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抛物线知识点归纳总结与经典习题


抛物线经典结论和例题

y 2 ? 2 px ( p ? 0)
抛 物 线
l y

y 2 ? ?2 px ( p ? 0)
y l O x

x 2 ? 2 py ( p ? 0)
y F O x l

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)
y

l O F x

O

F

x

F

定义

平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线, 点F 叫 做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线。 { M MF =点 M 到直线 l 的距离}

范围 对称性 焦点 顶点 离心率 准线 方程 顶点到准 线的距离 焦点到准 线的距离 焦半径

x ? 0, y ? R

x ? 0, y ? R

x ? R, y ? 0

x ? R, y ? 0

关于 x 轴对称 (

关于 y 轴对称

p ,0) 2

(?

p p ,0) (0, ) 2 2 焦点在对称轴上
O(0, 0)

(0, ?

p ) 2

e =1
p x?? 2 p p y?? 2 2 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。

x?

y?

p 2

p 2
p

A( x1 , y1 )

AF ? x1 ?

p 2

AF ? ? x1 ?

p 2

AF ? y1 ?

p 2

AF ? ? y1 ?

p 2

焦 点弦 长

( x1 ? x2 ) ? p

?( x1 ? x2 ) ? p

( y1 ? y2 ) ? p

?( y1 ? y2 ) ? p

AB

y o
焦点弦

A ? x1 , y1 ?
x B ? x2 , y2 ? F

AB 的几
条性质
A( x1 , y1 )
B( x2 , y2 )

以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切 若 AB 的倾斜角为 ? ,则 AB ?
2p sin 2 ?

若 AB 的倾斜角为 ? ,则 AB ?

2p cos 2 ?

x1 x2 ?

p2 4

y1 y2 ? ? p 2

1 1 AF ? BF AB 2 ? ? ? ? AF BF AF ? BF AF ? BF p

切线 方程

y0 y ? p( x ? x0 )

y0 y ? ? p( x ? x0 )

x0 x ? p( y ? y0 )

x0 x ? ? p( y ? y0 )

1. 直线与抛物线的位置关系 直线 ,抛物线 ,

,消 y 得: (1)当 k=0 时,直线 l 与抛物线的对称轴平行,有一个交点; (2)当 k≠0 时, Δ >0,直线 l 与抛物线相交,两个不同交点; Δ =0, 直线 l 与抛物线相切,一个切点; Δ <0,直线 l 与抛物线相离,无公共点。 (3)若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?(不一定)

2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线 l : y ? kx ? b ① 联立方程法: 抛物线 , ( p ? 0)

? y ? kx ? b ? k 2 x 2 ? 2(kb ? p) x ? b2 ? 0 ? 2 ? y ? 2 px
设交点坐标为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则有 ? ? 0 ,以及 x1 ? x2 , x1 x2 ,还可进一步求出
y1 ? y2 ? kx1 ? b ? kx2 ? b ? k ( x1 ? x2 ) ? 2b



y1 y2 ? (kx1 ? b)(kx2 ? b) ? k 2 x1 x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b2
在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如 a. 相交弦 AB 的弦长
AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2

? a



AB ? 1 ?

1 1 ? y1 ? y2 ? 1 ? 2 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? 1 ? k 2 2 k k a
x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 2 2

b. 中点 M ( x0 , y0 ) , x0 ? ② 点差法:

设交点坐标为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,代入抛物线方程,得

y1 ? 2 px1

2

y2 ? 2 px2

2

将两式相减,可得
y1 ? y2 2p ? x1 ? x2 y1 ? y2

( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 2 p( x1 ? x2 ) 所以

a. 在涉及斜率问题时, k AB ?

2p y1 ? y2

b. 在 涉 及 中 点 轨 迹 问 题 时 , 设 线 段 AB 的 中 点 为 M ( x0 , y0 ) ,
p y1 ? y2 2p 2p p ? ? ? ,即 k AB ? , y0 x1 ? x2 y1 ? y2 2 y0 y0

同理,对于抛物线 x 2 ? 2 py( p ? 0) ,若直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点,点

M ( x0 , y0 ) 是弦 AB 的中点,则有 k AB ?

x1 ? x2 2 x0 x0 ? ? 2p 2p p

(注意能用这个公式的条件:1)直线与抛物线有两个不同的交点,2)直线的斜 率存在,且不等于零)

