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5.2.1直线与平面平行的性质


5.2 平行关系的性质
第1课时 直线与平面平行的性质

复习回顾:

直线与平面平行

1.定义:直线与平面没有公共点则线面平行;

2.线面平行判定定理:(线线平行 ? 线面平行);

a ??? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?
注意六个字:(1)面外(2)面内(3)平行

3.用判定定理证明线面平行时,关键是寻找平行线:
三角形的中位线、梯形的中位线、 平行四边形对边平行. 线段成比例

学习目标:
1、掌握直线与平面平行的性质,并会应用 性质解决问题. 2、理解直线与直线、直线与平面之间的位

置关系可以相互转化.
3、在发现中学习,增强学习的积极性;

了解空间与平面互相转换的数学思想.

情境导入:
前面我们知道了如何来判断直线与平面平行, 那么,已知直线和平面平行,我们又能有怎样的 结论呢?

如果直线a与平面α 平行
思考1:直线a与平面α 内的直线有哪些位置关系?

思考2:在平面α 内与直线a平行的直线有多少条?
这些直线的位置关系如何?

思考3:经过直线a的平面与平面α 有几种位置关系? 思考4:经过直线a的平面β 与平面α 相交于直线b, 那么直线a、b的位置关系如何?为什么?

课堂探究:

探究1: a / /? , b??????,则a与b位置关系如何?

a α
异面
b

a
α
平行
b

探究2:

a / /? , b??????,且a / /b
a

这样的b有多少条?这些直线的位置关系如何?

α

b

有无数条,这些直线之间互相平行.

探究3: a / /? , a??????,则? 与?

有几种位置关系?
a
β β

a

α

α

平行

相交

探究4:

a / /? , a?????? , ? ? ? ? b 则a与b位置关系如何?为什么?

a
β b

a ∥ b?

α

β

a b

平行.
证明: α

因为a∥α ,所以a 和α 没有公共点. 又因为b在α 内,所以b和α 也没有公共点. 而a和b都在平面β 内,又没有公共点, 所以a∥b.

探究5:综上分析,在直线与平面平行的条件下 可以得到什么结论?并用三种语言表述之. β

a

α 定理5.3

b

如果一条直线与一个平面平行,

那么过该直线的任意一个平面与已知平面的 交线与该直线平行.

定理5.3

直线与平面平行性质定理

如果一条直线与一个平面平行,那么过该直线的 任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行. β 图形语言 α 符号语言

a

b

a / /? , a

? , ? ? ? ? b ? a / /b

思考交流:
性质定理可简述为“线面平行,则线线平行” 应用: (1)提供了作平行线的方法 (2)证明线线平行. α

β

a
b

应用关键:线面平行 得交线

过直线作一平面 线线平行

应用举例:
例1. 判断下列命题是否正确?
(1)一条直线和一个平面平行,它就和这个 平面内的无数条直线平行 ( √ )

l

α

l // ?

(2)若直线l∥平面α,则l与平面α内的任何 一条直线无公共点. ( √ )

(3)过直线外一点,有且仅有一个平面和 已知直线平行。 (X)

(4)如果直线l和平面α平行,那么过平

面α内一点和直线l平行的直线在α内。
l
α . A

(√)

例2.如果直线a不平行于平面α ,则
下列结论成立的是(D ) A . α内的所有直线都与直线a异面;

B . α内不存在与a平行的直线;
C . α内的所有直线都与a相交;

D .直线a与平面α有公共点。

例3 如图A,B,C,D在同一平面内,AB∥平面α , AC∥BD,且AC,BD与α 分别交于点C,D求证:AC=BD. 证明 连接CD. 因为A,B,C,D在同一平面内, AB∥平面α, 所以AB∥CD. 又因为AC∥BD, 所以四边形ABCD是平行四边形
α A B

C

D

因此

AC=BD.

例4.已知:直线AB∥平面α,经过AB 的两个平面β和γ分别和平面α交 于直线a,b。求证:a∥b
B A

?

g b ?

a

例5

如下图,已知四边形ABCD是平行四边形,

点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上

取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.
求证:AP∥GH.

解 如右图,连结AC,设AC交BD于O,连结MO.
∵四边形ABCD是平行四边形, ∴O是AC的中点. 又∵M是PC的中点,∴MO∥PA. 又∵MO 平面BDM,PA 平面BDM, ∴PA∥平面BDM. (线面平行判定定理)

又经过PA与点G的平面交平面BDM于GH,
∴AP∥GH. (线面平行性质定理)

课堂练习:
1.以下命题(其中a,b表示直线,?表示平面)

①若a∥b,b??,则a∥?
②若a∥?,b∥?,则a∥b

③若a∥b,b∥?,则a∥?
④若a∥?,b??,则a∥b
其中正确命题的个数是 (A)0个 ( ) (B)1个 (C)2个 (D)3个

2.填空:
(1)若两直线a、b异面,且 a ∥ α,
则b与α的位置关系可能是 b∥α,或b? α,

或b与 α相交

(2)若两直线a、b相交,且a ∥ α,

则b与α的位置关系可能是 b ∥ α,b与 α相交

课堂小结:
线面平行的判定定理 线线平行 线面平行的性质定理 线面平行 线面平行 线线平行

线线平行

在平面内作或 找一条直线

线面平行 经过直线作或找 平面与平面的交线 线线平行

代数是书写出来的几何,

而几何是绘画出来的代数。 ——希尔伯特

谢谢大家!


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