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3.3直线的交点坐标与距离公式讲义


3.3.1
两条直线的交点坐标

几何概念与代数表示
几何元素及关系
点A 直线l 点A在直线l上 代数表示

A(a, b) l : Ax ? By ? C ? 0
A的坐标满足方程 l : Aa ? Bb ? C ? 0 A的坐标是方程组的解

直线l1与l2的交点是A

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

例 1判断下列各对直线的位置关系,如果相交,求 出其交点的坐标.

(1)l1:x ? y ? 0,

l2:x ? 3y ? 10 ? 0 ; 3

6 3 (2) l1:x ? y ? 4 ? 0, l2:x ? 2y ? 1 ? 0;
6 3 (3)l1:x ? 4y ? 5 ? 0, l2:x ? 8y ? 10 ? 0.

一般地,若直线l1:A1x+B1y+C1=0和 l2:A2x+B2y+C2=0相交,如何求其交点坐标?

用代数方法求两条直线的交点坐标,只需写 出这两条直线的方程,然后联立求解.

对于两条直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 和 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,

若方程组

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

有唯一解,有无数组解,无解,则两直线的 位置关系如何?
两直线有一个交点, 重合、平行

问题:如何根据两直线的方程系数之间的关 系来判定两直线的位置关系?

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2 A1 B1 ? A2 B2

l1与l2平行 l1与l2相交

例 1判断下列各对直线的位置关系,如果相交,求 出其交点的坐标.

(1)l1:x ? y ? 0,

l2:x ? 3y ? 10 ? 0 ; 3

6 3 (2) l1:x ? y ? 4 ? 0, l2:x ? 2y ? 1 ? 0;
6 3 (3)l1:x ? 4y ? 5 ? 0, l2:x ? 8y ? 10 ? 0.

平行线系方程: 一般地,与直线Ax+By+C=0 (A,B不同时为0)平行的直线 可设为Ax+By+C1=0 垂直线系系方程: 一般地,与直线Ax+By+C=0 (A,B不同时为0)垂直的直线 可设为Bx-Ay+C2=0

当?变化时,方程

3x ? 4 y ? 2 ? ? (2 x ? y ? 2) ? 0
表示什么图形?图形有何特点?

表示的直线包括过交点M(-2,2)的一族直线

例3 求经过两直线3x+2y+1=0 和 2x-3y+5=0的交 点,且斜率为3的直线方程.

3.3.2

两点间的距离

已知平面上两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2),如何
点P1和P2的距离|P1P2|? y P2(x2,y2)

P1(x1,y1)

O

x

两点间距离公式推导
y y2

P2(x2, y2)

| P2Q |?| y2 ? y1 |
y1
P1(x1,y1) x1

Q(x2,y1)
x2 x

O

| PQ |?| x2 ? x1 | 1

两点间距离公式
一般地,已知平面上两点P1(x1,1 )和P2(x2,y2), y 利用上述方法求点P1和P2的距离为

| PP2 |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y 1 ) 1
2

2

特别地,点P(x,y)到原点(0,0)的距离为

| OP |?

x ?y
2

2

例1 已知点

A(?1,2) 和 B(2, 7 ) , 在x轴上

求一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.

例2 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对 角线的平方和. 证明:以A为原点,AB为x轴建立直角坐标系. 则四个顶点坐标为A(0,0),B(a,0),D(b,c),C(a+b,c)

y
D (b,c) C (a+b,c) x
建立坐标系, 用坐标表示有 关的量。

A(0,0)

B(a,0)

例2题解
y | CD | ? a 2 2 2 | BC |2 ? b2 ? c 2 | AD | ? b ? c
2 2 2 2

| AB | ? a

D (b,c)

C (a+b,c)

| AC |2 ? (a ? b)2 ? c2 | BD |2 ? (b ? a)2 ? c2
2 2 2 2

A (0,0)
2 2

B (a,0)
2

x

| AB | ? | CD | ? | AD | ? | BC | ? 2(a ? b ? c ) | AC |2 ? | BD |2 ? 2(a2 ? b2 ? c2 ) | AB | ? | CD | ? | AD | ? | BC | ?| AC | ? | BD |
2 2 2 2 2 2

因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角 线的平方和.

用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤: 第一步;建立坐标系, 用坐标系表示有关的量

第二步:进行 有关代数运算

第三步:把代数运算结果 “翻译”成几何关系

问题1:方程组解的情况与方程组所表示的两条 直线的位置关系有何对应关系?

?l1 , l2相交 ? 唯一解 ? ? 直线l1 , l2解方程组?无穷多解 ? ?l1 , l2重合 ? ?l , l ? 无解 ? 1 2平行

小结
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是

| P P2 |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) 1
2

2

特别地, 原点O与任一点P( x, y )的距离 : | OP |? x ? y
2 2

作业:1.阅读教材,完成课后练习 2.课时作业十八


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