一、抛物线的定义及其应用
例 1、设 P 是抛物线 y2=4x 上的一个动点. (1)求点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到直线 x=-1 的距离之和的最小值; (2)若 B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值. 例 2、设 M(x0,y0)为抛物线 C:x2=8y 上一 点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为 圆心、|FM|为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是( A.(0,2) B.[0,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞) )

二、抛物线的标准方程和几何性质
例 3、 抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F, 准线为 l, 经过 F 的直线与抛物线交于 A、

B 两点,交准线于 C 点,点 A 在 x 轴上方,AK⊥l,垂足为 K,若|BC|=2|BF|,
且|AF|=4,则△AKF 的面积是 A.4 B.3 3 C.4 3 D.8 ( )

例 4、过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A、B,交其准线 l 于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3 则此抛物线的方程为 3 A.y2= x 2 B.y2=9x 9 C.y2= x 2 ( )

D.y2=3x

三、抛物线的综合问题
例 5、已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1,

y1), B(x2, y2)(x1<x2)两点, 且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程; (2)O 为坐标原点, C 为抛物线上一点,若 OC = OA +λ

OB ,求λ

的值.

例 6、已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1,l2,设 l1 与轨迹 C 相交于点 A,

B,l2 与轨迹 C 相交于点 D,E,求 AD EB 的最小值
?

例 7、已知点 M(1,y)在抛物线 C:y2=2px(p>0)上,M 点到抛物线 C 的焦点 F 的 1 距离为 2,直线 l:y=- x+b 与抛物线 C 交于 A,B 两点. 2 (1)求抛物线 C 的方程; (2)若以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,求该圆的方程.

练习题 1.已知抛物线 x2=ay 的焦点恰好为双曲线 y2-x2=2 的上焦点,则 a 等于( A.1 B.4 C.8 D.16 ) )

2.抛物线 y=-4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是 ( A.- 17 16 B.- 15 16 C. 7 16 D. 15 16

3.(2011?辽宁高考)已知 F 是拋物线 y2=x 的焦点,A,B 是该拋物线上的两点, |AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 A. 3 4 B.1 C. 5 4 D. 7 4 ( )

4. 已知抛物线 y2=2px, 以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.不确定

5.已知 F 为抛物线 y2=8x 的焦点,过 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两 点,则||FA|-|FB||的值等于 A.4 2 B.8C. 8 2 D.16 ( )

6.在 y=2x2 上有一点 P,它到 A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小,则点

P 的坐标是
A.(-2,1) B.(1,2) C.(2,1) D.(-1,2)

(

)

7.设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂

足.如果直线 AF 的斜率为- 3,那么|PF|= A.4 3 B.8 C.8 3

(

) D.16 )

8.抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=-2,抛物线的方程 ( A.y2=-8x B.y2=8x C.y2=-4x

D.y2=4x

9 以抛物线 x2=16y 的焦点为圆心, 且与抛物线的准线相切的圆的方程为______. 10.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 y 轴,抛物线上一点 Q(-3,m)到焦点 的距离是 5,则抛物线的方程为________. 11.已知抛物线 y2=4x 与直线 2x+y-4=0 相交于 A、B 两点,抛物线的焦点为

F,那么| FA | +| FB | =________.
12.过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2, y2)两点, 若 x1+x2=6,那么 |AB|等于________ 13.根据下列条件求抛物线的标准方程: (1)抛物线的焦点是双曲线 16x2-9y2=144 的左顶点; (2)过点 P(2,-4).

14.已知点 A(-1,0),B(1,-1),抛物线 C:y2=4x,O 为坐标原点,过点 A 的动直线 l 交抛物线 C 于 M, P 两点, 直线 MB 交抛物线 C 于另一点 Q.若向量 OM 与 OP 的夹角为 π ,求△POM 的面积. 4

解析
一、抛物线的定义及其应用

例 1、(1)如图,易知抛物线的焦点为 F(1,0),准线是 x=-1. 由抛物线的定义知:点 P 到直线 x=-1 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离. 于是,问题转化为:在曲线上求一点 P,使点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到

