当前位置:首页 >> 数学 >>

2016-2017学年北师大版选修2-2 第一章 推理与证明 单元测试


章末综合测评(一)

推理与证明

(时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下面四个推理不是合情推理的是( A.由圆的性质类比推出球的有关性质 B.由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是 180°,归纳出所 有三角形的内角和都是 180° C.某次考试张军的成绩是 100 分,由此推出全班同学的成绩都是 100 分 D.蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的,蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物,所以所有的 爬行动物都是用肺呼吸的 【解析】 逐项分析可知,A 项属于类比推理,B 项和 D 项属于归纳推理, )

而 C 项中各个学生的成绩不能类比,不是合情推理. 【答案】 C

2.用反证法证明命题“若直线 AB,CD 是异面直线,则直线 AC,BD 也是异 面直线”的过程归纳为以下三个步骤: ①则 A,B,C,D 四点共面,所以 AB,CD 共面,这与 AB,CD 是异面直 线矛盾; ②所以假设错误,即直线 AC,BD 也是异面直线; ③假设直线 AC,BD 是共面直线. 则正确的序号顺序为( A.①②③ C.①③② 【解析】 【答案】 ) B.③①② D.②③① 结合反证法的证明步骤可知,其正确步骤为③①②. B )

3.下列推理是归纳推理的是(

A.A,B 为定点,动点 P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得 P 的轨迹为椭圆 B.由 a1=1,an=3n-1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达 式
1

x2 y2 C.由圆 x2+y2=r2 的面积 πr2,猜出椭圆a2+b2=1 的面积 S=πab D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 【解析】 【答案】 由归纳推理的特点知,选 B. B )

4.用反证法证明“a,b,c 中至少有一个大于 0”,下列假设正确的是(

【导学号:94210028】 A.假设 a,b,c 都小于 0 B.假设 a,b,c 都大于 0 C.假设 a,b,c 中都不大于 0 D.假设 a,b,c 中至多有一个大于 0 【解析】 用反证法证明“a,b,c 中至少有一个大于 0”,应先假设要证

命题的否定成立.而要证命题的否定为:“假设 a,b,c 中都不大于 0”,故选 C. 【答案】 C

5.用数学归纳法证明“5n-2n 能被 3 整除”的第二步中,当 n=k+1 时,为 了使用假设,应将 5k+1-2k+1 变形为( A.(5k-2k)+4· 5k-2k B.5(5k-2k)+3· 2k C.(5-2)(5k-2k) D.2(5k-2k)-3· 5k 【解析】 5k+1-2k+1=5k·5-2k·2=5k·5-2k·5+2k·5-2k·2=5(5k- 2k)+3· 2k. 【答案】 B )

1 1 1 1 6. 已 知 n 为 正 偶 数 , 用 数 学 归 纳 法 证 明 1 - 2 + 3 - 4 + ? - n = 1 1? ? 1 2?n+2+n+4+?+2n?时,若已假设 n=k(k≥2 且 k 为偶数)时等式成立,则还 ? ? 需要用归纳假设再证 n=________时等式成立.( A.k+1 B.k+2
2

)

C.2k+2 D.2(k+2) 【解析】 根据数学归纳法的步骤可知,n=k(k≥2 且 k 为偶数)的下一个偶 数为 n=k+2,故选 B. 【答案】 B

7.(2016· 昌平模拟)已知{bn}为等比数列, b5=2, 则 b1· b2· b3· b4· b5· b6· b7· b8· b9 =29.若{an}为等差数列,a5=2,则{an}的类似结论为( A.a1a2a3?a9=29 B.a1+a2+a3+?+a9=29 C.a1a2a3?a9=2×9 D.a1+a2+a3+?+a9=2×9 【解析】 【答案】 根据等差、等比数列的特征知,a1+a2+?+a9=2×9. D )

8.(2016· 北京高考)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙 是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球 是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所 有球都被放入盒中,则( )

A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【解析】 取两个球往盒子中放有 4 种情况:

①红+红,则乙盒中红球数加 1; ②黑+黑,则丙盒中黑球数加 1; ③红+黑(红球放入甲盒中),则乙盒中黑球数加 1; ④黑+红(黑球放入甲盒中),则丙盒中红球数加 1.因为红球和黑球个数一样 多,所以①和②的情况一样多,③和④的情况完全随机. ③和④对 B 选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响. ①和②出现的次数是一样的,所以对 B 选项中的乙盒中的红球数与丙盒中 的黑球数的影响次数一样.
3

综上,选 B. 【答案】 B

9.在等差数列{an}中, 若 a10=0, 则有等式 a1+a2+?+an=a1+a2+?+a19
-n

(n<19 且 n∈N+)成立, 类比上述性质, 在等比数列{bn}中, 若 b11=1, 则有( A.b1·b2·?·bn=b1·b2·?·b19-n B.b1·b2·?·bn=b1·b2·?·b21-n C.b1+b2+?+bn=b1+b2+?+b19-n D.b1+b2+?+bn=b1+b2+?+b21-n 【解析】 【答案】 令 n=10 时,验证即知选 B. B

)

10.将石子摆成如图 1 的梯形形状.称数列 5,9,14,20,?为“梯形数”. 根据图形的构成,此数列的第 2 011 项,即 a2 011=( )

图1 A.2 018×2 014 C.1 010×2 012 B.2 018×2 013 D.1 011×2 015

【解析】 an-5 表示第 n 个梯形有 n-1 层点,最上面一层为 4 个,最下面 一层为 n+2 个. (n-1)(n+6) ∴an-5= ,∴a2 016-5 2 = 2 015×2 022 2

=2 015×1 011. 【答案】 D

11.在直角坐标系 xOy 中,一个质点从 A(a1,a2)出发沿图 2 中路线依次经过 B(a3,a4),C(a5,a6),D(a7,a8),?,按此规律一直运动下去,则 a2 +a2 017=( )
015+a2 016

4

图2 A.1 006 C.1 008 【解析】 B.1 007 D.1 009 依题意 a1=1,a2=1;a3=-1,a4=2;a5=2,a6=3;?,归

纳可得 a1+a3=1-1=0,a5+a7=2-2=0,?,进而可归纳得 a2 015+a2 017=0, 1 a2=1,a4=2,a6=3,?,进而可归纳得 a2 016=2×2 016=1 008,a2 015+a2 016 +a2 017=1 008.故选 C. 【答案】 C

12. 记 集 合 T = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9} , M =
? a1 ? a2 a3 a4 ? + 2+ 3+ 4| ai∈T,i=1,2,3,4 ?,将 10 10 ?10 10 ?

M 中的元素按从大到小排列,则

第 2 016 个数是(

)

7 9 8 4 A.10+102+103+104 5 5 7 2 B.10+102+103+104 5 5 7 3 C.10+102+103+104 7 9 9 1 D.10+102+103+104 【解析】 a1 a2 a3 a4 因为10+102+103+104

1 =104(a1×103+a2×102+a3×101+a4),括号内表示的 10 进制数,其最大值 为 9 999,从大到小排列,第 2 016 个数为 9 999-2 016+1=7 984, 所以 a1=7,a2=9,a3=8,a4=4. 【答案】 A
5

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在题中的横线 上) 13.已知圆的方程是 x2+y2=r2,则经过圆上一点 M(x0,y0)的切线方程为 x0x x2 y2 +y0y=r .类比上述性质,可以得到椭圆a2+b2=1 类似的性质为__________.
2

【解析】

圆的性质中,经过圆上一点 M(x0,y0)的切线方程就是将圆的方

x2 y2 程中的一个 x 与 y 分别用 M(x0,y0)的横坐标与纵坐标替换.故可得椭圆a2+b2=1 x2 y2 x0x y0y 类似的性质为:过椭圆a2+b2=1 上一点 P(x0,y0)的切线方程为 a2 + b2 =1. 【答案】 x2 y2 x0x y0y 经过椭圆a2+b2=1 上一点 P(x0,y0)的切线方程为 a2 + b2 =1

14.观察下列等式: 13=1, 13+23=9, 13+23+33=36, 13+23+33+43=100, ?? 照此规律,第 n 个等式可为__________. 【导学号:94210029】 【解析】 ?1 ?2 依 题 意 , 注 意 到 13 = ?2×1×(1+1)? , 13 + 23 = ? ?

