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平面向量的数量积第一课时教案-数学必修四第二章平面向量2.4人教A版


人教 A 版数学教案必修 4 第二章 2.4 第一课时

第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 第一课时 平面向量数量积的物理背景及其含义 1 教学目标
[1] 掌握平面向量的数量积 [2] 掌握平面向量数量积的几何意义 [3] 掌握平面向量数量积的运算律

2 教学重点/难点
重点:平面向量数量积的定义及几何意义 难点:平面向量数量积的运算律的理解和运用

3 专家建议
[1]平面向量数量积满足数乘结合律,但不满足乘法结合律,应加以详细讲解 [2]稍微向外扩展一下点乘与叉乘的区别,加深对数量积的理解

4 教学方法
互动探究,类比式教学,启发式教学

5 教学过程
5.1 引入 【师】首先,请同学们回答我三个问题,请看: 【板演/PPT】 问题 1:前面几节课,我们学习过向量的什么知识? 问题 2:我们是怎么探索和研究向量的加法运算和减法运算的? 问题 3:在物理学中,我们是如何求一个力所做功的多少的? 【生】讨论,思考 【师】我们来把问题一个一个地解决掉 【板演/PPT】 答问题 1: 平面向量的相关定义(零向量,单位向量,平行向量,共线向量) 平面向量的线性运算和坐标运算(数乘运算,坐标的加减法运算)

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答问题 2:从物理角度入手探索,再理解概念,再学习运算律,再到知识的运用 答问题 3:如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 S,那么力 F 所做的功就可以用如下公式计 算: W ?| F || S | cos? ( ? 是 F 和 S 的夹角) 【师】同学们,大家都知道力和位移是矢量,功是一个标量,它由力和位移两个向量来确定, 这给我们一种启示,能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢?

5.2 新知介绍 [1] 平面向量的数量积定义 【师】从以上问题,我们知道,数学与物理知识之间存在着联系,那我们再从物理问题入手, 思考下,物理中的人拉船模型中的数学知识 【板演/PPT】 人的拉力(F)的方向与船前进(S)的方向往往是成一个夹角的,我们设为 ? ,那么这个力所 做的功的大小与三个因素有关, (前提是忽略摩擦) ,力的大小、方向、船的位移。 其实,就两个矢量,力(F)和位移(S) ,夹角是力和位移之间的一种关系,能够形成功,一 是要有力,二是要有位移。所以简单的理解为两个矢量经过一种运算得到一个标量物理量。

| F | ? | S | ? cos? ? W

| a | | b | cos ? a,b ?
【师】故,我们可以得出平面向量的数量积的概念 【板演/PPT】 已知两个非零向量 a, 与b , 我们把数量 | a || b | cos? 叫做 a, 与b 的数量积 (或内积) , 记作:a ? b , 即 a ? b ?| a || b | cos?

例题1、已知| a |? 2, | b |? 3, a与b的夹角为 300,求a ? b.
解: a ? b ?| a || b | cos? ? 2 ? 3 ? cos300 ? 2 ? 3 ? 3 ?3 3 2

练一练: 已知 | a |? 4, | b |? 5, a与b的夹角为600.
解: a ? b ?| a || b | cos ? ? 4 ? 5 ? cos 60 0 ? 4 ? 5 ? 1 ? 10 2

[2] 平面向量数量积与向量数乘的区别
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【师】从以上例题中,数量积得出结果是实数,那么是不是所有数量积都是实数呢?那么数量 积与向量的数乘又有什么区别呢?同学们回顾一下向量数乘的概念。 【生】回答 【板演/PPT】 一般地,我们规定实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘 【师】向量数乘得出一结果是一个向量,而数量积呢? 【板演/PPT】 平面向量的数量积相关说明: 1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量 2)两个向量的数量积的符号由 cos ? 决定 3)两个向量的数量积也称为内积,记作: a ? b ,不能写成: a ? b 4)规定零向量与任何向量的数量积都等于零

例题2、已知| a |? 2, | b |? 1, a与b的夹角为 1200,求a ? b.
1 解: a ? b ?| a || b | cos ? ? 2 ?1? cos 120 0 ? 2 ?1? (? ) ? ?1 2

例题3、已知| a |? 7, | b |? 5, a与b的夹角为 900,求a ? b.

解: a ? b ?| a || b | cos? ? 7 ? 5? cos900 ? 7 ? 5? 0 ? 0
1 3 , | b |? , a与b的夹角为 00,求 a ? b. 2 4 1 3 1 3 3 ? ? cos 00 ? ? ?1 ? 2 4 2 4 8 3 , a与b的夹角为 123 0,求 a ? b. 4

例题4、已知 | a |?

解: a ? b ?| a || b | cos ? ?

例题5、已知 | a |? 0, | b |?

3 解: a ? b ?| a || b | cos ? ? 0 ? ? cos 123 0 ? 0 4

[3] 平面向量数量积的几何意义 【师】我们学习了数量积的定义,知道了如何计算两个向量的数量积,更对平面向量数量积有 了深刻的了解,那么在数学上,向量的数量积存在着什么意义? 【生】思考 【师】下面我们来研究一下数量积的几何意义 【板演/PPT】
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?