F(1,0)的距离之和最小.显然,连结 AF 交曲线于 P 点,则所求的最小值为|AF|,
即为 5. (2)如图,自点 B 作 BQ 垂直准线于 Q,交抛物线于点 P1,则|P1Q|=|P1F|.则有 |PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.即|PB|+|PF|的最小值为 4. 例 2、解析:圆心到抛物线准线的距离为 p,即 p=4,根据已 知只要|FM|>4 即 可.根据抛物线定|FM|=y0+2 由 y0+2>4,解得 y0>2,故 y0 的取值范围是(2, +∞). 二、抛物线的标准方程和几何性质 例 3、设点 A(x1,y1),其中 y1>0.由点 B 作抛物线的准线的垂线,垂足为 B1.则有 |BF|=|BB1|;又|CB|=2|FB|,因此有|CB|=2|BB1|,cos∠CBB1= |BB1| 1 = ,∠ |BC| 2

π π p CBB1= .即直线 AB 与 x 轴的夹角为 .又|AF|=|AK|=x1+ =4,因此 y1= 3 3 2 π 1 1 4sin =2 3,因此△AKF 的面积等于 |AK|?y1= ?4?2 3=4 3. 3 2 2 例 4.分别过点 A、B 作 AA1、BB1 垂直于 l,且垂足分别为 A1、B1,由已知条件|BC| =2|BF|得|BC|=2|BB1|,∴∠BCB1=30°,又|AA1|=|AF|=3, ∴|AC|=2|AA1|=6,∴|CF|=|AC|-|AF|=6-3=3,∴F 为线段 AC 的中点.故 1 3 点 F 到准线的距离为 p= |AA1|= ,故抛物线的方程为 y2=3x. 2 2 三、抛物线的综合问题 例 5、(1)直线 AB 的方程是 y=2 2(x- ),与 y =2px 联立,从而有 4x -5px 2 5p +p2=0,所以:x1+x2= ,由抛物线定义得:|AB|=x1+x2+p=9,所以 p=4, 4 2 从而抛物线方程是 y =8x. (2)由 p=4,4x2-5px+p2=0 可简化为 x2-5x+4=0,从而 x1=1,x2=4,y1=- 2 2,y2=4 2,从而 A(1,-2 2),B(4,4 2); 设 OC =(x3,y3)=(1,-2 2)+λ (4,4 2)=(4λ +1,4 2λ -2 2).

p

2

2

又 y2 2(2λ -1)]2=8(4λ +1). 3=8x3,即[2 即(2λ -1)2=4λ +1.解得λ =0,或λ =2. 例 6、 (1)设动点 P 的坐标为(x,y),由题意有

x-1

2

+y2-|x|=1.化简得

y2=2x+2|x|. 当 x≥0 时,y2=4x;当 x<0 时,y=0.
所以,动点 P 的轨迹 C 的方程为 y2=4x(x≥0)和 y=0(x<0). (2)由题意知,直线 l1 的斜率存在且不为 0,设为 k,则 l1 的方程为 y=k(x- ?y=k x-1 1).由? 2 ,得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0. (7 分) ?y =4x 4 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是上述方程的两个实根,于是 x1+x2=2+ 2,

k

x1x2=1.
1 因为 l1⊥l2,所以 l2 的斜率为- .

(8 分)

k

设 D(x3,y3),E(x4,y4),则同理可得

x3+x4=2+4k2,x3x4=1. =(x1+1)(x2+1)+(x3+1)?(x4+1) = x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1 k k

(11 分)

4 1 =1+(2+ 2)+1+1+(2+4k2)+1=8+4(k2+ 2)≥8+4?2 1 当且仅当 k2= 2,即 k=±1 时, AD ? EB 取最小值 16. k

k2? 2=16. k

1

例 7 、(1)抛物线 y2=2px(p>0)的准线为 x=- ,由抛物线定义和已知条件可知 2 |MF|=1-(- )=1+ =2,解得 p=2, 故所求抛物线 C 的方程为 y2=4x. 2 2

p

p

p

?y=-1 x+b, 2 (2)联立? ?y =4x
2

消去 x 并化简整理得 y2+8y-8b=0.

