性); ③不是几何概型,因为区间[-10,10]上的整数只有 21 个(是有限的),不满足无限性特征; ④是几何概型,因为在边长为 4 cm 的正方形和半径为 1 cm 的圆内均有无数多个点,且这两 个区域内的任何一个点都有可能被投到,故满足无限性和等可能性.
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答案 B

2.如图,边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域、在正方形中随机 2 撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为 ,则阴影区域的面积为号 3 ( 4 A. 3 ). 8 B. 3 2 C. 3 D.无法计算

S阴 2 2 8 解析 由几何概型的概率公式知 = ,所以 S 阴= · S = . 3 正 3 S正 3 答案 B 3.一个路口的红绿灯,红灯的时间为 30 秒,黄灯的时间为 5 秒,绿灯的时间为 40 秒。当你到达 路口不用停直接通过的概率为 . 1.

8 15

4.有一杯 3 升的水,其中有一个细菌,用一个小杯子从这杯子水中取出 0.3 升水,则小杯子水中含 细菌的概率为

5.如图,在一个边长为 a、b(a>b>0)的矩形内画一个梯形,梯 1 1 形上、下底分别为 a 与 a,高为 b,向该矩形内随机投一点,则 3 2 所投的点落在梯形内部的概率为________. 解析 两“几何度量”即为两面积,直接套用几何概型的概率公 5 ab S梯形 12 11 1 5 5 式.S 矩形=ab,S 梯形= ( a+ a)· b= ab,所以所投的点落在梯形内部的概率为 = = . 23 2 12 S矩形 ab 12 答案 5 12

6. 如图所示,在直角坐标系内,射线 OT 落在 60° 角的终边上,任作 一条射线 OA,则射线 OA 落在∠xOT 内的概率是________. 解析 记事件 A 为“射线 OA 落在∠xOT 内”,因为∠xOT=60° ,

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60° 1 周角为 360° ,故 P(A)= = . 360° 6 答案 1 6

7.(选做)欧阳修《卖油翁》中写道: “乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自 钱孔入,而钱不湿。 ”可见“行行出状元” ,卖油翁的技艺让人叹为观止。若铜钱的直径是 3cm 的圆,中间有边长为 1cm 的正方形孔,若你随机向铜钱上滴一滴油,则油正好落入孔中的概率 是 (假设油滴落在铜钱上且油滴的大小忽略不计). 7.

4 9?

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