车上坡,牵引力(F)沿斜面向上,车子水平位移(S) ,还有斜面坡度为 ? ,车子在水平面上 的投影是 | a | cos? 。 我们把 | a | cos? 叫做向量 a 在 b 方向上的投影。 由向量投影的定义,我们可以得到 a ? b 的几何意义:数量积 a ? b 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 的方 向上的投影 | b | cos? 的乘积。 【师】同学们注意一下,关于投影这个概念,我们要注意什么问题 【生】讨论,回答 【板演/PPT】 注意问题: 1)投影是一个数量,不是向量 2)投影的值与 ? 有关

例题6、已知| a |? 4, b在a上的投影为? 2, 求a ? b.
解: ? b在a上的投影为? 2, ?| b | cos? ? ?2, ? a ? b ?| a || b | cos? ? 4 ? (?2) ? ?8
[4] 平面向量数量积的运算律 【师】 向量的数量积是一种运算, 那么数量积的具有什么样的运算律?数量积的运算律跟实数 的运算律是不是一样?如果不一样,那又有什么区别?我们要注意些什么问题? 【生】讨论,回答 【板演/PPT】

(1)a ? b ? b ? a (2)(? a) ? b ? ? (a ? b) ? a ? (? b) (3)(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c
【师】还有以下结论同样成立

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( a ? b ) 2 ? a ? 2 ab ? b (a ? b)(a ? b) ? a ? b
2 2

2

2

【师】下面我们证明运算定律(3)
证明:如图,任取一点 O,作OA ? a, AB ? b, OC ? c, 因为a ? b(即OB)在c方向上的投影等于 a、 b在c方向上的投影的和,即 | a ? b | cos? ?| a | cos?1 ? | b | cos? 2 , ?| c || a ? b | cos? ?| c || a | cos?1 ? | c || b | cos? 2 ? c ( a ? b) ? c ? a ? c ? b ? ( a ? b )c ? a ? c ? b ? c

例题7、已知| a |? 12, | b |? 2, a与b的夹角为450,求a ? b和b ? a
解: a ? b ?| a || b | cos? ? 12? 2 ? cos 450 ? 12? 2 ? 2 ? 12 2 2

b ? a ? a ? b ? 12 2
例题8、计算

(1)已知| a |? 3, | b |? 4, a与b的夹角为 600,求(4a) ? b和a ? 3b. (2)在等腰直角 ?ABC中, | AB |?| AC |? 4, 求(AB ? BC ) ? AC

解: (1)( 4a) ? b ? 4(a ? b) ? 4? | a | ? | b | ? cos 60 0 ? 4 ? 3 ? 4 ?
a ? 3b ? 3(a ? b) ? 3? | a | ? | b | ? cos 60 0 ? 3 ? 3 ? 4 ? 1 ? 18 2

1 ? 24 2

(2) | BC |? 4 2 ,? ( AB ? BC) ? AC ? AB ? AC ? BC ? AC ?| AB | ? | AC | ? cos900 ? | BC | ? | AC | ? cos 450 ? 4? 4? 0 ? 4 2 ? 4? ? 16 2 2

例题9、已知| a |? 3, | b |? 2, a与b的夹角为 600,求(2a ? b)(a ? 3b).

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解: (2a ? b)(a ? 3b) ? 2a ? a ? 3b ? b ? 5ab ? 2 | a |2 ?3 | b |2 ?5 | a | ? | b | cos600 1 ? 2 ? 32 ? 3 ? 2 2 ? 5 ? 3 ? 2 ? 2 ? 21

[5] 小结
?定义: a ? b ?| a || b | cos? ? ? ? a ? b等于 | a | 与在b在a方向上的投影| b | cos?的乘积 ?几何意义: 平面向量数量积: ? ?a ? b ? b ? a ? ? ? ?运算律: ?(? a ) ? b ? ? (a ? b) ? a ? (? b) ? ? ? ( a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c ? ? ?

5.3 复习总结和作业布置 [1] 课堂练习

1、已知| a |? 6, | b |? 8, a与b的夹角是 600,求b ? a

2、已知?ABC中, AB ? a, AC ? b, 当?ABC分别是直解三角形,锐 角三角形,钝角三角形 时, a与b满足什么关系?

课堂练习【参考答案】 :
1、解: b ? a ?| b | ? | a | ? cos ? ? 8 ? 6 ? cos 60 0 ? 8 ? 6 ? 1 ? 24 2

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2、当a ? b ? 0时,?ABC是直角三角形; 当a ? b ? 0时,?ABC是锐角三角形; 当a ? b ? 0时,?ABC是钝角三角形。

[2] 作业布置 1、复习本节课所讲内容 2、预习下一节课内容

5.4 板书设计

一、平面向量数量积的定义 1、 已知两个非零向量 a, 与b , 我们把数量 | a || b | cos? 叫做 a, 与b 的数量积 (或内积) , 记作: a ?b , 即 a ? b ?| a || b | cos? 2、平面向量的数量积相关说明: 1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量 2)两个向量的数量积的符号由 cos ? 决定 3)两个向量的数量积也称为内积,记作: a ? b ,不能写成: a ? b 4)规定零向量与任何向量的数量积都等于零 二、平面向量数量积的几何意义 数量积 a ? b 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 的方向上的投影 | b | cos? 的乘积。 三、平面向量数量积的运算律

(1)a ? b ? b ? a (2)(? a) ? b ? ? (a ? b) ? a ? (? b) (3)(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c

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