依题意应有Δ =64+32b>0,解得 b>-2.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2 x1+x2 y1+y2 =-8,y1y2=-8b,设圆心 Q(x0,y0),则应用 x0= ,y0= =-4. 2 2 因为以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,所以圆的半径为 r=|y0|=4. 又|AB|= x1-x2 2 y1-y2 2= 1+4 y1-y2 2= 5[ y1+y2
2

-4y1y2]= 5 64+32b

64+32b

8 =8,解得 b=- . 5 48 所以 x1+x2=2b-2y1+2b-2y2=4b+16= , 5 所以|AB|=2r= 5

则圆心 Q 的坐标为(

24 24 2 2 ,-4).故所求圆的方程为(x- ) +(y+4) =16. 5 5

练习题:
1.解析:根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0, ),双曲线的上焦点为(0,2), 4 依题意则有 =2 解得 a=8. 4

a

a

y 1 2.解析:抛物线方程可化为 x2=- ,其准线方程为 y= .设 M(x0,y0),则由 4 16 1 15 抛物线的定义,可知 -y0=1? y0=- . 16 16 3.解析:根据拋物线定义与梯形中位线定理,得线段 AB 中点到 y 轴的距离为: 1 1 3 1 5 (|AF|+|BF|)- = - = . 2 4 2 4 4 4.解析:设抛物线焦点弦为 AB,中点为 M,准线 l,A1、B1 分别为 A、B 在直线 1 l 上的射影, 则|AA1|=|AF|, |BB1|=|BF|, 于是 M 到 l 的距离 d= (|AA1|+|BB1|) 2 1 1 = (|AF|+|BF|)= |AB|=半径,故相切. 2 2
?y=x-2, 5.解析:依题意 F(2,0),所以直线方程为 y=x-2 由? 2 ,消去 y ?y =8x 得 x2-12x+4=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则||FA|-|FB||=|(x1+2)-(x2+ 2 2)|=|x1-x2|= (x1+x2) -4x1x2= 144-16=8 2. 6.解析:如图所示,直线 l 为抛物线 y=2x2 的准线,F 为其焦 点,PN⊥l,AN1⊥l,由抛物线的定义知, |PF|=|PN|,∴|AP| +|PF|=|AP|+|PN|≥|AN1|,当且仅当 A、P、N 三点共线时取 等号.∴P 点的横坐标与 A 点的横坐标相同即为 1,则可排除 A、 C、D.答案:B 7.解析:设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足.如果直线 AF 的斜率为- 3,那么|PF|= ( ) A.4 3 B.8 C.8 3 D.16 8.解析:由准线方程 x=-2,可知抛物线为焦点在 x 轴正 ,半轴上的标准方 程,同时得 p=4,所以标准方程为 y2=2px=8x 9.解析:抛物线的焦点为 F(0,4),准线为 y=-4,则圆心为(0,4),半径 r= 8. 所以,圆的方程为 x2+(y-4)2=64. 10.解析:设抛物线方程为 x2=ay(a≠0),则准线为 y=- .∵Q(-3,m)在抛 4 物线上,∴9=am.而点 Q 到焦点的距离等于点 Q 到准线的距离,∴|m-(- )| 4 9 9 a =5.将 m= 代入,得| + |=5,解得,a=±2,或 a=±18,∴所求抛物线的 a a 4

a

a

方程为 x2=±2y,或 x2=±18y. ?y =4x 11.解析:由? ?2x+y-4=0
2

,消去 y,得 x2-5x+4=0(*),方程(*)的两根

为 A、B 两点的横坐标,故 x1+x2=5,因为抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),所 以| FA | +| FB | =(x1+1)+(x2+1)=7 12.解析:因线段 AB 过焦点 F,则|AB|=|AF|+|BF|.又由抛物线的定义知|AF| =x1+1,|BF|=x2+1,故|AB|=x1+x2+2=8. 13.解析:双曲线方程化为 - =1,左顶点为(-3,0),由题设抛物线方程为 9 16

x2

y2

p y2=-2px(p>0),则- =-3,∴p=6,∴抛物线方程为 y2=-12x.

2 2 (2)由于 P(2,-4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴,可设抛物线方程为 y =mx 或 x2=ny,代入 P 点坐标求得 m=8,n=-1, ∴所求抛物线方程为 y2=8x 或 x2=-y. 14.解:设点 M( ,y1),P( ,y2),∵P,M,A 三点共线,∴kAM 4 4 =kPM, y1 y1-y2 y1 1 即 2 = 2 = ,∴y1y2=4. 2,即 2 y1 y1 y2 y1+4 y1+y2 +1 - 4 4 4 ∴ OM ? OP = ? +y1y2=5.∵向量 OM 与 OP 的夹角为 4 4 π π 1 π 5 ,∴| OM |?| OP |?cos =5.∴S△POM= | OM | ?| OP | ?sin = . 4 2 4 2 4

y2 1

y2 2

y2 y2 1 2


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