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高一数学课件


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必 修 (一)

2014 年.4 月

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第一讲:集合与函数概念 1.1 集合
一、集合的概念: 一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。 (简称:集) 〖集合中元素的特性〗 (1)确定性:给定的集合,它的元素必须是确定的。也就是说,给定一个集合,那么任何 一个元素在不在这个集合中就确定了。 例如: “高一(1)班的高个子同学” 。寺院所有的秃子等... 是不是集合? (2)互异性:一个给定集合中的元素是互不相同的(或说是互异的). 也就是说,集合中的 元素不重复出现。 例如:方程 x 4x+4=0 的解集只能写成{2}而不能写成{2,2}. 反过来,如{1,-1,a}表 示一个集合时,a≠ ? 1. (3)无序性:组成集合的元素不考虑顺序。如{1,2,3}与{3,2,1}表示同一个集合。只要 构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的。 〖元素与集合的表示〗 通常用大写拉丁字母 A,B,C,D...表示集合,用小写拉丁字母 a,b,c...表示集合中的元素。 〖元素与集合的关系〗 如果 a 是集合 A 中的元素,就说 a 属于集合 A,记作 a ? A;如果 a 不是集合 A 中的元素, 就说 a 不属于集合 A,记作 a? A. 注意: (符号 ? 和 ? 表示的是元素与集合的关系,元素与集合之间有两种关系。 ) 〖常用数集及其记法〗 A、全体非负整数组成的集合称为非负整数集合(或自然数集) ,记作 N. B、所有正整数组成的集合称为正整数集,记作 N*或 N+。 C、全体整数组成的集合称为整数集,记作 Z. D、全体有理数组成的集合称为有理数集,记作 Q. E、全体实数组成的集合称为实数集,记作 R. 〖集合的分类〗 集合可以根据它含有的元素的个数分为两类: (1)有限集:含有有限个元素的集合。 (2)无限集:含有无限个元素的集合。 〖集合的表示方法〗 (1)列举法:把集合的元素一一列举出来,并用花括号“ {} ”括起来表示集合的方法叫作 列举法。如{1,2,3,4,5,6}. 注意: ( 1)元素间用逗号隔开且元素不重复; ( 2)元素排列无固定顺序; ( 3)列举法也可 以表示有明显规律的元素组成的无限集。 (2)描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。具体方法是:在花 括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,在画一条竖线,在竖线 后写出这个集合中元素所具有的共同特征。如{x ? R (3)用 venn 图表示; 〖子集〗
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2__

x2__ 2x—3=0}={-1,3}.

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一般地,对于两个集合 A,B,如果集合 A 中任〖意一个元素都是集合 B 中的元素,我们就 说这两个集合有包含关系,称集合 A 为集合 B 的子集,记作 A ? B(或 B ? A),读作 A 包含于 B, (或 B 包含 A) 〖真子集〗 如果集合 A ? B, 但存在元素 x ? B 且 x ? A, 我们称集合 A 是集和 B 的真子集。 记作 A

?
?

B

(或 B

A)

〖集合相等〗 如果集合 A 是集合 B 的子集( A ? B), 且集合 B 是集合 A 的子集( B ? A), 此时,集合 B 与集合 A 元素是一样,因此集合 A 与集合 B 相等,记作 A=B。 〖空集〗 不含任何元素的集合叫做空集,记 作φ 。 规定:空集是任何集合的子集。 〖并集〗 一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,称集合 A 与 B 的并集,记作 A ? B(读作 A 并 B), 即 A ? B={x x ? A, 且 x ? B}. 可用图表示为:

A A? B

A B

B

〖交集〗 A? B 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为集合 A 与 B 的交集,记 作 A ? B(读作 A 交 B)即 A ? B={x 〖补集〗 对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集,简称为集合 A 的补集,Cu A,即,Cu A={x ? U, 且 x ? B}可用图示表示如 x ? A, 且 x ? B}

下:
U A

Cu A
结和 venn 图及全集与补集的定义,得到如下性质:

(1)A ? (CUA)=U,

A ? (CU A)=φ

, CU(CUA)=A,

CUU=φ , CUφ =U.

(2)CU (A ? B)=( CU A ) ? (CUB),

CU(A ? B)=(CUA) ? (CUB)

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第二讲:综合训练
〖知识点一〗集合概念 例 1、下列所给的对象能够成集合的是( ) ?所有的正三角形;?比较接近 1 的数的全体;③ 某校高一年级所有 16 岁以下的学生; ④ 平面直角坐标系内到原点距离等于 1 的点的集合;⑤ 所有参加 2012 年伦敦奥运会的年轻 运到员;⑥ 2 的近似值得全体; 〖知识点二〗集合中元素的特性 例 2、a,b,c ,d,为集合 A 的四个元素,那么以 a,b,c ,d 为边长构成的四边形可能是 ( ) B. 平行四边形
2__

