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钦州一中高三数学培优题8


钦州一中高三数学培优题(七)
一、已知数列 {an } 的前三项与数列 {bn } 的前三项对应相同,且 a1 ? 2a2 ? 22 a3 ? … ?2n ?1 an ? 8n 对任 意的 n ?N*都成立,数列 {bn?1 ? bn } 是等差数列. (1)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; (2)问是否存在 k ? N*,使得 bk ? ak ? (0

,1) ?请说明理由.

钦州一中高三数学培优题(六)答案
1. 【命题意图】本试题主要考查了等差数列与等比数列的概念、通项公式、前 n 项和公式、数列

求和等基础知识,考查化归与转化的思想方法,考查运算能力、推理论证的能力. (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,等比数列 ?bn? 的公比为 q ,由 a1 ? b1 ? 2 ,得 a4 ? 2 ? 3d , b4 ? 2q3 , S4 ? 8 ? 6d ,

?2 ? 3d ? 2q3 ? 27 ?d ? 3 ? ? 由条件得方程组 ? ,故 an ? 3n ?1, bn ? 2n (n ? N * ) (2) ?? 3 ?q ? 2 ?8 ? 6d ? 2q ? 10 ? ? a a Tn ? anb1 ? an ?1b2 ? an ?2b3 ? ? ? a1bn ? 2n a1 ? 2n ?1 a2 ? ? ? 2an ? 2n (a1 ? 2 ? ? ? nn 1 ) 2 2? an 3n ? 1 3n ? 2 3n ? 5 ? n?1 ? n?2 ? n?1 ? cn ? cn ?1 Tn ? 2n [(c1 ? c2 ) ? (c2 ? c3 ) ? ?? (cn ? cn?1 )] ? 2n (c1 ? cn?1 ) n ?1 2 2 2 2

? 10 ? 2n ? 2(3n ? 5) ? 10bn ? 2an ?12 ? Tn ?12 ? 10bn ? 2an
方法二:数学归纳法(1)当 n ? 1 时,T1 ? 12 ? a1b1 ? 12 ? 16, ?2a1 ? 10b1 ? 16 ,故等式成立。

2. 【解析】(1)由正弦定理得:

a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 ? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C
? sin A cos C ? ? 3 sin A sin C ? sin(a ? C ) ? sin C 1 2

3 sin A ? cos A ? 1 ? sin( A ? 30? ) ?

? A ? 30? ? 30? ? A ? 60?

1 bc sin A ? 3 ? bc ? 4 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b ? c ? 4 2 解得: b ? c ? 2
(2) S ?

二、本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车 每次租车不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费标准为 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小 时计算).有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游(各租一车一次) .设甲、乙不超过两小时还车 1 1 1 1 的概率分别为 、 ;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 、 ;两人租车时间都不会 4 2 2 4 超过四小时. (Ⅰ) 求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率; (Ⅱ)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ? ,求 ? 的分布列和数学期望 E? .

钦州一中高三数学培优题(七)答案
一、解: (1)已知 a1 ? 2a2 ? 22 a3 ? … ?2n ?1 an ? 8n (n ? N*) ① ②

n ? 2 时, a1 ? 2a2 ? 22 a3 ? … ?2n?2 an?1 ? 8(n ? 1) (n ? N*)
① 得, 2n ?1 an ? 8 ,求得 an ? 2 -②
4? n

, ,所以 an ? 24?n (n ? N*).

在① 中令 n ? 1 ,可得得 a1 ? 8 ? 2

4 ?1

由题意 b1 ? 8 , b2 ? 4 , b3 ? 2 ,所以 b2 ? b1 ? ?4 , b3 ? b2 ? ?2 , ∴ 数列 {bn ?1 ? bn } 的公差为 ? 2 ? (?4) ? 2 ,

b ∴ n?1 ? bn

? ? 4 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 6 ,

bn ? b1 ? (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ? ?? (bn ? bn?1 )
? (?4) ? (?2) ? ? ? (2n ? 8) ? n2 ? 7n ? 14 (n ?N*).
(2) bk ? ak ? k 2 ? 7k ? 14 ? 2 当 k ? 4 时, f (k ) ? (k ? )2 ?
4? k



7 2

7 4? k ? 2 单调递增,且 f (4) ? 1 , 4

4? k 所以 k ? 4 时, f (k ) ? k 2 ? 7k ? 14 ? 2 ? 1 ,

又 f (1) ? f (2) ? f (3) ? 0 , 所以,不存在 k ? N*,使得 bk ? ak ? (0,1) . 二、本小题主要考查相互独立事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算,考查 运用所学知识和方法解决实际问题的能力. 1 1 解: (Ⅰ)依题意得,甲、乙在三小时及以上且不超过四小时还车的概率分别为 、 . 4 4 1 1 1 1 1 1 5 记“甲、乙两人所付的租车费用相同”为事件 A,则 P( A) ? ? ? ? ? ? ? . 4 2 2 4 4 4 16 5 答:甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 . 16 (Ⅱ) ? 可能的取值有 0,2,4,6,8. 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 5 P(? ? 0) ? ; P(? ? 2) ? ? ? ? ? ; P(? ? 4) ? ? ? ? ? ? ? ; 8 4 4 2 2 16 4 4 2 4 2 4 16 1 1 1 1 3 1 1 1 P(? ? 6) ? ? ? ? ? ; P(? ? 8) ? ? ? . 4 4 2 4 16 4 4 16 甲、乙两人所付的租车费用之和 ? 的分布列 ? 0 2 4 6 8

5 5 16 16 1 5 5 3 1 7 所以 E? ? 0 ? ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? 8 ? ? . 8 16 16 16 16 2

P

1 8

3 16

1 16


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