?1 ?2 ?1 ?2 ?2×2×(2+1)? =9,13+23+33=?2×3×(3+1)? =36,??,照此规律, ? ? ? ? ?1 ?2 第 n 个等式可为 13+23+33+?+n3=?2n(n+1)? . ? ? 【答案】 ?1 ?2 13+23+33+?+n3=?2n(n+1)? ? ?

15.(2016· 东莞高二检测)当 n=1 时,有(a-b)(a+b)=a2-b2,当 n=2 时, 有(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3,当 n=3 时,有(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4, 当 n∈N+时,你能得到的结论是__________. 【解析】 根据题意,由于当 n=1 时,有(a-b)(a+b)=a2-b2,当 n=2

时,有(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3,
6

当 n=3 时,有(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4, 当 n∈N+时,左边第二个因式可知为 an+an-1b+?+abn-1+bn,那么对应 的表达式为(a-b)· (an+an-1b+?+abn-1+bn)=an+1-bn+1. 【答案】 (a-b)(an+an-1b+?+abn-1+bn)=an+1-bn+1

16.如图 3,如果一个凸多面体是 n(n∈N+)棱锥,那么这个凸多面体的所有 顶点所确定的直线共有 ________ 条,这些直线共有 f(n)对异面直线,则 f(4)= ________,f(n)=__________.(答案用数字或 n 的解析式表示)

图3 【解析】 所有顶点所确定的直线共有棱数+底边数+对角线数= n+n+

n(n-3) n(n+1) = .从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为 f(4)=4×2 2 2 4×1 n(n-3) n(n-1)(n-2) + ×2=12,所以 f(n)=n(n-2)+ · (n-2)= . 2 2 2 【答案】 n(n+1) 2 12 n(n-1)(n-2) 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.(本小题满分 10 分)用综合法或分析法证明: (1)如果 a,b>0,则 lg (2) 6+ 10>2 3+2. 【证明】 a+b (1)当 a,b>0 时,有 2 ≥ ab, a+b lg a+lg b ; 2 ≥ 2

a+b ∴lg 2 ≥lg ab, ∴lg a+b 1 lg a+lg b ≥ lg ab = . 2 2 2

(2)要证 6+ 10>2 3+2,
7

只要证( 6+ 10)2>(2 3+2)2, 即 2 60>2 48,这是显然成立的, 所以,原不等式成立. 18.(本小题满分 12 分)观察以下各等式: 3 sin230°+cos260°+sin 30°cos 60°=4, 3 sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°=4, 3 sin215°+cos245°+sin 15°cos 45°=4. 分析上述各式的共同特点, 猜想出反映一般规律的等式, 并对等式的正确性 作出证明. 【解】 3 猜想:sin2α+cos2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=4.

证明如下: sin2α+cos2(α+30°)+sin αcos(α+30°) ? 3 ?2 1 =sin2α+? cos α- sin α? 2 ?2 ? ? 3 ? 1 +sin α? cos α- sin α? 2 2 ? ? 3 3 1 =sin2α+4cos2α- 2 sin αcos α+4sin2α+ 3 1 2 sin α · cos α - 2 2sin α 3 3 =4sin2α+4cos2α 3 = . 4 19.(本小题满分 12 分)点 P 为斜三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱 BB1 上一点,PM ⊥BB1 交 AA1 于点 M,PN⊥BB1 交 CC1 于点 N. (1)求证:CC1⊥MN; (2)在任意△DEF 中有余弦定理:DE2=DF2+EF2-2DF· EF· cos∠DFE.扩展 到空间类比三角形的余弦定理, 写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所 成的二面角之间的关系式,并予以证明.
8

【解】

(1)证明:因为 PM⊥BB1,PN⊥BB1,又 PM∩PN=P,

所以 BB1⊥平面 PMN,所以 BB1⊥MN. 又 CC1∥BB1,所以 CC1⊥MN. (2)在斜三棱柱 ABCA1B1C1 中, 有 S2ABB1A1=S2BCC1B1+S2ACC1A1-2SBCC1B1SACC1A1cos α. 其中 α 为平面 BCC1B1 与平面 ACC1A1 所成的二面角. 证明如下: 因为 CC1⊥平面 PMN,所以上述的二面角的平面角为∠MNP. 在△PMN 中, 因为 PM2=PN2+MN2-2PN· MNcos∠MNP,
2 2 2 2 所以 PM2·CC2 CC1)· (MN· CC1)cos∠MNP, 1=PN ·CC1+MN ·CC1-2(PN·