A. 矩形

C. 菱形

D. 梯形

例 3、在集合 A={x,3,x 2x}中,x 应满足什么条件? 〖知识点三〗元素与集合的关系 例 4、设 S 是由满足下列条件的实数所构成的集合: ① 1? S; ② 若 a? S,则 1/1-a? S. 请回答下列问题: (1)若 2 ? S,则 S 中必有另外两个数,求出这两个数。 (2)求证:若 a ? S,且 a≠0,则 1-1/a? S. (3)集合 S 能否只还有一个元素?若能,求出这个元素;若不能,请说明理由。 〖知识点四〗集合的表示方法 例 5 用适当的方法表示下列集合: (1)A={ (x,y) (2)B={6/1+x ? Z (3) x+y=4,x ? N*,y ? N*}; x ? N} ;

方程 x2+y2__ 4x+6y+13=0 的所有实数根组成的集合; ax2 —3x+2=0} 。

例 6、已知集合 A={x

(1)若 A 是单元素集合,求集合 A; (2)若 A 中至少有一个元素,求 a 的取值范围。 例 7、下列命题: ① 方程

x ? 2 + y ? 2 =0 的解集为{2,-2} ;
y=x-1,x ? R}的公共元素所组成的集合是{0,1} x-1<0}与集合{x x>a,a ? R}没有公共元素。其中正确的为( )

② 集合{y ③ 集合{x

〖知识点五〗集合间的关系判定 例 8、下列各式正确的是_____。 ① {a} ?{a}② {1,2 ,3}={3 ,2,1 }③ φ
? ?

{0};④ {(0,1)}? {0,1};⑤ {1} {x
?

?

x

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≦5} ;⑥ {1,3} ? {3,4}.
?

例 9、下列说法正确的是( ) a 任意集合必有子集;b、空集是任意集合的真子集;c 、若集合 A 是集合 B 的子集集合 B 是集合 C 的子集,则集合 A 是集合 C 的子集。d、若不属于集合 A 的元素也一定不属于集 合 B,则 B 是 A 的子集。 例 10、 若集合 A= {x x=a +1,a? N*} ,B= {y
2

y=b 4b+5,b? N*} , 则 A 与 B 的关系是____ 。
2_ 2

〖知识点六〗子集关系的应用 例 11、已知集合 M={2,a,b} ,集合 N={2a,2,b } ,且 M=N,求 a,b 的值。 练习 1、若集合 A={x x2 +x-6=0} ,B={x mx+1=0} ,且 B ? A 的真子集,求 m 的值。
?

2、已知三个集合 A= {x 同时满足 B
? ?

x2 —3x+2=0} , B= {x ? R

x2_ ax+a—1=0} , C= {x ? R

x2_ bx+2=0} ,

A,C ? A 的实数 a,b 是否存在?若才在,求 a、b 的取值范围;若不存在,请

说明理由。 〖知识点七〗并集与交集 例 12、已知集 A={x 练习:1、设集合 A={x 求实数 a 的取值范围. x-2>3} ,B={x
2

2x—3>3x—a} ,求 A ? B. x 4x+a=0,a 为常数}若 A ? B=A,
2_

x —3x+2=0},集合 B={x? R

2、已知集合 A={0,2a—1,a2 } ,B={a-5,1-a,9},分别求符合下列条件的 a 的值。

3、下列图形中的阴影部分的是( ) A (A ? C) ? (B ? C) C (A ? B) ? (B ? C)

B (A ? B) ? (A ? C) D (A ? B) ? C B A C

〖知识点八〗全集与补集 例 13 已知集合 A={x x2 +ax+12b=0}和 B={x x2 —ax+b=0} ,满足(CU A) ? B=

{2},A ? (CU B)={4} ,U=R,求实数 a,b 的值。

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练习: 1、 设集合 I= {1,2,3} A 是 I 的子集, 如果把满足 M ? A=I 的集合 M 叫做集合 A 的 “配 集” ,当 A={1,2}时,A 的配集的个数是( ) A 1 B 2 C 3 D 4 2、已知全集 U=R,M={x 3a<x<2a+5}P={x -2≦x≦1},若 M ? CUP,求实数 a 的取值范
?

围。

3、设集合 U={(x,y)

x,y ? R} ,M={ (x,y)

y-3/x-2=1} ,N={ (x,y)

y≠x+1} ,

则(CUM) ? (CUN )=______.

4、已知集合 A={x m 的取值范围。

x2 —4mx+2m+6=0,x? R} ,B={x

x<0,x ? R}, 若 A ? B≠ ? ,求实数

5、已知集合 A={x

0<x-a ? 5} ,B={ x

-a/2<x ? 6}

(1)若 A ? B=A,求 a 的取值范围; (2)若 A ? B=A,求 a 的取值范围。

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第三讲:函数的表示
1.2 函数及其表示 一、函数的概念。 设 A,B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x, 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A ? B 为从集合 A 到集合 B 的 一个函数。记作 y=f(x) ,x? A. 其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域, 与 x 的值相对应的 y 值叫作函数值,函数值的集合{f(x) 显然,值域是集合 B 的子集。 二、区间 设 a,b 是两个实数,且 a<b,我们规定: (1)满足不等式 a≤x≤b 的实数 x 的集合叫做闭区间,表示为 [ a,b]. (2)满足不等式 a<x<b 的实数 x 的集合叫做开区间,表示(a,b) ; (3)满足不等式 a≤x<b 或(a<x≤b)的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分别表示为[a,b) (a,b]. 注意:这里的实数 a 与 b 都叫作相应区间的端点. 三、函数构成的要素 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域。相等函数是指:定义域相同,函数关系 式相同的两个函数.如 f(x)=3x+4 与 f(x)=3t+4 表示同一个函数。 四、函数的表示 (1)解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。 (2)用图像:用图像表示两个变量之间的对应关系。 (3)列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系。 五、分段函数 在函数 的定义域中,对于自变量 x 的不同取值范围,有着不同的对应关系,这样的函 数通常称为分段函数.如函数 y=f(x)= ? x ? A}叫作函数值的值域。

?2 x, x ? 0 ,就是分段函数 ? 1, x ? 0

六、、映射,原象与象、一一映射、映射与函数的关系 映射:设 A,B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中 的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应:A→B 为 从集合 A 到集合 B 的一个映射. 原象与象:对于映射 f:A→B,集合 A 中的元素 x 称为原象,集合 B 中的对应元素 y 称为 x 的象,记作 f:x→y 一一映射:在实际中,我们经常使用一种特殊的映射,通常叫做一一映射,他满足: (1)A 中每一个元素在 B 中都有唯一的象与之对应; (2)A 中的不同元素的象也不同; (3)B 中的每一个元素都有原象, 有时,我们把集合 A,B 之间的一一映射也叫做一一对应。 映射与函数的关系:函数是一种特殊的映射,映射是函数的推广. 七、函数定义域的求法
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求函数的定义域要注意一下几点: (1)分式的分母不为 0. (2)偶次根式的被开放大于等于 0. (3)零次幂的底数不为 0. (4)对数的真数大于 0. (5)指数函数、对数函数的底数大于零且不等于 1. (6)实际问题对自变量的限制. (7)对于抽象函数而言,相同对应法则作用下的对象范围一致,如 f(2x)与 f(x+1) ,在 对应法则“f”作用下“2x”与“x+1”的范围相同,但无论哪种形式的定义域,都是指“x” 的取值范围. 八、函数值域的求法 求函数的值域主要有以下方法: (1)图像法:当函数的图像给出时,图像在 y 轴上的投影所覆盖的实数 y 的集合即为函数 的值域.(2)直接法:从自变量的 x 的范围入手,逐步推出 y 的取值范围。基本初等函数的 值域都是由此方法得出的.(3)配方法:对于二次函数,常采用此方法.(4)换元法:运用 代数或三角代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求出原函数的值域.如求 y=

x ? 2 +x 的值域,可令 x ? 2 =t,t≥0,准化为求 y=t+t2+2,t ≥0.(5)分离常数法:

适合解析式为分式形式的函数.如求 y=x+2/x-3 的值域,则可分离函数为 y=x-3+5/x-3=1+5/x-3,进而求值域.(6)判别式法:运用放过方程思想,依据一元二次方 程有实数根,求出 y 的值.(7)单调性法(8)基本不等式法. 九、函数解析式求法 一般求解析式有: 1、 待定系数法。 (使用于已知函数类型的函数求解析式, 先设函数解析式, 再根据条件列方程(组)求解.)2 配凑法:使用于 f(g(x) )=F(x)型的函数,将函数改写 为 g(x)的表达式,再以 x 代替 g(x)可得函数 f(x)的表达式.3、换元法.由已知条件 f(g(x) )=F(x) ,可令 t=g(x) ,解得 x=g-1(—t—),带入 F(x)可得 f(t)的表达式. (5)实际问题中寻找与量之间的关系得出函数解析式。 〖知识点一〗函数的概念 例 1、判断下列对应是否为集合 A 到集合 B 的函数. (1)A=R, B={x x>0} ,f:x→y= x ;

(2)A=Z,B=Z,f :x→y=x2 (3)A=Z,B=Zf :x→y= (4)A={x

x;

-1≤x≤1} ,B={0} ,f:x→y=0

例 2、已知四组函数,其中表示同一函数的是_______. (1)f(x)=x,g(x)=

x2 ;
3 3

(2)f(x)=x,g(x)= x ; (3)f(n)=2n-1(n ? N);g(n)=2n+1(n ? N) (4)F(x)=x2 -2x,g(t)=t2 -2t.
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〖知识点二〗求函数的定义域和值域 例 3、求下列函数的定义域,结果用区间表示. (1)y=

x?2 +
( x ? 1) 0 x ?x

1 ; x ? x?6
2

(2)y=



(3)y= 5 ? x -

x ?5 -

1 . x ?9
2

练习:(1)已知函数 f(x)的定义域为[0,1],求 f(x2 +1)的定义域; (2)已知函数 f(2x-1)的定义域为[0,1),求 f(1-3x)的定义域. (3)已知函数 y=

ax ? 1
3

ax ? 4ax ? 3
2

的定义域为 R,求实数 a 的取值范围。

例 4、求下列函数的值域. (1)y=2x+1,x ? {1,2,3,4,5} ;
2

(2)y= x +1;

(3)y=

x ; x ?1

1? x2 (4)y= 5 ? 4 x ? x ; (5)y= . 1? x2
练习:求函数 y=x+ 1 ? 2 x 的值域. 〖知识点三〗函数的表示方法 例 5、已知完成一项任务的时间 t 与参加完成此项任务的人数 x 之间适合关系式 t=ax+ 当 x=2 时,t=100;当 x=14 时,t=28,且参加此项任务的人数不能超过 20 人. (1)写出函数 t 的解析式; (2)用列表法表示此函数; (3)画出函数 t 的图像. 〖知识点四〗分段函数 例 6、作出下列函数的图像并求出其值域。

b , x

? 1 ? (1)y= ? x ,0 ? x ? 1, (2)y=x2 +2x,x? [-2,2] ? ? x, x ? 1.

(3)y= x ? 1 .

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? x ? 1, x ? ?2 ? 2 (4)已知函数 f(x)= ? x ? 2 x,?2 ? x ? 2 ? 2 x ? 1, x ? 2. ?

〖知识点五〗映射 例 7、已知 A={a,b,c }B={-1,0,1}映射 f:A→B 满足 f(a)+f(b)=f(c ) ,求映射 f: A→ B 的个数.

例 8、求下列函数的解析式: (1)已知 f(x+1)=x -3x+2,求 f(x) ; (2)已知 f(x)+2f(
2

1 )=x(x ? 0) ,求 f(x). x

例 9、已知 f(x)是一次函数,且 f(f(x) )=4x-1,求 f(x). 已知 f(x)是二次函数,且满足 f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求 f(x).

1? x2 1? x 例 10、已知 f( )= ,则 f(x)的解析式可取为( 1? x2 1? x



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第四讲:函数的单调性 1.3 函数的基本性质
一、函数的单调性 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I:如果对于定义域 I 某个区间的 D 上的任意两个自变量 的值 X1,X2,当 X1<X2 时,都有 f(x1)<f(x2) ,那么就说函数 f(x)在区间上是增函数。反 之则为减函数。 二、有关函数单调性的结论 (1)函数 f(x)与 f(x)+c(c 为常数)具有相同的单调性。 (2)k>0 时,函数 f(x)与 kf(x)单调性相同;k<0,函数单调性相反. (3)当函数恒不等于零时,f(x)与 1/f(x)具有相反的单调性. (4)当 f(x) ,g(x)都是增(减)函数时,则 f(x)+g(x)是增(减)函数. (5)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的两个 区间上有相反的单调性. (6)已知 ? =g(x)在区间[a,b]上单调增(减)函数,y=f( ? )上单调增(减)函数, 那么符合函数 y=f (g (x) ) 在[a, b]上一定是单调的, 具体分为以下四种情况, “同增异减” . u=g(x) 增函数 增函数 减函数 减函数 y=f(u) 增函数 减函数 增函数 减函数 y=f(g(x) ) 增函数 减函数 减函数 增函数

〖知识点一〗函数的单调性 例 1、定义在 R 上的函数 f(x)对任意两个不相等的实数 a,b,总有 有( ) A、函数 f(x)先增后减 B、函数 f(x)先减后增 C、函数 f(x)在 R 上是增函数 D、函数 f(x)在 R 上是减函数 〖知识点二〗函数单调性的证明 例 2、研究函数 y=x+

f ?a ? ? f ?b ? >0,则必 a ?b

1 的单调性。 x

〖知识点三〗函数的最大(小)值的理解 例 3、讨论函数 f(x)=

ax 在(-1,1)上的单调性,其中 a 为非零常数。 x ?1
2

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例 4、 已知函数 y=f(x) 在 ( 0, + ?) 上为增函数, 且 f(x) <0 (x>0) , 试判断 F(x) = 在(0,+ ? )上的单调性,并给出证明过程. 〖知识点四〗函数的最值(值域) 例 5、求下列函数的单调区间和值域: (1)f(x)= (2)f(x)=

1 f ( x)

x2 ? 6x ? 9 + x 2 ? 6x ? 9 ;
1? x . x
2

(3)求函数 f(x)= 8 ? 2 x ? x 的单调区间. 如果函数 f(x)=x2 +bx+c ,对任意实数 x 都 有 f(2+x)=f(2-x) ,是比较 f(1)f(2)f(4)的大小.

(4)已知 f(x)是定义在(0,+ ? )上的增函数,且 f(

x )=f(x)-f(y) ,f(2)=1, y

解不等式:f(x)-f(

1 )≤2. x ?3

第五讲函数的奇偶性
三、函数的奇偶性 偶函数:如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x) ,那么函数 f(x) 就叫作偶函数. 奇函数:如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,f(-x)=-f(x) ,那么函数 f(x) 就叫做奇函数. 四、有关函数奇偶性结论 (1)f(x)为奇函数 ? f(x)的图像关于原点对称. (2)f(x)为偶函数 ? f(x)的图像关于 y 轴对称. (3)偶函数的和、差、积、商是偶函数;奇函数的和、差、是奇函数,积、商是偶函数; 奇函数与偶函数的积、商是奇函数. (4)定义在(- ? ,+ ? )上的奇函数的图像必过原点,即为 f(0)=0. (5)存在即是奇函数,又是偶函数的函数,其表达式为 f(x)=0. 五、判断函数单调性的方法 (1)利用定义判断函数的单调性,步骤如:a 取值:设 x1,x2 为所求区间内的任意两个值, 且 x1,x2;b 作差变形:作差 f(x1)-f(x2) ,并通过因式分解、配方、有理化等方法,向 有利于判断差值符号的方向变形。C 定号:确定差值符号,当差值不确定时,可考虑分类讨
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论;d 判断:根据定义做出结论. (2)利用函数的图像判断函数的单调性。 (3)利用基本初等函数的单调. 六、函数最大最小值求法 求函数最大(小)值的常用方法有: (1)配方法。主要使用于二次函数或可化成二次函数的函数,要特别注意自变量的范围. (2)判别式法.主要使用于可化为关于 x 的二次方程 a (y)x2 +b(y)x+c(y)=0 的函数 y=f (x).在由判别式大于等于 0 且 a(y)? 0 求出 y 的值后,要检验这个最值在定义域内是否 有相应的 x 值. (3)数形结合法.对于图形较容易画出的函数的最值问题可借助图像直观求出。 (4)单调性法。若函数 f(x)在区间[a,b]上是单调增(减)函数,则函数 f(x)在[a, b]上的最小(大)值为 f(a) ,最大(小)f(b). (5)基本不等式法 七、函数单调性的应用 八、函数奇偶性的判断方法及其应用 〖知识点五〗奇偶函数的概念与性质 例 1、下列说法中错误的个数为( ) 1、图像关于坐标原点对称的函数是奇函数; 2、图像关于 y 轴对称的函数是偶函数; 3、奇函数的图像一定过坐标原点; 4、偶函数的图像一定与 y 轴相交。 A、4 B、3 C、2 〖知识点六〗奇偶函数的判断 例 2、判断函数的奇偶性 (1)f(x)=xD 、0

1 ; x3
1? x ; 1? x

(2)f(x)=(x-1)

(3)f(x)=

1? x2 ; x?2 ?2

(4)f(x)=x2 +2x-1

? x 2 ? 2 x ? 3( x ? 0) ? 0( x ? 0) (5)判断函数 f(x)= ? ,的奇偶性. 2 ?? x ? 2 x ? 3( x ? 0) ?

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(6)函数 f(x)

ax ? b 1 2 是定义在(-1,1)上的奇函数,且 f( )= . 2 1? x 2 5

A、确定函数 f(x)的解析式。B、用定义证明:f(x)在(-1,1)上是增函数. C、解不等式:f(t-1)+f(t)<0.

(7)已知 f(x)为奇函数,且当 x<0 时,f(x)=x +3x+2. 若当 x? [1,3]时,n≤f(x)≤m
2

恒成立,求 m-n 的最小值.

第六讲:综合训练 第七讲:指数与指数函数
2.1 指数函数 2.1.1 指数函数

? ? ? 根式的概念(理解) ? 根式 ? ? ? 根式的性质(掌握) ? 根式的运算(掌握) ? ? 指数与指数幂的运算 ? ? ? 整数指数幂 ? 有理数指数幂(理解)? ? ? 分数指数幂 ? 无理数指数幂(了解) ? 实数指数幂 ? ? ? ? 实数指数幂的运算性质 (掌握) ? ? ? ? ?
〖n 次方根〗 n 一般地,如果 x =a, 那么 x 叫作 a 的 n 次方根,其中 n>1,且 n? N*. (1)当 n 是奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是负数. 这时,a 的 n 次 方根用符号 n a 表示. 当 n 是偶数时,正数的 n 次方根有两个,这两个数互为相反数. 这时,正数 a 的正的 n 次方 根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号- n a 表示。 (2)负数没有偶次方根。 (3)0 的任何次根都是 0,记作 n 0 =0. 〖根式〗式子 n a 叫做根式,这里的 n 叫作根指数,a 叫作被开方数.
n n (1) ( a ) =a(n ? N*. ,且 n>1) ;

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(2) a = ?

n

n

1的奇数) ? a(n为大于 (n为大于0的偶数) ?a
m

〖分数指数幂的意义〗 我们规定正数的正分数指数幂的意义是 a n = a (a>0,m,n ? N*,且 n>1) ;正数的负分 数指数幂的意义是 a
? m n

n

m

=

1 a
m n

(a>0,m,n ? N*,且 n>1) ;0 的正分数指数幂等于 0,0 的负

分数指数幂没有意义. 〖有理数指数幂的运算性质〗

aras =ar+s(a>0,r,s? Q) ;(ar)s(a>0,r,s? Q) ; (ab)r=arbr(a>0, b>0,r ? Q).
〖指数函数〗 一般地,函数 y=a (a>0,且 a ? 1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是 R。
x

〖指数函数的图像与性质〗 a>1 0<a<1

y=ax
图像 (0,1)

y=ax

定义域 值域 性质 (2)在 R 上是增函数 [指数函数图像间的关系] (1)函数 y=a
x

R ((),+ ? ) (1)过定点( 0,1)即 x=0, y=1 (2)在 R 上是减函数

(a>0,且 a ? 1)的图像与 y=( 1 )
a
x

x

的图像关于 y 轴对称,即

底数互为倒数的两个指数函数的图像关于 y 轴对称. (2)a>1 时,底数越大,指数函数 y=a 的图像越靠近 y 轴;0<a<1 时底数越小,指数函 数的图像越靠近 y 轴。 〖知识点一〗根式的化简运算 例 1、求下列各式的值:
4 (1) 4 (3 ? ? ) ;

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(2) 6

1 3 3 + ? 3 — 3 0.125 ; 4 8

(3)

x 2 ? 2 xy ? y 2 + 7 ( y ? x ) 7 .

〖知识点二〗指数幂的运算 例 2、用分数指数幂表示下列各式(a>0,b>0) : (1) a * a ; (2) a a a ; (3) (3 a )2 * ab3 ; (4)
4

3

2

3

1 (a 3 ? b3 ) 2

.

练习:

? 7? (1) ? 2 ? ? 9?

0.5

? 0.1?2 (2
? 2 3

10 ? 3 37 ) ? 3? 0 ? 27 48
? 1

2

? 3? (2) ? ? 3 ? ? 8?

? 0.002 2 ? 10 5 ? 2

?

? ??
?1

2? 3 ;

?

0

(3) a ?2b?3 . ? 4a ?1b ? 12a ?4b?2c (4) 23 a ? 46 a ? b ? 3 b 例 3、 (1)已知 x=
3

?

??

? ?

?

x? y x? y 1 2 ? ,y= ,求 的值; 2 3 x? y x? y
a? b 的值 . a? b

2 (2)已知 a,b 是方程 x ? 6 x ? 4 =0 的两根,且 a>b>0,求

〖知识点三〗指数函数的性质 例 1、比较下列各组数的大小:
1
1 2

?5? (1) ? ? ?6?

0.24

?5? ?5? 4 ?1? ?2 与? ? ; (2) ? ? 与 1; (3) 0.8 与 ? ? ?4? ?6? ?? ?

?

??

?

.

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〖知识点四〗指数函数图像 例 2、设 a>0 且 a ? 1,函数 y= a 2 x ? 2a x ? 1 在[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值.

例 3、已知 a x

2

?2 x

> a x ? 4 (a>0 且 a ? 1) ,求 x 的取值范围.

例 4、求下列函数的单调区间. (1)y= a ? x (2)y= 2
2

?3 x ? 2

(a ? 1);


? x 2 ? 2 x ?3

(3)y= 12 ? 2 x ? 4 x .

例 5、设 a>0,f(x)=

ex a ? 是定义在 R 上的偶函数。 a ex

(1)求 a 的值; (2)证明:f(x)在(0,+ ? )上是增函数。

例 6、设函数 f(x)= ka ? a (a ? 0且a ? 1) 是定义域为 R 的奇函数.
x

?x

(1)求 k 的值; (2)若 f(1)>0,是判断函数的单调性(不需证明)并求不等式 f(x +2x)+f(4-x )>0 的解集.
2 2

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第八讲:对数及其运算
〖对数〗 一般地,如果 ax=N(a>0,且 a ? 1) ,那么数 x 叫作以 a 为底 N 的对数,记作 x= loga N , 其中 a 叫作对数的底数,N 叫做真数. 对数与指数间的关系:当 a>0,a ? 1 时,a =N ? x= loga N
x

〖对数的基本性质〗 负数与 0 没有对数; loga 1 ? 0 loga a ? 1. 对数的恒等式: a 〖常用对数〗 通常我们将以 10 为底的对数叫做常用对数,并把 log10 N 记作 lg N . 〖自然对数〗 在科学技术中常使用以无理数 e=2.71828......... 为底数的对数, 以 e 为底的对数称为自然对数, 并把 loge N 记为 ln N . 〖对数运算性质〗 如果 a>0,且 a ? 1,M>0,N>0,那么:
loga N

? N (a>0,且 a ? 1,N>0).

loga ( M ? N ) ? loga M ? loga N , loga N ? loga M ? loga N , log a
〖换底公式〗

M

Mn

? n log a M ( n ? R )

loga b ?

logc b 1 (a>0,且 a ? 1;且 c ? 1;b>0). 特别地, loga b ? . logc a logb a

〖对数函数〗 一般地,我们把函数 y= loga x (a>0,且 a ? 1)叫作对数函数,其中 x 是自变量,函数的定 义域是(0,+ ? )

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〖对数函数间的关系〗 (1)函数 y= loga x (a>0,且 a≠1)的图像与 y= log 1 x 的图像关于 x 轴对称,即底数互为
a

倒数的两个对数函数的图像关于 x 轴对称. (2)a>1 时,底数越大,图像越靠近 x 轴;0<a<1,底数越小,图像越靠近 x 轴. 〖反函数〗 一般地,设 A,B 分别为函数 y= f ( x ) 的定义域和值域,如果由函数 y= f ( x ) 所得的 x=? ( y ) 也是一个函数 (即对任意一个 y ? B, 都有唯一的 x ? A 与之对应) , 那么就称函数 x= ? ( y ) 是 函数 y= f ( x ) 的反函数,记作 x= f
?1

( y) . 在 x= f ?1 ( y) 中,y 是自变量,x 是 y 的函数,习

惯上改写成 y= f ?1 ( x)(x ? B, y ? A)的形式. 〖指数函数与对数函数的关系〗 指数函数 y ? a x (a>0,且 a≠1)与对数函数 y= loga x (a>0,且 a≠1)互为反函数,它 们的图像关于直线 y=x 对称.

〖知识点一〗对数定义的应用 例 1、求下列各式中 x 的值:
3 2 1 (1) log x 27 ? ; (2) log 2 x ? ? ; (3)x= log 27 ; (4)x= log 1 16 2 3 9 2

例 2、求下列各式中 x 的取值范围: (1) log2 ( x ?10);(2) log( x?1) (_ x ? 2);(3) log( x?1) ( x ?1)2 . 例 3、将下列对(或指)数式化为指(或对)数式.

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(1) log 3 x ? 3 ; (2) logx 64 ? ?6 ; (3) 3? 2 ?

1 1? ; (4) ? ? ? ? 16 9 ?4?

x

〖知识点二〗对数的运算性质 例 4、若 a>0 且 a≠1,x>y>0, n ? N*,则下列各式:
① ( (loga x)n = n loga x ;②(loga x)n = loga x n ;③loga x =- loga ⑤n log a x ? ⑧loga

log x x 1 ;④ a ? loga ; loga y y x

log x 1 n log a x ;⑥ a ? log a n x ;⑦loga x ? loga x n ; n n

x? y x? y = ? loga .其中成立的有( x? y x? y



例 5、计算: (1) 71?log7 5 ; (2) 100 2
1 ( lg 9 ? lg 2 )

; (3) a loga b?logb c (a,b 为不等于 1 的正数,c>0).

(4) 2(lg 2 ) 2 ? lg 2 ? lg 5 ? (lg 2 ) 2 ? lg 2 ? 1 ; (5) log5 35 ? 2 log1 2 ? log5
2

1 ? log5 14 . 50

例 6、求下例各式中的 x: (1) log3 (log2 x) ? 0 ; (2) log3 ?log7 x? ? 1 ; (3) lg(ln x) ? 1 ; (4) lg(ln x) ? 0 〖知识点三〗换底公式 例 7、计算: (1) ?log4 3 ? log8 3??
log5 2 ? log7 9 lg 2 ; (2) + log 2 ( 3 ? 5 ? 3 ? 5 ) . 1 lg 3 log ? log7 3 4 53

例 9、已知 log18 9 ? a ,18b=5,用 a,b 表示 log36 45 的值. 例 10、已知 lg x ? lg y ? 2 lg( x ? 2 y) ,求 log
x 的值. y

2

第 20 页

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例 11、设 x,y,z 均为正数,且

3x ? 4 y ? 6 z

.(1)试求 x,y,z 之间的关系; (2)

求使 2x=py 成立,且与 p 最近的正整数(即求与 p 的差的绝对值最小的整数).

第九讲:对数函数
〖知识点一〗对数函数的定义 例 1、计算对数函数 y= log 4 x 对应于 x 取
1 1 , ,64,128 时的函数值.; 16 4

〖知识点二〗对数函数的图像与性质 例 2、函数 y= log a ( x ? 2) ? 1 图像恒过定点______.

例 3、求下列函数的定义域; 1 ; (2) f ( x) ? log( x?1) (16 ? 4x) (1) f ( x) ? lg( x ? 2) ? x ?3

第 21 页

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〖知识点三〗反函数 例 4、求下列函数的反函数:
1? (1)y= log1 x ; (2)y= ? (3)y= ? x . ? ? ; ?e? 6
x

例 5、求下列函数的单调区间: (1)y= log0.2 (9x ? 2 ? 3x ? 2) ; (2)y= loga (a ? a x ) .

例 6、比较下列各组数的大小. (1) log2 ? 与 log2 0.9 ; (2) log2 0.3 与 log0.2 0.3 ; (3) log0.7 6,0.7与60.7 ; (4) log 1
4

8 6 与 log1 . 7 5 5

例 7、已知 x 满足不等式: 2(log1 x)2 ? 7 log1 x ? 3 ? 0 ,求函数 f(x)
2 2

x? ? x? ? = ? log2 ? ? ? log2 ? 的最大值和最小值。 4? ? 2? ?

例 8、解关于 x 的不等式:

(1) log2 2x ?1 ? log2 2x?1 ? 2 <0; (2) ?log2 x ? ? log1 x 2 ? 3 ≥0.
2 2

?

?

?

?

?1? 例 9、 已知定义域为 (0 , +?) 的函数 f (x) 满足: ①x>1 时, ( x) f <0; ② f ? ? ? 1; ?2?
③ 对任意 x,y ?(0,+ ? ) ,都有 f ( x ? y)=f (x)+f ( y).求不等式 f ( x)+f (5-x)

≥-2 的解集.
第 22 页

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第十讲:幂函数
〖幂函数〗 一般地,函数 y= x a 叫作幂函数,其中 x 是自变量,a 是常数. 〖几种常见函数的图像〗

〖幂函数的性质〗
(1)幂函数的性质 幂函数的定义域、奇偶性、单调性,因函数中 ? 值的不同而不同。 ① 所有的幂函数在(0,+ ? )上都有定义。 ② 若 ? >0,则幂函数过点(0,0) , (1,1) ,在(0,+)上是增函数; 若 ? <0,则幂函数国电(1,1) ,在(0,+ ? )上是减函数。 (2) 性质 幂函 数 y=x R R 奇函数 y=x2 R [0,+ ? ) 偶函数 在(- ? ,0) 单调性 增函数 上是减函数, 在(0,+ ? ) 上是减函数. 定点 (0,0) , (1,1) 增函数 增函数 y=x3 R R 奇函数
1

y=x 2 [0,+ ? ) [0,+ ? ) 非奇非偶函 数

y= 1 x {x x≠0} {y y≠0} 奇函数 在(- ? ,0) 上是减函数, 在(0,+ ? ) 上是减函数. (1,1)

定义域 值域 奇偶性

〖知识点一〗幂函数的概念
第 23 页

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例 1、已知函数 f(x)=(m +2m)x m
2

2

? m ?1

,当 m 为何值时,f(x)是: (1)正比例函数;

(2)反比例函数; (3)二次函数; (4)幂函数. 〖幂函数的图像与性质〗 例 2、比较下列各组数的大小:

?5? ? 3? (1 ) ? 2 ? (2) 1.2 2 ,1.4 2 ,1.4 2 ; (3) ? ? ? ? ,? ? ; ?3? ?3? ?5?

0.5

0.5

1

1

?

1 2

,??

? 2? ? 3? ? ,? ? . ? 3? ? 2?

3

3

例 3、已知 0.71.3

?

? < ?1.3 ?
m

0.7 m

,求 m 是取值范围。

2 m 例 4、幂函数 y=( m ? m ? 1 )x

2

? 2 m ?3

,当 x? (0,+ ? )时为减函数,求实数 m 的值,

并求函数的定义域.

例 5、已知函数 f(x)= x

?2 m 2 ? m ?3

(m ? z)为偶函数,且 f(3)<f(5). (1)求 m 的值,

并确定 f(x)的解析式; (2)若函数 g(x)= loga ? f ( x) ? ax?(a ? 0且a ? 1) 在区间[2,3] 上为增函数,求实数 a 的取值集合. 第十一讲综合训练(对数指数函数专题训练)
第 24 页

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第十二讲函数与方程 一、函数零点的概念 (1)对于函数 y=f(x) ,我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点. (2)方程的根与函数的零点的关系 函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的实数根,也就是函数 y=f(x)的图像与 x 轴的交 点横坐标。所以方程 f(x)=0 有实数根 ? 函数 y=f(x)的图像与 x 轴的交点、? 函数 y=f (x)有零点. 二、函数零点存在性判定定理 如果函数 y=f(x)在区间 ?a, b? 上的图像是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)? f(b)<0, 那么,函数 y=f(x)在区间 ?a, b ? 上有零点,即存在 c? ?a, b ? ,使得 f(c )=0,这个 c 就是 方程 f(x)=0 的根. 三、二分法的定义 对于区间 ?a, b? 上连续不断且 f(a) ? f(b)<0 的函数 y=f(x) ,通过不断地把函数 f(x)的 零点所在区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫做 二分法. 二、用二分法求函数零点近似值的步骤 三、树形结合的方法 四、指、对、幂函数增长 的差异 五、根据已知的函数模型解决实际问题 六、树形结合法 七、待定系数法

第 25 页


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