由于 S BCC1B1=PN· CC1,S ACC1A1=MN· CC1, S ABB1A1=PM· BB1=PM· CC1, 所以 S2 ABB1A1=S2 BCC1B1+S2 ACC1A1-2S BCC1B1·S ACC1A1·cos α. 20.(本小题满分 12 分)(2014· 江苏高考)如图 4,在三棱锥 PABC 中,D,E, F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点.已知 PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求证:

图4 (1)直线 PA∥平面 DEF; (2)平面 BDE⊥平面 ABC. 【证明】 (1)因为 D,E 分别为棱 PC,AC 的中点,所以 DE∥PA.

又因为 PA? / 平面 DEF,DE?平面 DEF, 所以直线 PA∥平面 DEF. (2)因为 D, E, F 分别为棱 PC, AC, AB 的中点, PA=6, BC=8, 所以 DE∥PA, 1 1 DE=2PA=3,EF=2BC=4.
9

又因为 DF=5,故 DF2=DE2+EF2, 所以∠DEF=90°,即 DE⊥EF. 又 PA⊥AC,DE∥PA,所以 DE⊥AC. 因为 AC∩EF=E,AC?平面 ABC,EF?平面 ABC, 所以 DE⊥平面 ABC. 又 DE?平面 BDE, 所以平面 BDE⊥平面 ABC. (n-1)an 1 21.(本小题满分 12 分)在数列{an}中,a1=1,a2=4,且 an+1= n-an (n≥2). (1)求 a3,a4,猜想 an 的表达式,并加以证明; (2)设 bn= an·an+1 , 求证:对任意的 n∈N+,都有 b1+b2+?+bn< an+ an+1 n 3.

【导学号:94210030】 【解】 1 1 (1)容易求得:a3=7,a4=10.

1 故可以猜想 an= ,n∈N+. 3n-2 下面利用数学归纳法加以证明: ①显然当 n=1,2,3,4 时,结论成立, ②假设当 n=k(k≥4,k∈N+)时,结论也成立,即 ak= 1 . 3k-2

那么当 n=k+1 时,由题设与归纳假设可知: (k-1)ak ak+1= = k-ak (k-1)× k- 1 3k-2

1 3k-2

= =

k-1 k-1 = 3k -2k-1 (3k+1)(k-1)
2

1 1 = . 3k+1 3(k+1)-2

10

即当 n=k+1 时,结论也成立,综上,对任意 n∈N+,an= (2)证明:bn= 1 · 3n-2 1 + 3n-2 an·an+1 an+ an+1 1 3n+1 1 3n+1

1 成立. 3n-2





1 1 =3( 3n+1- 3n-2), 3n+1+ 3n-2

所以 b1+b2+?+bn 1 =3[( 4-1)+( 7- 4)+( 10- 7)+?+( 3n+1- 3n-2)] 1 =3( 3n+1-1), 1 所以只需要证明 3( 3n+1 -1)< +1?0<2 3n(显然成立), 所以对任意的 n∈N+,都有 b1+b2+?+bn< n 3. n 3 ? 3n+1< 3n +1 ? 3n + 1<3n + 2 3n

22.( 本小题满分 12 分 )(2016· 江苏高考 ) 记 U= {1 , 2 ,?, 100} ,对数列 {an}(n∈N+)和 U 的子集 T,若 T=?,定义 ST=0;若 T={t1,t2,?,tk},定义 ST=at1+at2+?+atk.例如:T={1,3,66}时,ST=a1+a3+a66.现设{an}(n∈N+) 是公比为 3 的等比数列,且当 T={2,4}时,ST=30. (1)求数列{an}的通项公式; (2)对任意正整数 k(1≤k≤100),若 T?{1,2,?,k},求证:ST<ak+1; (3)设 C?U,D?U,SC≥SD,求证:SC+SC∩D≥2SD. 【解】 (1)由已知得 an=a1·3n-1,n∈N+.

于是当 T={2,4}时,ST=a2+a4=3a1+27a1=30a1. 又 ST=30,故 30a1=30,即 a1=1. 所以数列{an}的通项公式为 an=3n-1,n∈N+. (2)证明:因为 T?{1,2,?,k},an=3n-1>0,n∈N+,

11

1 - 所以 ST≤a1+a2+?+ak=1+3+?+3k 1=2(3k-1)<3k. 因此,ST<ak+1. (3)证明:下面分三种情况证明. ①若 D 是 C 的子集,则 SC+SC∩D=SC+SD≥SD+SD=2SD. ②若 C 是 D 的子集,则 SC+SC∩D=SC+SC=2SC≥2SD. ③若 D 不是 C 的子集,且 C 不是 D 的子集. 令 E=C∩?UD,F=D∩?UC, 则 E≠?,F≠?,E∩F=?. 于是 SC=SE+SC∩D,SD=SF+SC∩D,进而由 SC≥SD 得 SE≥SF. 设 k 为 E 中的最大数,l 为 F 中的最大数,则 k≥1,l≥1,k≠l. 由(2)知,SE<ak+1.于是 3l-1=al≤SF≤SE<ak+1=3k, 所以 l-1<k,即 l≤k. 又 k≠l,故 l≤k-1.从而 SF≤a1+a2+?+al=1+3+?+3
l-1

3l-1 3k-1-1 ak-1 SE-1 = 2 ≤ 2 = 2 ≤ 2 ,

故 SE≥2SF+1,所以 SC-SC∩D≥2(SD-SC∩D)+1, 即 SC+SC∩D≥2SD+1. 综合①②③得,SC+SC∩D≥2SD.

12


相关文章:
...第一章 推理与证明综合测试 北师大版选修2-2
2015-2016学年高中数学 第一章 推理与证明综合测试 北师大版选修2-2_高一数学_数学_高中教育_教育专区。【成才之路】 2015-2016 学年高中数学 第一章 推理与...
北师大版选修2-2第一章推理与证明单元测试题及答案
北师大版选修2-2第一章推理与证明单元测试题及答案_政史地_高中教育_教育专区。高二数学选修 2-2 《推理与证明》质量检测试题参赛试卷 推理与证明》陕棉十二厂...
第一章推理与证明单元测试A(北师大版选修2-2)
金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 北师大版数学选修 2-2 第一章推理与证明单元测试 A 一 选择题(5× 12=60 分) 1. 如下图为一串白黑相间排列的珠子,按...
第一章推理与证明单元测试B(北师大版选修2-2)
金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 北师大版数学选修 2-2 第一章推理与证明单元测试 B 一、选择题: (5× 10=50 分) 1、与函数 y ? x 为相同函数的是(...
第一章推理与证明单元测试B(北师大版选修2-2)(1)_免费...
金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 北师大版数学选修 2-2 第一章推理与证明单元测试 B 一、选择题: (5× 10=50 分) 1、与函数 y ? x 为相同函数的是(...
2016_2017学年高中数学第三章推理与证明单元测试含解析...
2016_2017学年高中数学第三章推理与证明单元测试含解析北师大版选修1_高中教育_教育专区。(三)推理与证明 章末综合测评 (时间 120 分钟,满分 150 分) 一、...
高二数学选修2-2第一章推理与证明单元测试题及答案
高二数学选修2-2第一章推理与证明单元测试题及答案_高二数学_数学_高中教育_教育...北师大版高二数学选修1-... 暂无评价 7页 ¥3.00 2008年安徽省合肥一中高...
第一章《推理与证明》过关检测题(北师大版选修2-2)
第一章推理与证明》过关检测题(北师大版选修2-2)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。第一章推理与证明》过关检测题(北师大版选修 2-2)一、选择题: (每...
北师大版高中数学选修2-2高二数学推理与证明测试题及答案
北师大版高中数学选修2-2高二数学推理与证明测试题及答案_数学_高中教育_教育专区。北师大版高中数学选修 2-2 高二数学推理与证明测试题及答案试卷满分 100 分,...
2016-2017学年高中数学阶段质量评估1北师大版选修2-2讲义
2016-2017学年高中数学阶段质量评估1北师大版选修2-2讲义_数学_高中教育_教育专区。第一章 推理与证明 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 ...
更多相关标签: